电路的拉普拉斯变换分析法[高教书苑]

1、第第7章章 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法 7.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 7.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 7.4 复频域电路复频域电路 7.5 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法 1高级教育 7.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性常系数线性 微分方程微分方程的的工具工具。 设一个变量设一个变量t的函数的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条，在任意区间能够满足狄利赫利条 件（一般电子技术中处理的函数

2、都满足这一条件）件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件） 拉氏拉氏正变换正变换 Sj f(t)：原函数原函数；F(S)：f(t)的的象函数象函数。 0 0 0。 )()(tetf at 解解 lim1 1 )( )()( )( 0 )( 0 )( 0 0 tas t tas tasstat st e as as e dtedtee dtetfsF - - - - - - - - - - - 根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义 js因为 tjta t ee - )( lim =0 0lim )( - tas t e )(a as - 1 )(a a称为称为收敛域收敛域 3高级教育 拉氏反拉

3、氏反变换变换 - j j st dsesF j tf )( 2 1 )( )()( )()( 1 sFLtf tfLsF - 拉氏正变换拉氏正变换 拉氏反变换拉氏反变换 拉氏变换对拉氏变换对 由由F(s)到到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换 下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换 工程中常见的函数工程中常见的函数(除少数例外除少数例外)有下列两类有下列两类:(1) t的指数函的指数函 数；数；(2) t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正 弦函数、衰减正弦函

4、数等，都可由这两类函数导出。弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。 4高级教育 7.1.1 指数函数指数函数 t et ( 为常数为常数) 由定义可得由定义可得 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为 1 ( )F s s - 由此可导出一些常用函数的变换由此可导出一些常用函数的变换 ： 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数 t t et 00 01 )( t t t 1 ( )F s s - 0 0 1 Lt s 5高级教育 2、正弦函数、正弦函数 sin t t jtjt 1 sin 2j tee - - 故有故有 22 sin s ttL 22 tjtj j 1 j 1 j2 1 j2 1

5、sin - - - - sss teeLttL 6高级教育 3、余弦函数、余弦函数 cos t t jtjt 1 cos 2 tee - 22 cos s s ttL 故有故有 22 tjtj j 1 j 1 2 1 2 1 cos - - s s ss teeLttL 7高级教育 4、衰减正弦函数、衰减正弦函数 t sine t - - jj 1 sin 2j ttt etee - - )( 1 )( 1 2 1 sin jasjasj teL at - - - 22 )( as 故有故有 22 )( sin - as teL at 5、衰减余弦函数、衰减余弦函数 t cose t - -

6、与衰减正与衰减正 弦函数相弦函数相 类似可得类似可得 2 2 cos t s L ett s - 8高级教育 6、双曲线正弦函数、双曲线正弦函数 sh b bt t 1 sh 2 tt tee bb b - - 22 shLtt s b b b - 故有故有 7、双曲线余弦函数、双曲线余弦函数 ch b bt t 与双曲线正弦函数相类似可得与双曲线正弦函数相类似可得 22 ch s Ltt s b b - 9高级教育 7.1.2 t的正幂函数的正幂函数 (n为正整数为正整数 n tt 由定义可得由定义可得 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为 n tt 0 nnst L ttt edt - 设设,

7、dd nst utvet - 则则 00 0 1 0 1 0 0 0 nst n stnst nst t edtudv uvudv tn etedt ss n tedt s - - - - - 亦即亦即 1nn n L ttL tt s - 10高级教育 依次类推，则得依次类推，则得 12 1 1 122 1 1! nnn n nn n L ttL ttL tt sss n nnn ssss s ss - - - 当当n=1时，有时，有 2 1 )( s ttL 1nn n L ttL tt s - 11高级教育 7.1.3 冲激函数冲激函数 A d d（t） 冲激函数的定义冲激函数的定义 d

8、0t f ttfd - 可得可得 0 0 d st L AtAt etAeAdd - 对于对于单位冲激函数单位冲激函数来说，可令上式来说，可令上式 A=1，即得：，即得： t1Ld 书中表书中表7 - -1给出了一给出了一些常见函数的拉普拉斯变换些常见函数的拉普拉斯变换 12高级教育 拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的

9、对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。 （2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些超对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些超 越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。 拉氏变换法的拉氏变换法的优点优点： （1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐 次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对 于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；于换路起始时有突变现象的问题处理更

