22排列组合.资料

1、排列组合排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。 组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。 排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。1. 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上（6） 七个人战成两排，前排三人，后排四人（7） 七个人战成两排，前排三人，后排四人小新、阿呆不在同

2、一排。【解析】（1） P7 =5040 （种）。（2） 只需排其余6个人站剩下的6个位置.P6 =720 （种）（3） 先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置.2X再=1440（种）.（4） 先排两边，再排剩下的 5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置.2 P用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比 20000大且百位数字不是 3的无重复数字的五位数？【解析】 可以分两类来看：把3排在最高位上，其余 4个数可以任意放到其余4个数位上，是 4个元素全排列的问题，有P： =4 3 2 1=24（种）放法，对应24个不同的五位数； 把2, 4, 5放在最高位上，有 3种选择，百位上有除已

3、确定的最高位数字和3之外的3个数字可以3选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余 3个数位上，有P3 =6种选择由乘法原理，可 以组成3 3 6 =54（个）不同的五位数。由加法原理，可以组成 24 *54 =78（个）不同的五位数。 用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个 数？【解析】从高位到低位逐层分类: =240 （种）.（5） 先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，P52戌=2400 （种）（6） 七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的

4、，所以本题实质就是7个元素的全排列.P7 =5040 （种）（7） 可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所5以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可.4X3X F5 X2= 2880（种）.排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。2. 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题， 已知n=5 , m = 2，根据排列数公式， 一共可以组成F52 =5 4 =20 （个）符合题意的三位数。千位上排1 , 2 , 3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以

5、从 09中除千位已确定的数字之外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可有P93 =9 8 7 =504（种）排列方式由乘法原理，有4 504 =2016（个）.千位上排5，百位上排04时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数 字中选择.也就是从8个元素中取2个的排列问题，即Pa2 =8 7 =56,由乘法原理，有1556 =2 8（个）千位上排5，百位上排6，十位上排0, 1 , 2 , 3, 4 , 7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有1 1 6 7 =42（个）. 千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的

6、数的个位可以选择 0, 1 , 2 , 3 , 4共5个.综上所述，比5687小的四位数有2016 280 42 *5 =2343（个），故比5687小是第2344个四位数.5. 用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【解析】 按位数来分类考虑：一位数只有1个3 ; 两位数：由1与2 , 1与5 , 2与4 , 4与5四组数字组成，每一组可以组成P22 =2 1=2（个）不同的两位数，共可组成 2 4 =8（个）不同的两位数；三位数：由1 , 2与3 ； 1 , 3与5 ； 2 , 3与4 ; 3 , 4与5四组数字组成，每一组可以组成 P3 =3 2 1=

7、6（个）不同的三位数，共可组成 6 4=24 （个）不同的三位数； 四位数：可由1 , 2 , 4 , 5这四个数字组成，有 P： =4 3 2 1 =24（个）不同的四位数； 五位数：可由1 , 2 , 3 , 4 , 5组成，共有 P5=5 4 3 2 1 =120（个）不同的五位数. 由加法原理，一共有18 2424 120 =177（个）能被3整除的数，即3的倍数.6. 用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2 , 4 , 6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张中选二张，有F5

8、2 -5 4 =20（种）选法由乘法原理，一共可以组成3 20 =60（个）不同的偶数.7. 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是 9，那么确保打开保险柜至少要试几次？【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1, 1, 1, 6； 1 , 1, 2, 5； 1, 1, 3, 4； 1, 2, 2, 4； 1, 2, 3, 3； 2, 2, 2, 3 六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了， 6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1 ,共有4种选择；第二种中，先考虑放2，有 4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位

9、置放1，共有4 3=12（种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放 2，共有4种选择.综上所述，由加法原理，一共可以组成4 T2 T2 12 12 4=56（个）不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次.8. 两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少种不同的坐法？【解析】 第一个位置在6个人中任选一个，有 C：=6（种）选法，第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个，有C；=3（种）选法同理，第3 , 4 , 5 , 6个位置依次有2

