疲劳习题和答案

1、习题和答案第1-5已知循环最大应力Smax = 200MPa最小应力Smin 50MPa，计算循环应力变程S、应力幅Sa、平均应力Sm和应力比R。解： S Smax Smin 200 50150 MPaSa- 75 MPa2Sm Smax Smin 200 50125 MPa2 2Smin 50R0.25Smax200(完)1-6已知循环应力幅Sa 100MPa R=，计算Smax、Smin、Sm和S解：S 2Sa 200 MPaSmax Smin S 200 MPa (a)RSmin / Smax02(b)计算得到：结合(a)、(b)两式,Smax 250MPa,Smin50 MPa则：Sm

2、(SmaxSmin ) / 2(25050)/2150 MPa(完)第二章2-2 7075-T6铝合金等寿命图如本章图所示，若 a) R=, N= 106 ； b) R= , N= 105 试估计各相应的应力水平( Smax， Smin ， Sa， Sm)。图 7075-T6 铝合金等寿命图解：由图中可以得到：a) Smax 380 MPa， Smin 80 MPaSa 160 MPa， Sm 230 MPab) Smax 340 MPa， Smin130 MPaSa 230 MPa， Sm 100 Mpa(完)2-4表中列出了三种材料的旋转弯曲疲劳试验结果，试将数据绘于双对数坐标纸上，并与由

3、S3 0.9Su，S106 0.5Su估计的S N曲线相比较。ABCSu430 MPaSu 715 MPaSu 1260 MPaSa/MPaNf/105Sa/MPaNf/105Sa/MPaNf / 105225570770212523735195501700181453686178435665171417644*168412注：*未破坏解：计算出各lgS和IgN,列于下表:ASu 430 MPaBSu 715 MPaCSu 1260 MPalg Salg Nflg Salg Nflg SalgNf8假设：S1030.9Su S1060.5SuS N曲线表达式为：SmgN C(1)对(1)式两边

4、取对数有：11lg S lg C Ig N(2)mm结合上面的式子，可以得到：m 3/ lg(0.9 /0.5) 11.8C (0.9 Su )11.8 103或者： C (0.5Su )11.8 106(3)对于 A 组情况： Su 430 MPa 则有：C (0.9 Su )11.8 103 (0.9 430)11.8 103 3.4276 1033 代入( 2)式，得：lg S 2.84 0.08lg N(a)对于 B 组情况： Su 715 MPa 则有：C (0.9 Su )11.8 103 (0.9 715)11.8 103 1.383 1036 代入( 2)式，得：lg S 3.

5、06 0.08lg N(b)对于C组情况：Su 1260 MPa则有：C (0.9Su)11.8 103 (0.9 1260)11.8 103 1.108 1039 代入( 2)式，得：lg S 3.31 0.08lg N(c)将 a、b、c 三式在坐标纸上标出，见下图。图，并将数据点与Goodman直线相比较Smax/MPa420476482581672700707Smin /MPa-420-378-308-2310203357解：由上表得:S ,420 MPa已知:SmSmaxSminSaSmaxSmin对上表进行数据处理，求得各自得 Sa/S !以及Sm/Su得:Sa / S 11S m

6、 / Su0将以上数据在坐标纸中标出数据点，并作出 Goodman曲线2- 9某起重杆承受脉冲循环（R= 0）载荷作用，每年作用载荷谱统计如下表所示，S-N曲线可用 SmaxN 2.9 1013,a）试估算拉杆的寿命为多少年b）若要求使用寿命为5年，试确定可允许的SmaxSmaxi /MPa500400300200每年工作循环ni/ 106次解：根据已知得S- N曲线得到不同Smax下的寿命，见下表:Smaxi /MPa500400300200工作循环Ni/106 次则:a）根据：DnNi得:D/niNi/(-0101 0030.232 0.453 1.074 3.6252.94b）由相对Mi