10、方便； 13高级教育 7.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便 地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质 可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线 性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。 7.2.1 线性特性线性特性 若若 f1(t) F1(s) L f2(t) L F2(s) 则则)()( 2211 tfat

11、fa L )()( 2211 sFasFa a1，a2为任意常数为任意常数 14高级教育 证明证明 求函数的象函数求函数的象函数 11221122 000 ( )( )( )( ) ststst a f ta f tedta f t edta f t edt - - )()( 2211 sFasFa 例例 tata beetf 21 )( 解解 21 1 )( 21 as b as beeLtfL tata - - 7.2.2 尺度变换尺度变换 若若 f (t) F (s) L 则则 f1(at) L )( 1 a s F a a为大于零的实数为大于零的实数 15高级教育 证明证明 - - 0

12、0 )()()( a dat eatfdteatfatfL at a s st 令令x= =at )( 1 )( 1 )( 0 a s F a dxexf a atfL x a s - 7.2.3 时间变换时间变换 若若 f (t) F (s) L )( 0 ttf- L 0 )( st esF - )( 0 ttf- 0 t f(t) 0 t t0 f(t-t0) )()( 00 ttttf- 16高级教育 证明证明 - - - 0 )()()( 0 0 00 t stst dtettfdtettfttfL 令令 0 ttx- 0 txtdxdt t0 为常数为常数 则则 00 )()()(

13、 0 0 ststsx esFdxeexfttfL - - - 例例 解解 求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换求图中所示的锯齿波的拉普拉斯变换 0t f(t) E T t 0 t fa (t) 0 t T fc (t) 0 -E T f b (t) = + + 17高级教育 abc f tftftft a E fttt T b ftEtT - c E fttTtT T - 2 2 a sT b sT c E L ft Ts E L fte s E L fte Ts - - - - 由线性性质由线性性质 22 2 11 abc sTsT st L f tL ftL ftL ft EEE ee Ts

14、sTs E Tse Ts - - - - 18高级教育 时间平移特性还可以时间平移特性还可以用来求取有始周期函数用来求取有始周期函数( (t t0 0时呈现时呈现 周期性的函数周期性的函数 , ,在在t t0 0范围函数值为零范围函数值为零) )的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 f (t)为有始周期函数，其周期为为有始周期函数，其周期为T， f 1(t)、 f 2(t) 分别表分别表 示函数的第一周期，第二周期，示函数的第一周期，第二周期，的函数的函数 ， 123 f tftftft 由于是周期函数，因此由于是周期函数，因此 f 2(t)可看成是可看成是 f 1(t)延时一个周期延时一个周期 构成

15、的，构成的， f 3(t)可看成是可看成是 f 1(t)延时二个周期构成的，依此延时二个周期构成的，依此 类推则有类推则有 -TtfTtftftf2 111 19高级教育 根据平移特性，若根据平移特性，若 11 L ftF s 则则 2 111 21 1 1 1 sTsT sTsT sT L f tF sF s eF s e F s F see e - - - - f (t)为有始周期函数，其周期为为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等拉普拉斯变换等 于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子 1 1 sT e- 例例 求图中半波正弦函数的拉普

16、拉斯变换求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换 0 t E T 2 3 T2 5T 2 T 2 T f (t) 20高级教育 解解 先求第一个半波先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 0t E f 1(t) 3T 2 T2T 0t E T 2 f 1b(t) | 3T 2 T2T 0t E T 2 f 1a(t) + 111 sinsin 22 ab ftftft TT EttEtt - 有始正弦函数的拉普拉斯变换为有始正弦函数的拉普拉斯变换为 22 sinLtt s 故根据时间平移特性可得故根据时间平移特性可得 21高级教育 111 22 222222 1 ab sTsT L f

17、tL ftL ft EEE ee sss - 半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为 2 2222 2 11 1 1 sT sTsT EeE L f t ses e - - - - - 22高级教育 7.2.4 频率平移特性频率平移特性 若若 f (t) F (s) L 则则 )()( 0 0 ssFetfL ts - - 证明证明 )()()()( 0 0 )( 0 000 ssFdtetfdteetfetfL tsssttsts - - - 7.2.5 时域微分特性时域微分特性 )( tf L 若若 f (t) F (s) L )0()( - - fssF则则 证