10、 , 2 , 1 , 1种选法由乘法原理，不同的坐法 z 1 1 1 1 1 1 有 P6 XP3 :P2 ： （b d f）的差为0或11的倍数且a、b、c、d、e、f 均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数。先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有 戌x戌=36种顺序； 再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也有戌x P3=36种顺序。所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+ 36= 72个能被11整除的数（包含原来的abcdef） 所以最少还能排出 72-仁71个能被11整除的六位数。11.如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3x佃96的方

11、格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍a)横放需1996X4根，竖放需1997 X3根共需 1996X4+ 1997 X3=13975 根。12. 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？b）这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排

12、法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有3种排法，再排甲，也有 3种排法，剩下的人随意排，有P3=3 2 1=6（种）排法由乘法原理，一共有 3 3 6 =54（种）不同的排法。13. 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： 甲不在中间也不在两端； 甲、乙两人必须排在两端； 男、女生分别排在一起；男女相间.【解析】 先排甲，9个位置除了中间和两端之外的6个位置都可以，有6种选择，剩下的8个人随意排，也就是8个元素全排列的问题，有 P8 =8 765432 1 =40320（种）选择.由乘法原理, 共有 6 40320 =241920（种）排法.甲、乙先排，有 =2 1

13、=2（种）排法；剩下的7个人随意排，有P77 =7 6 5 4 3 2 1=5040（种）排法.由乘法原理，共有 2 5040 =10080（种）排法. 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有P2 =2 1=2（种）不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是 4个元素与5个元素的全排列问题，分别有P4=4 3 2 1 =24（种）和 F5 =5 4 3 2 1 =120 （种）排法.由乘法原理，共有 2 24 120 =5760 （种）排法. 先排4名男生，有F44 =4 3 2 1 =24（种）排法，再把5名女生排到5个空档中，有5F5 =5 4 3 2 1 =120（种）排法.

14、由乘法原理，一共有24 120 =2880（种）排法。14. 五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。c） 五位同学的排列方式共有5X4X3X2X1= 120 （种）。如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4X3X2X1=24 （种）。因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24X2=48（种）;贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48= 72 （种）。15. 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求： 当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？ 当要求每2个舞蹈节

15、目之间至少安排 1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？【解析】 先将4个舞蹈节目看成1个节目，与6个演唱节目一起排，则是 7个元素全排列的问题，有F77=7! = 7 6 5 4 3 2 1 =5（种4）方法.第二步再排4个舞蹈节目，也就是 4个舞蹈节4目全排列的问题，有 P4 =4! =4 3 2 1 =24（种）方法.根据乘法原理，一共有 5040 24 =120960（种）方法. 首先将6个演唱节目排成一列（如下图中的“” ），是6个元素全排列的问题，一共有F66 =6! =6 5 4 3 2 1 =720（种）方法.XXXXXXX第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱

16、节目之间（即上图中“X”的位置），这相当于从7个“X”中选4个来排，一共有 =7 6 5 4 =840（种）方法.根据乘法原理，一共有 720 840 =604800（种）方法。16. 由4个不同的独唱节目和 3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是4个元素全排列的问题，有 P4 =4 3 2 1 =24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有F32 =3 2=6（种）排法；再在独唱节目之间的 3个位置中排

17、一个合唱节目，有 3种排法由乘法原理，一共有24 6 3 =432 （种）不同的编排方法.【小结】 排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了总的排列数用乘法原理把若干个排列数相乘，得出最后的答案。17从1, 2,，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？3位同学坐8个座位，每个座位坐 1人，共有几种坐法？8个人坐3个座位，每个座位坐 1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的

18、停放方法？8种不同的菜籽，任选 3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？【解析】 按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有P3种.3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有P8种.3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有 P8种.3个坐位排号1, 2, 3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有诊种.3列火车编为1, 2, 3号，从8股车道中任取3股往上排，共有 P3种.土地编1, 2, 3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有P3种。18. 现有男同学3人，

19、女同学4人（女同学中有一人叫王红），从中选出男女同学各 2人，分别参加数学、英语、 音乐、美术四个兴趣小组：（1）共有多少种选法？（2） 其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种？（3） 参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种？（4） 参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种？3式24汉3【解析】（1）从3个男同学中选出2人，有 =3种选法。从4个女同学中选出2人，有=6种选法。2 2在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4 X3X2 X1=24种选法。3X6 X24=432,所以共有 432种选法。（2） 在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2

