时间序列分析总结[高教书苑]

1、时间序列分析总结 2015,06.15 期末考试题型期末考试题型 p填空题填空题40 p计算题计算题50 p证明题证明题10 上海财经大学统计与管理学院王黎明1高级教育 时间序列分析总结 平稳模型平稳模型 p严平稳严平稳 p宽平稳宽平稳 设时间序列 存在二阶矩 ，如果 满足 （1） 的均值 是常数； （2） 的自协方差只与间隔长度有关，即 t X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 2 t EX cov, tt kk XXk t X t X t EX t X 2高级教育 时间序列分析总结 lARMA模型模型 pAR(p)模型 如果时间序列 满足 其中对于任意的t, 满足 则称时间序列服从p阶自回

2、归模型，记为AR(p)。 称为自回归系数。 t X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11ttptpt XXX t 0 t E 2 0 t Var t X 1 , p 3高级教育 时间序列分析总结 lARMA模型 pMA(q)模型 如果时间序列 满足 则称时间序列服从q阶自回归模型，记为MA(q)。 称为移动平均系数。 t X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11tttqt q X t X 1 , q 4高级教育 时间序列分析总结 pARMA(p,q)模型 如果时间序列 满足 则称时间序列服从p,q阶自回归模型，记为 ARMA(p,q) 。 t X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1111

3、ttptpttqt q XXX t X 5高级教育 时间序列分析总结 p一阶自回归模型AR(1): 如果时间序列 满足 其中对于任意的t, 满足 则称时间序列服从p阶自回归模型，记为AR(1)。 t X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11ttt XcX t 0 t E 2 0 t Var t X 6高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 pAR(1)系统的格林函数 11ttt XX 上海财经大学统计与管理学院王黎明7高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 pAR(1)系统的格林函数 依次推导，得 p格林函数 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 0 j ttj j X 0 tjtj j XG

4、j G j G 8高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 pAR(1)系统的格林函数 pAR(1)模型的无限阶MA模型逼近 1 0 j ttj j X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 j j G 1 2 112ttt a 11221 j tttj 令 9高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 AR(1)模型的后移算子表达式及格林函数 B 后移算子,B的次数表示后移期数。如 则AR(1)模型可以写成 其解为 上海财经大学统计与管理学院王黎明 2 12 , tttt BXXB XX 1 1 tt B X 10高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 1 0 j tj j 上海财经大学统计与管理学院王

5、黎明 1 1 t t X B 22 11 1 t BB 2 1112ttt 0 jtj j G 11高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 pAR(1)模型平稳 p，系统存在某种趋势或季节性。 p时，系统非平稳。 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 1 1 1 1 1 12高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 pAR(1)模型 的方差 t X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 0 0 j ttj j Var XVar 1 2 0 j tj j Var 1 22 0 j j 13高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 pAR(1)模型 的方差 t X 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 22

6、 0 j t j Var X 2 2 1 1 14高级教育 时间序列分析总结 l平稳性 pARMA(2,1)模型的格林系数 pB满足一个迭代 上海财经大学统计与管理学院王黎明 2 121 0 11 j jtt j BBG BB 15高级教育 上海财经大学 统计与管理学院16 时间序列分析总结 16高级教育 上海财经大学 统计与管理学院17 时间序列分析总结 17高级教育 时间序列分析总结 l可逆性 p若ARMA模型 可以表示为 1111ttptpttqt q XXX 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 2 12 1 1 j tjt j t I BX I BI BX 18高级教育 时间序列分析

7、总结 l逆函数与可逆性 p上述式子称为逆转形式逆转形式 逆函数逆函数 上海财经大学统计与管理学院王黎明 j I 19高级教育 时间序列分析总结 上海财经大学统计与管理学院王黎明20高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 p理论自相关函数与样本自相关函数 p随机变量X与Y的协方差函数为 p其中，为X的期望，为Y的期望，X,Y的相关 函数为 XYXY E XY 上海财经大学统计与管理学院王黎明 X Y XY XY Var X Var Y 21高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 p对于ARMA模型，自协方差函数为 p自相关函数为 cov, kkt k XX 上海财经大学统计与管理学院王黎

8、明 0 k k 22高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 p样本的自协方差函数为 或 p样本的自相关函数为 或 1 1 ,0,1,1 N ktt k t k X XkN N 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 2 0 1 N tt k kt k kN t t X X X * 1 1 N ktt k t k X X Nk * * 1 * 2 0 1 N tt k kt k kN t t X X N Nk X 23高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 pAR(1)模型的自协方差函数 pk=0时， 即 11ttt XX 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11tt ktt ktt k E

9、 X XE XXEX 11tttttt E X XE XXEX 2 01 1 24高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 pk=1时， 即 pk=2时， 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11111tttttt E X XE XXEX 110 21122tttttt E X XE XXEX 21 1 25高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 p对于一般地的k0, p由此， 2 22 01 11100 2 1 1 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11kk 11, 0 kk k 26高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 pMA(1)模型的自协方差函数 k=0时， 11tt ktt

10、 ktt k E X XEXEX 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11ttt X 011 2 1111111 22 1 1 tttttt tttttttt E X XEXEX EEEE 27高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 k=1时， k=2时， 上海财经大学统计与管理学院王黎明 111111 2 111112 2 1 tttttt tttt E X XEXEX EE 222112 0 tttttt E X XEXEX 28高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 pk1时， pAR(p)模型的自协方差函数 11ttptpt XXX 上海财经大学统计与管理学院王黎明 0 k 11