18、明证明 - - 0 )( )( )( dte dt tdf dt tdf LtfL st 23高级教育 由上式应用分部积分法，有由上式应用分部积分法，有 - - 0 )( )( )( dte dt tdf dt tdf LtfL st )()()()( )( 0 0 0 ssFetfdtetfsetf dt tdf L ststst - - - - - 式中式中 0)( - t st etf 于是可得于是可得 )0()()( - -fssFtfL 应用上式的结果可得应用上式的结果可得 )0()0()()0()()()( 2 - - fsfsFsftfsLtf dt d LtfL 依此类推，可得

19、依此类推，可得 )0()0()0()()( )1(21)( - - - - - - - nnnnn ffsfssFstfL 24高级教育 如果如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为及其各阶导数的初值为零。则上式变为 )()( ssFtfL )()( 2 sFstfL )()( )( sFstfL nn 例例 解解 若电容元件若电容元件C的端电压的端电压uC(t)的拉氏变换式为的拉氏变换式为UC(s) 求电容求电容C中电流的象函数中电流的象函数IC(s)。 应用微分性质应用微分性质 IC(s)=LiC(t)=LC =CsUC(s)- - uC(0-)= CsUC(s)- - CuC(0-

20、) dt tduC)( 如果如果C C的端电压初始值的端电压初始值uC(0-)=0 IC(s) = CsUC(s) )0()0()0()()( )1(21)( - - - - - - - nnnnn ffsfssFstfL 则有则有 25高级教育 7.2.6 时域微分特性时域微分特性 L 若若 f (t) F (s)则则 s sF dfL t )( )( 0 证明证明 - 000 )()(dtedfdfL st tt 对上式进行分部积分，得对上式进行分部积分，得 - - - - 00000 )( 1 0 )()()(dtetf s df s e dtedfdfL st t st st tt s

21、 sF dfL t )( )( 0 =0 =0 则则 如函数的积分区间不由如函数的积分区间不由0开始而是由开始而是由-开始开始 0 0 ddd tt fff - 则因为则因为 26高级教育 故有故有 将积分性质广到多重积分将积分性质广到多重积分 0 d d t f F s Lf ss - - 同前面同前面样，样，此处的此处的0 0意味着意味着0-0- 2 00 dd tF s Lf s 书中表书中表7 2列出了拉普拉斯变换的基本性质。列出了拉普拉斯变换的基本性质。 则有则有 27高级教育 7.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必利用拉普拉斯变换法对

22、电路进行暂态分析，最终结果必 须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。 求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表 因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切 函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分部分 分式法分式法。 28高级教育 利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般 都是都是s的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比，的

23、实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比， 即即 01 2 2 1 1 01 1 1 )( )( )( asasasas bsbsbsb sD sN sF n n n n n m m m m - - - - - - 式中的诸系数式中的诸系数an , bn 都是实数，都是实数，m、n都是正整数。都是正整数。 如如mn时，可以将假分式可分解为多项式与真分式之和。时，可以将假分式可分解为多项式与真分式之和。 N(S)=0的根被称为的根被称为F(S)的的零点零点； D( (S)=0)=0的根被称为的根被称为F( (S) )的的极点极点。 为了分解为了分解F(s)为部分分式，只需讨论为部分分式，只

24、需讨论D(s)=0的根。的根。 29高级教育 7.3.1 D(s)=0均为单根，即无重根的情况（设均为单根，即无重根的情况（设mn） 因因D(s)是是s的的n次多项式，故可分解因式如下次多项式，故可分解因式如下 由于由于D(s)无重根，故无重根，故sn都不相等，都不相等， F(S)写成部分分式的形式为写成部分分式的形式为 )()()()( 21nk sssssssssD- n n k k ss A ss A ss A ss A sF - - - - 2 2 1 1 )( A1，A2，. Ak. An为待定系数，称为为待定系数，称为F(s)在各极点处的在各极点处的留数留数。 Ak 如何确定？如何

25、确定？ 30高级教育 n n kk kk n n k k k k kkk ss A ssA ss A ss ss A ss ss A ss ss A ss ss A ss ss A sssFss - - - - - - - - - - - - - - )( )()( )()( )()()()( 2 2 1 1 2 2 1 1 k ss kk ss sD sN A -)( )( )( 令令 k ss 将等式的两边将等式的两边 乘以乘以(s-sk) n n k k ss A ss A ss A ss A sF - - - - 2 2 1 1 )( 31高级教育 在求出了部分分式的在求出了部分分式的