20、X3X2X仁12种选法。3X6X12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种。（3） 考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同 学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法。3X3X3X2 X1 = 54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378,所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有 378种。（4） 考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同 学中选出2人参加两个不同的小组，从 3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法。3X2X3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美

21、术小组的是女同学时的选法有18种，216-18= 198,所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种。19. 某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成 3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的 48名选手分成8个小组，每 组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将 8个小组产生的前 2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进 行单循环赛；第三阶段：由 4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次.问：整 个赛程一共需要进行多少场比赛？265【解析】第一阶段中，每个小组内部的6个人每2人要赛一场，组内赛C6二- =15场，共8个小组，有2況115 8 =

22、120场；第二阶段中，每个小组内部 4人中每2人赛一场，组内赛 C：=4 3=6场，共4个小组, 2汇1有6 4 =24场；第三阶段赛2 2=4场根据加法原理，整个赛程一共有120 24 *4=148场比赛。20. 由数字1, 2, 3组成五位数，要求这五位数中1, 2, 3至少各出现一次，那么这样的五位数共有 个。（2007年“迎春杯”高年级组决赛 ）【解析】 这是一道组合计数问题由于题目中仅要求1, 2 , 3至少各出现一次，没有确定1 , 2 , 3出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由1,2,3组成的五位数中，去掉仅有1个或2个数字组成的五位数即可.1

23、（法1）分两类：1 , 2 , 3中恰有一个数字出现 3次，这样的数有C3 5 4=60（个）；1 , 2 , 3中有 两个数字各出现 2次，这样的数有 c3 5 C： =90（个）.符合题意的五位数共有 60 90 =150（个）.（法2）从反面想，由1 , 2 , 3组成的五位数共有 35个，由1, 2 , 3中的某2个数字组成的五位数共有53 （2 一2）个，由1，2，3中的某1个数字组成的五位数共有3个，所以符合题意的五位数共有3 -3 （2 -2） -3 =150（个）。21. 10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？【解析】（法1）乘法原理按题意，分别站在每个

24、人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有7 10=70种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是 （10-1-1-1） 10=-2 =35（种）.（法2）排除法.可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为G0，而被选的两个人相邻的情况有10种，所以共有 G2。-10=45 -10 =35（种）。22. 8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻， 小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共

25、有多少种？【解析】 冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇.小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：C； P2 C4 P2 P3 = 3360 （种）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：C； P2宵P； P；=960 （种）因此同时满足三个条件的站法总数为：3360 -960 =2400 （种）。23. 小明有10块大白兔奶糖，从今天起，每天至少吃一块那么他一共有多少种不同的吃法？【解析】我们将1

26、0块大白兔奶糖从左至右排成一列，如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍”，则将10块糖分成了两部分。我们记从左至右 第1部分是第1天吃的，第2部分是第2天吃的，如：OOQOOOOOO表示第一天吃3T粒，第二天吃了剩下的7粒：OOO（DOOQOOO表示第一天吃了 4粒，第二天吃了 3粒，第三天吃了剩下的3粒.不难知晓，每一种插入方法对应一种吃法 ，而9个间隙，每个间隙可以插人也可以不插入，且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法，即512种不同的吃法。24. 小红有10块糖，每天至少吃 1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？【解析】分三种情况来考虑： 当小红最多一天吃 4块时，其余各每

27、天吃1块，吃4块的这天可以是这七天里的任何一天，有7种吃法； 当小红最多一天吃3块时，必有一天吃2块，其余五天每天吃1块，先选吃3块的那天，有7种选择， 再选吃2块的那天，有6种选择，由乘法原理，有 7 6 =42种吃法； 当小红最多一天吃2块时，必有三天每天吃 2块，其四天每天吃 1块，从7天中选3天，有376 5C7 =35（种）吃法。3 2 1根据加法原理，小红一共有7 42 35=84（种）不同的吃法.还可以用挡板法来解这道题，10块糖有9个空，选6个空放挡板，有 C；二C=84（种）不同的吃法。25. 把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分 3个，可以有多少种不同的分法？d）（法1）