7、ner理论可得:2.94(N-)又因为 Smax3N2.9 1013 Const上式可写成:maxS 3max2.94得：Smax 0.838Smax 419 MPa(完)2-10试用雨流计数法为下述载荷谱计数，并指出各循环的应力变程和均值。解：计数结果如下循环变程均值ANA100BCB23DGD5HKH5LML3EFE1IJI 21ATy *第三章3-2 制作 Weibull 概率纸3- 5 30CrMnSiNi2A钢在应力水平Smax = 660MPa R=下的疲劳试验寿命为 64, 67, 68, 92, 93, 103, 121, 135千周。（N。50千周），利用威布尔概率纸确定其寿

8、命威布尔分布参数及存活概率为95%的寿命N95解：i4N(10 )F(N)-丄n+ 112345678将数据标示于坐标纸上，可见基本服从Weibull分布。分布参数估计:N。50千周由图中查出于破坏概率对应的 Na N0 5 104周,所以，特征寿命参数为：Na 10 104周=100千周F( N )=90% 时，有：lglg1- F(N90)-10,则:1u_lglg1- F(N90)lglge0.3622b=lg(N90 N0) lg(Na N0)lg(N90 N0) lg(Na N)由图中直线可查得：N90 N08.6 104 , Na N05 104代入(1)式，得：b =N N 0

9、b由 F(N) 1 exp1 ()可得：Na N0N95 57千周即存活概率为95%的寿命N9557千周（完）求出相关系数，并写出其 S- N曲线表达式Sa/MPa6050403025N(103 次)解：S- N曲线为SmN C,取对数之后有：lgS -lg c丄IgN m m令y = lg S, x = IgN,回归方程可写成：y = A+ Bx其中：A lg c ; B mm列表计算得:Sa MPaNx lg Niyilg Sai2Xi2 yi人yi6012300502000040396003014610025340600根据上表:又:LxxLyyLxyXi沁4 4.73708yi2Xi2

10、yi咤 1.59084x)2/n2yi) /n113.643012.750937.30772空 1.4433627 95422 0.09704力6854 795420.37198回归系数为:BLxx皿80.25771.44336A Y bX 2.8116故有：m - 3.88BC 10mA103.88 2.8116 8.1 1 1010相关系数为:xy0.37198-.1.44330.097040.9939显着性水平取为0.01，本题中n 2 = 3,查表得0.959，固有，则回归方程能反映随即变量间的相关关系。S N曲线表达式为：S3.88N 8.11 107（MPa,千次）回归方程ig &

11、 lg N的直线表达式为:lgSa 2.8116 0.2577 lg N（完）第四章4-3如果工程应变e=%,%, 1%, 2%, 5%,试估算工程应力S与真实应力 与真实应变之间的差别有多大工程应变e解：工程应力为：SPA真实应力为：P旦 S(1 e)AAolo贝 U:S eS所以：e分别为%,%, 1%, 2%, 5%时，真实应力比工程应力大%,%, 1%,2%, 5%2真实应变为：ln(1e) e才忽略三阶小量，可知二者之间的相对误差为:则e分别为%,%,1%, 2%, 5%时，真实应变比工程应变分别小%,%,%,1%,%(完)4- 7 材料的循环性能为： E 2.1 105 MPa ，

12、K 1220MPa ，n 0.2 。试计算图示应力谱下的循 环响应，并画出 图。解：0-1 由循环应力应变曲线 ( /E) ( /K)1/n 得到：1 500 MPa1 ( 1/E) ( 1 /K)1/n 0.0141- 2卸载过程，心500 MPa按滞后环曲线 (/E) 2( /2K)1/n得到：1 2 0.003故有： 2 0.011 ， 2 02- 3 加载过程，2 3 300MPa 按滞后环曲线求得：2 3 0.001故有： 3 0.012， 3 300MPa3- 4 卸载过程，其中 2-3-2形成封闭环，故可直接按照 1-4 路径计算1-4卸载过程，1 4 800 MPa根据滞后环曲

13、线得：1 40.011故有： 40.003，4300MPa4- 5加载过程，4 5 700 MPa由滞后环曲线得：4 50.007故有： 50.010 ， 5400MPa5-6 卸载过程，5 6500 MPa由滞后环曲线得:6-7 加载过程，6 7200MPa由滞后环曲线得:670.001故有：0.008 ，100 MPa7-8 卸载过程，其中 6-7-6 形成封闭环，故卸载可以按 5-8 路径计算5-8卸载过程，5 8 600 MPa由滞后环曲线得：5 8 0.003故有： 80.005， 8200MPa8-1 加载过程，其中 5-8-5 形成封闭环，考虑路径 4-1 4-1 加载过程，其中