26、 Ak各值之后，就可以逐项对部分分式各值之后，就可以逐项对部分分式 求拉氏反变换，得求拉氏反变换，得 ts k k k k eA ss A L - - 1 F(s)的原函数为的原函数为 0 )( )( )( )( )( )( 11 11 - - - te sD sN ss ss A L sD sN Ltf n k ts ssk n k k k k k 由此可见，象函数的拉氏反变换，可表示为若干指数函数项之和由此可见，象函数的拉氏反变换，可表示为若干指数函数项之和 32高级教育 例例1 解解 求求 的原函数。的原函数。 352 10114 )( 2 2 ss ss sF 首先将首先将F(s)化为

27、真分式化为真分式 2 22 2 41110414 22 53 2532532 22 ssss F s ssss ss 将分母进行因式分解将分母进行因式分解 2 533 1 222 D sssss 将将F(s)中的真分式写成部分分式中的真分式写成部分分式 12 2 41 3 25321 2 AAs sss s 33高级教育 求真分式中各部分分式的系数求真分式中各部分分式的系数 1 11 1 1 2 3 2 44 16 33 1 22 34 5 32 1 2 s s s s s N sss Asss D s sss s As ss - - - - - 34高级教育 于是于是F(s )可展开为可展开

28、为 1615 2 3 212 2 F s s s - 其原函数为其原函数为 2 1111 2 3 2 5 411103 2 2 3 2531 2 5 23 2 t t ss LLLL sss s teetd - - - - - 0t 注意：在对假分式进行反变换时，应首先将假分式变为真注意：在对假分式进行反变换时，应首先将假分式变为真 分式，然后再进行部分分式分解。分式，然后再进行部分分式分解。 35高级教育 例例 解解 求求 的原函数。的原函数。 52 )( 2 ss s sF 先将分母分解因式先将分母分解因式 052)( 2 sssD 得得 21) )204(2( 2 1 2, 1 js-

29、是一对共轭复数是一对共轭复数 )2( 4 1 )21( )21)(21( 21 1 jjs jsjs s A js - - - )2( 4 1 )21( )21)(21( 21 2 jjs jsjs s A js - - - 方法一方法一 由由 36高级教育 由于由于 为一对共轭值，为一对共轭值， A1，A2则也必为共轭值，则也必为共轭值， 所以所以A2可由可由A1直接求得。直接求得。 * 21 ss 于是于是 21 ) 12( 4 1 21 ) 12( 4 1 )( js j js j sF - - 对上式逐项求反变换，并加以整理得对上式逐项求反变换，并加以整理得 111 2 ( 12)(

30、12) 11 (21)(21) 44 251212 1 (21)(21) 4 1 (2cos2sin2 ) 0 2 jtjt t jj s LLL sssjsj j ej e ettt - - - - - - - - - 37高级教育 方方 法法 二二 当当D(s)为二次三项式，且为二次三项式，且D(s)=0的根为一对共轭复数时，的根为一对共轭复数时， 还可以使用更简便的方法求原函数。即将分母配成二项还可以使用更简便的方法求原函数。即将分母配成二项 式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来考虑。式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来考虑。 F(s) 可配可配 方为方为 2222 222 2) 1

31、( 1 2) 1( 1 4) 1(4) 12(52 )( - - ss s s s ss s ss s sF 直接查阅拉普拉斯变换表可得直接查阅拉普拉斯变换表可得 0 )2sin2cos2( 2 1 2sin 2 1 2cos 2) 1( 1 2) 1( 1 )( 2222 11 - - - - - - ttte tete ss s LsFL t tt 计算步骤大为简化计算步骤大为简化 38高级教育 例例 解解 求求 的原函数。的原函数。 象函数象函数F(s)不是有理函数，部分分式分解的方法无不是有理函数，部分分式分解的方法无 法直接应用，这时可先将法直接应用，这时可先将F(s)改写成改写成

32、s s esFsF ss e ss s sF 2 21 2 2 2 )()( 65 3 65 )( - - 其中其中 65 3 )( 65 )( 2 2 2 1 ss sF ss s sF 分别都是有理函数，可用部分分式法分解分别都是有理函数，可用部分分式法分解 65 3 )( 2 2 - ss es sF s 根据时间平移性质可知根据时间平移性质可知 的原函数，就等于的原函数，就等于F2(s)的的 原函数再平移原函数再平移2个时间单位的结果。个时间单位的结果。 s esF 2 2 )( - 39高级教育 分别求分别求F1(s)，F2(s)的原函数的原函数 )()32( 3 3 2 2 )(