28、先给每人2个，还有14个苹果，每人至少分一个，13个空插2个板，有C；3=78种分法.（法2）也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。【巩固】 有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？【解析】如图：OQOOQOOOO,将0粒糖如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有 9个空，从头开始吃, 若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉 的，九个空中画两条竖线，一共有9 8亠2=36种方法.26. 某池塘中有 A B、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个 儿童要分乘这些游船， 为安全起见，有儿

29、童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？【解析】由于有儿童乘坐的游船上必须至少有1个成人陪同，所以儿童不能乘坐 C船.若这5人都不乘坐C船，则恰好坐满A、B两船，若两个儿童在同一条船上， 只能在A船上，此时A 船上还必须有1个成人，有c3=3种方法；若两个儿童不在同一条船上， 即分别在A、B两船上，则B 船上有1个儿童和1个成人，1个儿童有C；=2种选择，1个成人有C3=3种选择，所以有 2X3=6种方 法故5人都不乘坐C船有3 9种安全方法；若这5人中有1人乘坐C船，这个人必定是个成人，有 C3=3种选择其余的2个成人与2个儿童， 若两个儿

30、童在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必须有1个成人，有C； =2种方法，所以此时有3 2 =6种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有1个儿童和1个成人，此时1个儿童和1个成人均有 C； =2种选择，所以此种情况下有3 2 2 =12种方法；故5人中有1人乘坐C船有6 -12=18种安全方法所以，共有 9 -18=27种安全乘法.27. 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？恰有3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】恰有3名女生入选，说

31、明男生有 5人入选，应为C83 C；o =14112种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与 排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：C18 -Go - C10 C8 - 43758 ；4人必须入选，则从剩下的 14人中再选出另外4人，有=1001种;从所有的选法C18种中减去这4个人同时入选的 C打种：84C18 C14 =43758 -1001 =42757 .分三类情况：4人无人入选；4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共:C： - C4 C： C： C： = 34749。28. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科

32、主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 有3名内科医生和2名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生；至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生。36疋5 4【解析】 先从6名内科医生中选3名，有C：二一=20种选法；再从4名外科医生中选2名，3汇2江1共14页第7页共有c4 =4 =6种选法根据乘法原理，一共有选派方法20 6 =120种.2x1 用“去杂法”较方便，先考虑从10名医生中任意选派5人，有 d10 9 8 7 6 =252种选派方5疋4汉3汉2 乂 1法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有4人，所以不可能只派外科医生如果只

33、派内科医生，有C；二C： =6种选派方法所以，一共有 252 6=246种既有内科医生又有外科医生的选派方法。 如果选1名主任，则不是主任的8名医生要选4人，有2 C4 -2 8 7 6 5 =140种选派方法；如果4汉3汇2x1选2名主任，则不是主任的8名医生要选3人，有1 C； =1 8 7 6 =56种选派方法.根据加法原理,3x2x1一共有140 56 =196种选派方法.49 8 7 6C9126种选取万法；3 2 14人不能全选内科医生，用“去杂法”有分两类讨论： 若选外科主任，则其余 4人可任意选取，有4C8 - C5 若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余=65种选取法.根据加

34、法原理，一共有 126 65 =191种选派方法。29. 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余 2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要 3人，共有多少种不同的选人方案？【解析】 按具有双项技术的学生分类：35 汽4 X3 两人都不选派，有 C3 = 5=10（种）选派方法；3汇2汇1 两人中选派1人，有2种选法而针对此人的任务又分两类：25X4若此人要安装电脑，贝U还需2人安装电脑，有C54=10（种）选法，而另外会安装音响设备的 3人2X1全选派上，只有1种选法由乘法原理，有 10 1=10（种）选法；若此人安

35、装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有口 =3（种）选法，需从5人中2汉135疋4工3选3人安装电脑，有 c45 4 3 =10（种）选法由乘法原理，有 3 10 =30（种）选法.3汉2江1根据加法原理，有1030 =40（种）选法；综上所述，一共有 2 40 =80（种）选派方法. 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下： 两人全安装电脑，则还需要从 5人中选1人安装电脑，另外会安装音响设备的3人全选上安装音响设备，有5 1 =5（种）选派方案；22543汉2 两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有C5 C3 = =60（种）选派方案；2X12江135汉4汉3 两人全安装音响设备