11、tt ktt k ptpt ktt k E X XE XX E XXEX 29高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 pk=0时， pk=1时， 上海财经大学统计与管理学院王黎明 011 2 1 1 tttt ptpttt pp E X XE XX E XXEX 111111 101 ttptpttt pp E XXE XXEX 30高级教育 时间序列分析总结 l自协方差函数 pk=2时， p则（Yule-Walker方程） 0 11 211 1 10222 1 1220 pp pp pppp 上海财经大学统计与管理学院王黎明 21 12pp 31高级教育 例例3.12 求AR(2)序列的

12、偏自相关系数。 解：解： 对 ，计算可以得到 上海财经大学 统计与管理学院32 1122tttt XXX 1 111 2 1 2 22 1 1221 2 1222 21 222 2 1 1 1 1 2 2 2 221 22 2 21 1 11 11 1 1 1 1 1 时间序列分析总结 32高级教育 上海财经大学 统计与管理学院33 时间序列分析总结 111121 121112 213211221 33 1212 1111 2121 11 11 0 11 11 11 0,3 kk k 33高级教育 时间序列分析总结 待估参数 个未知参数 常用估计方法 矩估计 极大似然估计 最小二乘估计 上海财

13、经大学统计与管理学院王黎明 1pq 2 11 , pq 34高级教育 时间序列分析总结 原理 样本自相关系数估计总体自相关系数 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1111 11 ( ,) ( ,) pq p qpqp q 35高级教育 时间序列分析总结 AR(2)模型 Yule-Walker方程 矩估计（Yule-Walker方程的解） 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1122tttt xxx 2112 1211 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 12 2 1 36高级教育 时间序列分析总结 MA(1)模型 方程 矩估计 上海财经大学统计与管理学院王黎明 11ttt x 22 01 1

14、1 1 2 2 01 11 (1) 1 1 2 1 1 2 411 37高级教育 时间序列分析总结 ARMA(1,1)模型 方程 矩估计 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1111tttt xx 1111 1 1 2 011 1 211 ()(1) 12 11 2 2 1 2 2 1 1 2 1 21 , 2, 2 4 2, 2 4 , c c cc c cc 38高级教育 时间序列分析总结 1.AR模型的矩估计 Yule-Wolker方程 11 211 1 1222 1 122 pp pp pppp 上海财经大学统计与管理学院王黎明39高级教育 时间序列分析总结 1.AR模型的矩估计 当k=

15、0时， 则 由此，可以得到参数的矩估计。 2 01 1pp 上海财经大学统计与管理学院王黎明 2 01 1pp 40高级教育 时间序列分析总结 2.MA模型的矩估计 解此方程的MA模型的矩估计。 222 01 1 q 上海财经大学统计与管理学院王黎明 2 1 1 1,2, kkkqq k kq 41高级教育 时间序列分析总结 2.ARMA模型的矩估计 第一步，先给出AR部分的参数的矩估计。 第二步， 其协方差函数 1, , p 11tttptp yXXX 上海财经大学统计与管理学院王黎明 ,0 n ktijkj i i j y 42高级教育 时间序列分析总结 2.ARMA模型的矩估计 第三步，

16、把 近似看作MA模型 11tttqt q y 上海财经大学统计与管理学院王黎明 t y 43高级教育 时间序列分析总结 优点 估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合） 缺点 信息浪费严重 只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被 忽略 估计精度差 通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计 迭代计算的初始值 上海财经大学统计与管理学院王黎明44高级教育 时间序列分析总结 原理 在极大似然准则下，认为样本来自使该样本出 现概率最大的总体。因此未知参数的极大似然 估计就是使得似然函数（即联合密度函数）达 到最大的参数值 上海财经大学统计与管理学院王黎明 ,); (

17、max) ,; , , ( 21121kk xpxxL 45高级教育 对极大似然估计的评价 优点 极大似然估计充分应用了每一个观察值所提供 的信息，因而它的估计精度高 同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐近 有效性等许多优良的统计性质 缺点 需要假定总体分布 上海财经大学统计与管理学院王黎明46高级教育 时间序列分析总结 模型的显著性检验 整个模型对信息的提取是否充分 参数的显著性检验 模型结构是否最简 上海财经大学统计与管理学院王黎明47高级教育 时间序列分析总结 目的 检验模型的有效性（对信息的提取是否充分） 检验对象 残差序列 判定原则 一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所有

18、的 样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列 反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序 列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合模型不够 有效 上海财经大学统计与管理学院王黎明48高级教育 时间序列分析总结 原假设：残差序列为白噪声序列 备择假设：残差序列为非白噪声序列 上海财经大学统计与管理学院王黎明 012 0,1 m Hm： mkmH k ，：至少存在某个1, 0 1 49高级教育 时间序列分析总结 LB统计量 上海财经大学统计与管理学院王黎明 2 2 1 (2)() ( ) m k k LBn nm nk 50高级教育 时间序列分析总结 上海财经大学统计与管理学院王黎明 111111 ( )( ) t lt lt lltltlt tt xGGGG e lx l 预测误差预测误差预测值预测值 )(),( ) ( ),( 1 1 leVarxxxVar lxxxxE tttlt ttlt 51高级教育 时间序列分析总结 预测值 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1 ( ), , , t ktt k x ktkt E XXX xkt 1 0, , , ktt k kt EXX kt 52高级教育 时间序列分析总结 估计误差 期望 方差 上海财经大学统计与管理学院王黎明 1111 )( tlltltt GGle 0)(leE t 1222 011 ( )(