33、31 1 1 tee ss LsFL t - - - )()33( 3 3 2 3 )( 321 2 1 tee ss LsFL tt - - - 112 12 232(2)3(2) ( ) ( )( )( ) ( 23) ( )(33) (2) 0 s tttt f tLF sLF sF s e eeteett - - - 于是可得于是可得 40高级教育 7.3.2 D(s)=0的根有重根的情况（设的根有重根的情况（设mn） 设设D(s)=0在在s=s1处有处有p阶重根，这时可将阶重根，这时可将F(s)写成下面的形式写成下面的形式 )()( )( )( 1 sQss sN sF p - 把把

34、F(s)展开成部分分式展开成部分分式 pn pnp ppp ss A ss A ss A ss A ss A ss A ss A sF - - - - - - - - - - 3 3 2 2 1 1 2 1 13 1 1 12 1 11 )( )()()( )( A2，A3，. An-p 各留数仍可照无重根的情况求取各留数仍可照无重根的情况求取 41高级教育 pn pnp ppp ss A ss A ss A ss A ss A ss A ss A sF - - - - - - - - - - 3 3 2 2 1 1 2 1 13 1 1 12 1 11 )( )()()( )( 1 )( )

35、( )( 111 ss sD sN ssA - A12、A13、. A1p各留数各留数，不能再采用这种方法。因为这样将使，不能再采用这种方法。因为这样将使 导数分母中出现导数分母中出现“0”值，而得不出结果。值，而得不出结果。 留数留数A11的求取的求取，可将等式的两边乘以，可将等式的两边乘以 令令s=s1 p ss)( 1 - )()()( 11 sFsssF p - 于是于是 - -1 11 2 113112111 )()()()( p p ssAssAssAAsF 为此，引入辅助函数为此，引入辅助函数 42高级教育 - -1 11 2 113112111 )()()()( p p ssA

36、ssAssAAsF 对对s微分得微分得 .)(1(.)(2 )( 2 1111312 1 - -p p sspAssAA s sF 1 )( 1 12 ss s sF A 1 )( ! 2 1 1 2 2 13 ss sF ds d A 1 )( )!1( 1 1 1 1 1 ss k k k sF ds d k A - - - 显然显然 同理同理 依此类推，得一般形式为依此类推，得一般形式为 43高级教育 )( )!1()( 1 11 1 11 tet k A ss A L tskk k k - - - - - - - - pn i ts i ts p ts p tsptsp teAteAt

37、teA tet p A tet p A sFL i 2 1)1(1 2121111 )()()( )( )!2( )( )!1( )( 11 11 确定了系数，就可根据拉普拉斯变换直接，求取原函数。确定了系数，就可根据拉普拉斯变换直接，求取原函数。 所以所以F(s)对应的原函数对应的原函数 因为因为 44高级教育 例例 解解 求求 的原函数。的原函数。 2 ) 1)(3( 2 )( sss s sF D(s)=0有四个根，一有四个根，一个二重根个二重根s1= - -1和和s2=0，s3= - -3 两个两个 单根单根 31) 1() 1)(2( 2 )( 3212 2 11 2 s A s A

38、 s A s A sss s sF 4 3 1|)3( )32)(2()3( )3( 2 ) 1)( 2 1 1| )3( 2 ) 1)( 22 1 1 2 12 1 2 11 - - - - - - - - sss ssss ss s ds d ssF ds d A sss s ssFA s s s 其中各待定系数分别确定如下其中各待定系数分别确定如下 故部分分式故部分分式 可表示为可表示为 45高级教育 12 1 ) 1( 2 )3)( 3 2 ) 1)(3( 2 )( 3 23 3 0 20 2 - - s s s s ss s ssFA ss s ssFA 3 12 1 3 2 1 4

39、 3 ) 1( 2 1 )( 2 - - ssss sF 13 1321 ( ) 0 24312 ttt LF steeet - - 故得故得 取反变换得取反变换得 以上介绍了用部分分式法求拉氏反变换的基本方法。在分析具以上介绍了用部分分式法求拉氏反变换的基本方法。在分析具 体问题时，可根据体问题时，可根据F(s)的分母有无重根分别用前述两种方法求的分母有无重根分别用前述两种方法求 各极点的留数，只要这些留数一经求得，就能得出反变换。各极点的留数，只要这些留数一经求得，就能得出反变换。 46高级教育 7.4 复频域电路复频域电路 用拉氏变换分析电路暂态时可不必写出微分方程再进行变用拉氏变换分析