36、，有 3 C5 =3 =30（种）选派方案.3江2乂1根据加法原理，共有 560 395 （种）选派方案.综合以上所述，符合条件的方案一共有 10 8095 =185（种）30. 有11名外语翻译人员，其中 5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找 出8人，使他们组成两个翻译小组，其中 4人翻译英文，另 4人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分 配名单共可以开出多少张？【解析】 针对两名英语、日语都精通人员（以下称多面手）的参考情况分成三类： 多面手不参加，则需从 5名英语翻译员中选出 4人，有C；=C5=5种选择，需从4名日语翻译员中 选出4人，有1种选择由乘法

37、原理，有 5 1=5种选择. 多面手中有一人入选，有 2种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，则需从 5名英语翻译员中再选出 3人，有C； =5 4 3 =10种选择，需从4名日3x 2x1语翻译员中选出4人，有1种选择由乘法原理，有 2 10 1 =20种选择；如果参加日文翻译，则需从 5名英语翻译员中选出 4人，有C：=C5=5种选择，需从4名日语翻译 员中再选出3名，有C： =C4 =4种选择由乘法原理，有 2 5 4 =40种选择根据加法原理，多面 手中有一人入选，有 20 40 =60种选择. 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：两

38、人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种.斤乂 d情况中，还需从5名英语翻译员中选出 2人，有Cl二-=10种选择.需从4名日语翻译员中选 42X1人，1种选择.由乘法原理，有 1 10 1=10种选择.情况中，需从5名英语翻译员中选出 4人，有C；=C5=5种选择.还需从4名日语翻译员中选出2 人，有C： =4 3 =6种选择.根据乘法原理，共有 1 5 6=30种选择.2汉1情况中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择.剩下的需从5名英语翻译员中选出 3人，有兰空5=10种选择，需从4名日语翻译员中选出 3人，有C：=c4=4种选择.由乘法原理，3 X2 汇1有1 2 10 4=80种

39、选择.根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有10 30 8120种选择.综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出5 60 120 =185张.31. 下图中共有个正方形。【解析】 每个4 4正方形中有：边长为1的正方形有42个；边长为2的正方形有32个；边长为3的正方形有22 个；边长为4的正方形有12个；总共有42 32 22 12 =30（个）正方形.现有5个4 4的正方形，它们 重叠部分是4个2 2的正方形.因此，图中正方形的个数是30 5 -5 4 =130 。32. 在图中（单位：厘米）： 一共有几个长方形？ 所有这些长方形面积的和是多少51281-24r1_二3【解析】 一

40、共有（43 2 1） （43 2 1100（个）长方形;所求的和是512 8 1(512)(12 8)(8 1) (5 12 8) (128 1) (5 128 1)247 3(24)(47)(73) (24 7)(473) (24 73)= 144 86 =12384 (平方厘米)。33. 由20个边长为1的小正方形拼成一个 4 5长方形中有一格有“”图中含有“”的所有长方形(含正方形)共有个，它们的面积总和是 。(第六届走美决赛试题)【解析】 含的一行内所有可能的长方形有：(八种)含的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方形有 6 8 =48个，面积总和为(1 2 23 3 4 4

41、 5) (1 2 2 3 3 4360。34. 图中共有多少个三角形?Ae)显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6类(1) 最大的三角形1个(即ABC),(2) 第二大的三角形有 3个(3) 第三大的三角形有 6个(4) 第四大的三角形有 10个(5) 第五大的三角形有 15个(6) 最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有 1 + 3+ 6+ 10+ 15+24= 59 (个)图中共有三角形 2 X59= 118 (个)。35. 一个圆上有12个点Ai, A2, A3,，An, A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶 点，且

42、各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法？【解析】我们采用递推的方法.I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法.n如果圆上有6个点，除Al点所在三角形的三顶点外，剩下的三个 点一定只能在 A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法。氽下点.妣3131Ai31I川如果圆上有9个点，考虑Ai所在的三角形.此时，其余的 6个点可能分布在: Ai所在三角形的一个边所对的弧上； 也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上. 在表2中用“ +”号表示它们分布在不同的边所对的弧.如果是情形，则由n,这六个点有三种连法；如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法.川所在