14、 1-4-1 形成封闭环故有：1 0.014 ， 1 500MPa给出 图，如图所示（完）2.6， b=，c4-8 某镍合金钢性能为：E= 200GPa K 1530, n 0.07 , f 1640MP =。试估算下述载荷条件下的寿命。a) /2 0.01， m 0b) /2 0.01， m 0.01解：a)此为恒幅应变对称循环，且a 0.01， m 0直接由N曲线有：右(2N)bcf (2N)0.01解得：N= 1072b)此为恒幅应变，但不对称，a 0.01， m 0.010-111/E ( 1/K1)1/n0.02解得：11136.6 MPa1- 21 21 2 2( 1 2/2K)1

15、/n 0.02解得： 122104 MPa故有：20，2967.4 MPa2- 3 1-2-3 形成封闭环，有：310.02，311136.6 MPa根据滞后环得到：84.6MPa估算寿命，有:mb-(2N)cf (2N)0.01代入各项数值，解得:N= 1008次(完)0.6。解：为缺口应力应变响应计算0-1已知Si Smax 500MPa由循环应力应变曲线计算有:e1 S1/E (S1/K)1/n 2.6 103将 e1 、 S1 代入 Neuber 双曲线，有:1 1Kt2S1e1 11.7MPa1）结合循环应力应变曲线:11 /E ( 1 /K )1/n2）1-2结合（ 1）、（2）式

16、，解得:1885MPa 10.0132卸载过程，S1 2450MPa 由滞后环曲线有:e1 2 S12 /E 2( S/2K)1/n2.3 10 3将 e1 25 2代入Neuber双曲线，得:12 12Kt2 S1 2 e1 29.315MPa3）结合滞后环曲线:1 2 (1 2/E) 2(1 2/2K)1/n4）结合（ 3）、（4）式，解得:1 21248MPa 1 20.00734故有:2363MPa 20.005862-3加载过程。同理可计算得到:荷作用。已知材料参数 E= 200GPa k 1600 MPa f 1700MPa n 0.125, b=,c试估算其寿命。(12)/20.

17、00367m ( i2)/2 261 MPa利用 N曲线寿命估算：-(2N)bf(2N)c得到：N= 5997次(完)第五早5-1三点弯曲试样B= 30mrm W= 60mn, L= 240mm裂纹尺寸a= 32mm若施加载荷P= 50Kn,求解:K 237其中：Aaa2a3a41.090 1.735()8.20( )14.18( )14.57()wwwww将各项数据代入上两式：f (a)1.525wK 80.58MPa、.m (完)5-2已知某一含中心裂纹2a= 100mm的大尺寸钢板，受拉应力cl304MPa作用时发生断裂,若在另一相同的钢板中有一中心裂纹 2a=40mn,试估计其断裂应力

18、c2 0a1 f (1) 2C ； a2 f (2)ww对于大尺寸板：a/w 0,则f = 1解：Kg 1C(1)故（1）式可写成:解得:2Ca11Ca2480.7MPa (完)5-3某材料ys 350MPa,用B= 50mm W 100mm L = 4W的标准三点弯曲试样测试断裂韧性,(1)(吕)w1.0901.735(a) w已知:a 0.53，得: wa 2a 3a 48.20( )14.18( )14.57()wwwf(旦)1.5124w预制裂纹尺寸a= 53mm由试验得到的P- V曲线知，断裂载荷Pq 54 MPa试计算该材料的断裂韧性K1C并校核其有效性。解：标准三点弯曲试样的应力