40、电路暂态时可不必写出微分方程再进行变 换，可换，可先将时域电路变成复频域电路模型先将时域电路变成复频域电路模型，再根据复频域电再根据复频域电 路直接写出运算形式的电路方程路直接写出运算形式的电路方程，使计算过程更为简化。，使计算过程更为简化。 根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电 压电流关系的运算形式。压电流关系的运算形式。 7.4.1 电阻元件电阻元件 R i(t) u (t) 在时域中，有在时域中，有 )()(tRitu 47高级教育 R I(s) U(s) R i(t) u (t) )()(sUtuL )()(sItiL )()

41、(sRIsU 设设 ， 等式两边取拉氏变换，得等式两边取拉氏变换，得 )()(tRitu 时域形式时域形式复频域形式复频域形式 48高级教育 7.4.2 电容元件电容元件 C i(t) u(t) 在时域中，有在时域中，有 )0( 1111 )( 00 0 - - - - C ttt C uid C id C id C id C tu )()(sUtuL CC )()(sItiL s u sI sC sU C C )0( )( 1 )( - 令令 对等式取拉氏变换并应用积分性质得对等式取拉氏变换并应用积分性质得 49高级教育 I(s) U(s) 1 sC u C (0 - ) s s u sI

42、sC sU C C )0( )( 1 )( - 容端电压的象函数（称容端电压的象函数（称象电压象电压）由两部分组成：）由两部分组成：第一部分第一部分 是电流的象函数（称是电流的象函数（称象电流象电流）与运算形式的容抗（简言）与运算形式的容抗（简言容容 抗抗）的）的积积；第二部分第二部分相当于某阶跃电压的象函数，称为相当于某阶跃电压的象函数，称为内内 运算电压源运算电压源。 电容电容C在复频域中串联形式的电路模型在复频域中串联形式的电路模型 50高级教育 I(s) U(s) sC Cu C (0 - ) s u sI sC sU C C )0( )( 1 )( - )0()()( - - CC

43、CUssCUsI 象电流象电流也由两部分组成：也由两部分组成：第一部分第一部分是是sC（称（称容纳容纳）和）和 象电压象电压UC(s)的的乘积乘积；第二部分第二部分相当于某电流源的象函相当于某电流源的象函 数，称数，称内运算电流源内运算电流源 。 电容电容C在复频域中并联形式的电路模型在复频域中并联形式的电路模型 51高级教育 7.4.3 电感元件电感元件 在时域中，有在时域中，有 L i(t) u(t) dt di Ltu)( )0()()( - -LissLIsU s i sU sL sI )0( )( 1 )( - 令令Lu (t)=U (s),Li(t)=I(s)，对上式取拉氏变换，对

44、上式取拉氏变换 或或 I(s) U(s) Li(0-) sL 1 sL I(s) U(s) i(0-) s sL )0( - Li s iL)0( - 感抗感抗内运算电压源内运算电压源 内运算电流源内运算电流源 串联形式的电路模型串联形式的电路模型 并联形式的电路模型并联形式的电路模型 52高级教育 7.4.4 互感元件互感元件 在时域中，有在时域中，有 L1 i2(t) L2 M i1(t) u1(t) u2(t) sL 1 I2(s) sL 2 sM I1(s) U1(s) U 2(s) L 1i1(0-) M i2(0-) L2i2(0-) M i1(0-) dt di M dt di

45、Lu dt di M dt di Lu 12 22 21 11 )0()()0()()( )0()()0()()( 1122222 2211111 - - - - MissMIiLsIsLsU MissMIiLsIsLsU 对等式两边取拉氏变换有对等式两边取拉氏变换有 sM )0( 1- Mi )0( 2- Mi 互感运算阻抗互感运算阻抗 附加电压源的方向与电流附加电压源的方向与电流i1、i2 的参考方向有关。的参考方向有关。 附加的电压源附加的电压源 耦合电感元件耦合电感元件 复复 频频 域域 形形 式式 53高级教育 7.4.5 受控源受控源 线性受控源电路，在时域电线性受控源电路，在时域