43、三竜形余下点数种数.41 ?! 2 363.41 占 p63冲1血Aq63冲内血3 + 3113 + 31.4仏為3 + 31表2共有12种连法.9个点的分布有三种可能:W最后考虑圆周上有12个点同样考虑Ai所在三角形，剩下9个点都在同一段弧上: 有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；.4,所在三角形余下点数种散912松电丸歳9129r 123 + 636 + 333 + 63“MM池3 + 63為3 + 63AjAAa6 + 333 + 3 + 3J農3 每三个点在 Ai所在三角形的一条边对应的弧上.得到表3.共有 12X3+3X6+1 = 55 种.所以当圆周上有12个点时，满足题意的

44、连法有 55种。36.用2 , 3 , 4, 5排成四位数：1）共有多少个四位数?（2）无重复数字的四位数有多少个？（3）无重复数字的四位偶数有多少个？（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？【解析】 条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如 2 234 ,3 355 ,2 444 ,5 555等. 依分步计数乘法原理共有 4 4 4 4 =44 （个）4 P4 =24 （个）个位上只能是2或4，有2P； =12 （个）所有四位数中，2在3的左边或2在3的右边的数各占一半，

45、共有 -P44 =12 （个）22在千位上，只有1种方法，此后34、只能在另外的3个位置上排列，有 P；=6 （个）法一：5不在十位、个位上，所以 5只能在千位上或百位上，有 2P3=12 （个）5432法二：从P5中减去不合要求的（5在十位上、个位上），有P4 -2P3 =2P2 =12 （个）。37. 如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和。5T9141【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有 m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn

46、个，所以有（4+3+ 2+ 1）X（4+ 3+2+ 1 ）= 100,这些长方形的面积和为：（5+7+ 9+2+ 12+ 16+ 11+ 21 +18+23）X（4+6+ 5+ 1+ 10+ 11+ 6+ 15+ 12+ 16） = 124 X86= 10664。38. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？【解析】 初看本题似乎觉得很好入手，比如可以按天数进行分类枚举：1天吃完的有1种方法，这天吃10块；2天吃完的有9种方法，10= 1+9= 2+ 8=9+1; 当枚举到3天吃完的时，情况就有点错综复杂了，叫人无所适从所以我们必须换一种角度来思考. 不妨从具体的例子入手

47、来分析，比如这10块糖分4天吃完：第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块.我们可以将10个“O”代表10粒糖，把10个“O”排成一排，“O”之间共有9个空位，若相邻两块糖 是分在两天吃的，就在其间画一条竖线 （如下图）.O0DO 10000比如上图就表示“第 1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块.”这样一来，每一种吃糖的方法就对应着一种“在9个空位中插入若干个|的方法”，要求有多少个不同的吃法，就是要求在这 9个空位中插入若干个“的方法数。由于每个空位都有画与“不画两种可能:OQ.OQQQQQQQ每个空位都有画“ |”与不画“|”两种可能根据乘法原理，在这 9个

48、空位中画若干个“的方法数有：2 2 22=29=512，这也就说明吃完910颗糖共有512种不同的吃法。39. 用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形.如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形如果这个大等边三角形的每边由 20根火柴组成，那么一共要用多少 根火柴？f） 把大的等边三角形分为“ 20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了 3根火柴；从上向下数第二层用了3 X2= 6根；从上向下数第二层用了3 X3= 9根；从上向下数第二层用了3 X20= 60根；所以总共要用火柴3 x（1+2+3+20） =630。月测备选40. 书架上有3本故事书，2本作文选和1本漫画书，全部竖起来排成一排。如果同类的书不分开，一共有多少种排法？如果同类的书可以分开，一共有多种排法？g） 可以分三步来排：先排故事书，有P3 =3 2 1=6（种）排法；再排作文选，有 F22=2 1=2（种）排法；最后排漫画书有1种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先后顺序3有F3=3 2 1=6（种）.故由乘法原理，一共有