两类曲线积分的探究毕业论文

1、-两类曲线积分的探讨 学生姓名： 学号：数学与信息科学学院 数学与应用数学专业指导老师： 职称： 摘 要：本文给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分的定义,并分别讨论了第一型曲线积分和第二型曲线积分的有关性质.通过列举一些求解两类曲线积分的例子,重点讨论了两类曲线积分的有关计算.最后,又给出了两类曲线积分的联系.关键词：第一型曲线积分;第二型曲线积分;性质,计算,联系.talk about the two types of the line integralsabstract: this article introduces the definition of the line integral

2、s of the first type and the second type, the nature of the two line integrals are discussed .it focus on the calculation of the two line integrals by some examples .finally,it gives the connection of the two types of the line integrals.key words: the line integrals of the first type; the line integr

3、als of the second type; property;calculation;connection.前言积分贯穿于整个大学数学的课程中,而这两类曲线积分是将以前定义在直线段上函数的积分延伸到了定义在平面或空间曲线段上的函数积分.给出两类曲线积分的不同定义,不同性质和求解方法则成为我们能准确掌握两类曲线积分的基础.因此,通过学习,现将两类曲线积分的相关知识总结如下,并希望通过此次总结,能够对两类曲线积分有一个更深入的了解,对相关知识掌握的更加牢固.1.第一型曲线积分1.1 第一型曲线积分的定义 设l 为平面上可求长度的曲线段, 为定义在l上的函数.对曲线l做分割t,它把分成n个可求长

4、度的小线段的弧长记为,分割t的细度为,在上任取一点若有极限且j的值与分割t与点的取法无关,则称此极限为在l上的第一型曲线积分,记做.1.2第一型曲线积分的性质若存在, 为常数.则也存在,且=.若曲线段由曲线首尾相接而成,且都存在,则也存在,且=.与都存在,且在l上,则 .若存在,则也存在,且| .若存在, l的弧长为n,则存在常数c,使得=,这里.1.3 第一型曲线积分的计算1.3.1转化为定积分法定理1设有光滑曲线函数为定义在l上的连续函数,则 证 由弧长公式知道,l上由到的弧长.由的连续性与积分中值定理,有.所以= ,这里,.设,则有 =+. 令,则当时,必有.现在证明.因为复合函数关于t

5、连续,所以在闭区间上有界,即存在常数m,使得对一切都有.再由在上连续,所以它在上一致连续,即对任给的,必存在,使当时有,从而所以 .再由积分定义, .因此当在式两边取极限后,即得所要证的式.例1 设l是半圆周试计算第一型曲线积分.解 =. 1.3.2利用对称性求解定理2 设曲线l关于点p(或直线l或平面y)对称的曲线和组成,且设的对称点为,则例2 设l是椭圆,其周长记为a,计算.解 椭圆的方程可化为,代入积分中=.因为是x的奇函数,曲线l关于y轴对称,故由定理2可知且.故=.1.4延伸若l为空间可求长曲线段, 为定义在l上的函数,则可类似地定义在空间曲线l上的第一型曲线积分,并记做.仿照定理1

6、,对于空间曲线积分,当曲线l由参量方程表示时,其计算公式为:.例3 计算,其中l为球面被平面所截得的圆周.解 由对称性知,所以.2.第二型曲线积分2.1 第二型曲线积分的定义设函数与定义在平面由向可求长度曲线弧上.对l的任一分割t,它把l分成n个小曲线段弧 ,其中.记各小曲线段弧的弧长为,分割t的细度.又设t的分点的坐标为,并记,.在每个小曲线段弧上任取一点,若极限存在且与分割t与点的取法无关,则称次极限为函数,沿有向曲线l上的第二型曲线积分,记为 或 上述积分也可写作或为书写简洁起见, 式常写成或. 若l为封闭的有向线段,则记为 若记,则式可写成向量形式 或. 于是,力沿有向曲线弧对质点所作

7、的功为.注 第二型曲线积分与曲线l的方向有关.对同一曲线,当方向由a到b改为由b到a时,每一小曲线段的方向都改变,从而所得的也随之改变符号,故有 而第一型曲线积分的被积表达式只是函数与弧长的乘积,它与曲线l的方向无关,这是两种类型曲线积分的一个重要区别.2.2 第二型曲线积分的性质 若存在,则也存在,且其中为常数. 若有向曲线l是由有向曲线首尾相接而成,且存在,则也存在,且.2.3 第二型曲线积分的计算2.3.1 化为定积分的方法定理3 设平面曲线其中在上具有一阶连续导函数,且点a与b的坐标分别为与.又设与为l上的连续函数,则沿l从a到b的第二型曲线积分 . 例4 计算,其中l分别为如下中的路

8、线 直线ab; acb(抛物线: ); adba(三角形周界).解 直线的参数方程为.故由公式可得. 曲线acb为抛物线 , ,所以= 这里l是一条封闭曲线,故可从a开始,应用第二型曲线积分的性质,分别求沿ad,db和ba上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线的线积分为.沿直线的线积分为.沿直线的线积分可由公式得到.所以.2.3.2 利用格林（green）公式求解定理4（green公式）若函数,在闭区域d上连续,且具有一阶的连续偏导数,则有.这里l为区域d的边界线,并取正方向.例5 计算,其中l为任一不包含原点的闭区域的边界线.解 因为,.在上述区域d上连续且相等,于是,所以由格

9、林公式立即可得2.4延伸若l为空间有向可求长度曲线, 为定义在l上的函数,则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线l上的第二型曲线积分,并记为或简写成对于沿空间有向曲线的第二型曲线积分的就是公式也与式相仿.设空间有向光滑曲线l的参量方程为起点为终点为则=. 这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.例6 计算第二型曲线积分l是螺旋线: 从到上的一段.解 由公式,=.3.两类曲线积分的联系虽然第一性曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型,且有着不同的特性,但在一定条件下,如在规定了曲线的方向之后,可以建立它们之间的联系.设l为从a到b的有向光滑曲线,它以弧长s为参数,于是其中l为曲线l的全

10、长,且点a与的坐标分别为与.曲线l上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以, 分别表示切线方向t与x轴与y轴正向的夹角,则在曲线上的每一点的切线方向的余弦是 . 若为曲线l上的连续函数,则由式得=, 最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式.这里必须指出,当式左边第二型曲线积分中l改变方向时,积分值改变符号,相应在式右边第一型曲线积分中,曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧长减少的方向).这时夹角和分别于原来的夹角相差一个弧度,从而和都要变号.因此,一旦方向确定了,公式总是成立的.这样,根据条件和公式便建立了两种不同类型曲线积分之间的联系.结语第一型曲线积分和第二型的知识虽然不是很多,但却是我们不可小视的,正确掌握第一型曲线积分和第二型曲线积分的相关知识对我们以后的学习也是很有帮助的.本文汇总了曲线积分的性质和计算,但是还不完善,请读者批评指正.参考文献:1华东师范大学数学系.数学分析m.北京:高等教育出版社,2001.2王占林,杨