46、电 路中满足路中满足 U1(s)= I1(s)R，U2(s)= U1(s) u1=i1R，u2=u1 对等式两边取拉氏变换有对等式两边取拉氏变换有 R 1 i1 u 1 u 2u 1 U 2(s) U 1(s) R 1 U 1(s) I 1(s) 线性受控源线性受控源 受控源的复频域形式受控源的复频域形式 54高级教育 把时域电路变换成它的等效运算电路（复频域电路）把时域电路变换成它的等效运算电路（复频域电路） 以以RLC串联电路为串联电路为例例 R S u(t) (t 00 u C C i(t) L R S U(s) (t 00 I(s) Li(0-) sL 1 sC uC(0 -) s R

47、LC串联电路串联电路 等效运算电路等效运算电路 由等效运算电路可直接写出电路的运算形式的代数方程由等效运算电路可直接写出电路的运算形式的代数方程 )( )0( )( 1 )0()()(sU s u sI sC LissLIsRI C - - - 55高级教育 s u LisUsI sC sLR C )0( )0()()() 1 ( - - - s u LisUsIsZ C )0( )0()()()( - - - 即即 )( )0( )( 1 )0()()(sU s u sI sC LissLIsRI C - - - sC sLRsZ 1 )( sC sLRsZ sY 1 1 )( 1 )( R

48、LC串联电路的串联电路的运算阻抗运算阻抗 RLC串联电路的串联电路的运算导纳运算导纳 式中式中 )()()(sUsIsZ )()()(sIsUsY 或者或者 运算形式的欧姆定律运算形式的欧姆定律 在零值初始条件下，在零值初始条件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，则有，则有 56高级教育 在画复频域电路时，应注意电路中的在画复频域电路时，应注意电路中的电压、电流电压、电流均用均用象象 函数函数表示，同时表示，同时元件元件用用运算阻抗或运算导纳运算阻抗或运算导纳表示，且表示，且电电 容电压和电感电流初始值容电压和电感电流初始值用用附加电源附加电源表示。表示。 例例 E E (t) i1R R

49、L C L i2 I1(s) R R L sL I2(s) 1 sC E s 时域电路时域电路 复频域电路复频域电路 57高级教育 7.5 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法 0)(sI 0)(sU )()()(sIsZsU )()()(sZsYsI 拉普拉斯变换法把时间函数变换为对应的象函数，把线性电拉普拉斯变换法把时间函数变换为对应的象函数，把线性电 路的求解归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。路的求解归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。 对任一回路对任一回路 对任一节点对任一节点 对于复频域电路对于复频域电路 ，两类约束关系为，两类约束关系为 58高级教育 应用拉氏

50、变换分析线性电路的应用拉氏变换分析线性电路的步骤步骤： （4）通过拉氏反变换得出时域中响应电压和电流。通过拉氏反变换得出时域中响应电压和电流。 （2）画出换路后的等值运算电路；画出换路后的等值运算电路； （3）应用电路分析方法求出响应电压、电流的象函数；应用电路分析方法求出响应电压、电流的象函数； （1）求出换路前电路中所有电容元件上的初始电压求出换路前电路中所有电容元件上的初始电压uc (0-) 和所有电感元件上的初始电流和所有电感元件上的初始电流iL (0-)； 59高级教育 例例1 解解 电路如图所示，电路如图所示， ，开关，开关s闭合前电路处闭合前电路处 于稳态，在于稳态，在t = 0

51、时开关时开关S闭合，求电路中闭合，求电路中iL及及uC V100)0( -C u 1000 F 0.1H u C 200V i L S 1010 3030 开关闭合前电路已处于稳态，所以开关闭合前电路已处于稳态，所以 (0 )5A L i - V100)0( -C u 已知已知 可得运算电路可得运算电路 0.1s 30 10 IL(s) 100 s 1000 s 0.5 200 sUC(s) 60高级教育 0.1s 30 10 IL(s) 100 s 1000 s 0.5 200 sUC(s) I1(s) I2(s) 5 . 0 200 )(10)1 . 040)( 21 - s sIssI

52、s sI s sI 100 )() 1000 10()(10- 21 设回路电流为设回路电流为I1(s)、I2(s), 应用回应用回 路电流法，可列出方程为路电流法，可列出方程为 解得解得 2 2 1 )200( )40000700(5 )( ss ss sI 22 22211 1 )200( 15005 )200(200 )( sss K s K s K sI 求其反变换得原函数为求其反变换得原函数为 Attetiti t L )()15005()()( 200 1 - Atteti t )()15005()( 200 1 - 61高级教育 电容上的电压为电容上的电压为 2 1 )200( 30000