19、强度因子为:将各项数据代入(1)式，得：Kq 40.0MPa . m对其进行有效性验证：2B 50mm 2.5(KQ/ ys)32.6mm满足有效性条件，即得到：K1c Kq 40.0MP m（完）5-4材料同上题，若采用 B= 50mm W 100mm的标准紧凑拉伸试样测试其断裂韧性，预制裂纹 尺寸仍为a = 53mm试估算试验所需要施加的断裂载荷 P。解：若采用标准紧凑拉伸试样，断裂时有：(1)转换得到:(2)P KgBW.at(a) w其中：aaa 2a 3a 4f ( )29.6 185.5() 655.7()2 1017.0()3 638.9()4wwwww已知：a 0.53，则计算

20、得到：f(a)14.4755ww将各项数据代入(2)式，得到：P 60.0KN (完)5-7某合金钢在不同的热处理状态下的性能为:1) 275 C 回火：ys 1780MPa K1C 52MP/m2) 600 C 回火：ys 1500MPa K1C 100MPm设工作应力750MPa应力强度因子表达式K 1.1、一_a，试问两种情况下的临界裂纹长度ac各为多少a解：1） K 1.1K1C，可得不发生断裂时:(1)将各项数据代入，得:1.265 10又因 750MPa ys,满足静强度条件，故：ac 1.265 10 3m 1.265mm2）由上计算得到:a丄岳2代入各项数据，得:3a 4.67

21、9 10又因 750MPa ys,满足静强度条件，故ac 4.679 10 3m 4.679mm（完）第八早6-3某大直径球壳(壁厚t = 20mm在打压验收试验中发生爆炸,检查发现其内部由=4mm的埋藏椭圆裂纹。已知材料的屈服应力为ys 1200 MPaK1C 80MPa 一 m，2a=，2c试估计断裂应力c。解：题为大直径球壳，可认为是有限体中的埋藏椭圆裂纹，贝K F畫，)詰且0 c 0.3，w 00.5，a/|0.06故满足上式的使用范围。其中，几何修正函数为：Fe M1)g1 f fw1，故有:M1m20.053/20.11 (a/c)0.1823M30.293/20.23 (a/c)

22、0.7354g1(a/2)4cos11 4(a/c)(a/c)2 cos2sin21/4且有：E(k) 1165 1/21.464(a/c) .1.0958短轴方向即/2时的应力强度因子最大，此时:g1 1 ， f 1则：Fe 1.00716-4 W 100mmt = 12mm勺板中有一 a= 2mm c= 5mmt勺半椭圆表面裂纹，受拉伸载荷600 MPa作用，试求裂纹表面处（0 ）和裂纹最深处（/2 ）的应力强度因子 解：半椭圆表面裂纹得应力强度因子为:E(k)a a cFs(,c t wac且：00.4 2，0.05 0.5，a/t 1/6 1cw满足上式的应用范围表面裂纹的几何修正系数

23、为:Fs M M2()2 MsQlgf fw本题中，a 1，故有：cM11.13 0.09-1.094cM20.54 0.89 /0.2 a/c 0.9430.452a 22. 21/4f ( ) cos sin ca 22g1 1 0.1 0.35()2(1 sin )2且：E(k) 1 1.464(a/c)1.6521.151）裂纹表面处（0）f 0.6234，g11.11将各项数据代入可得：Fs 0.786，K（0） 32.5MPa、m2）裂纹最深处（/2）f 1，g11将各项数据代入可得：Fs 1.120， K（ /2）46.3MPa、m（完）=12mm W 20mm接头耳片厚为t =

24、 10mm若已知材料的断裂韧性为 K1C 120 MPa试估计当工作应力700 MPa时，是否发生断裂。解：拉伸载荷作用下，双侧对称孔边角裂纹的应力强度因子为:a a R c & aK叫,代厉FLc0.5且：0.20.5 2， a/t 0.1aR c d/2 c0.4 0.5W W满足上式的使用条件。几何修正系数为:FchM1 M 2M3(a)4gg2g3f fw本题中：c 1，贝a1.13 0.09-1.085cM1m20.54 0.89/0.2 a/c 0.731M31a0.514(1)240.3700.65 acc/2时的应力强度因子最大，有:g10.1 0.35(a)2(1 sin )

25、21g21c1cos(0.85 ) 10.928(1230.3581.4251.5782.15642)/(1 0.13)2.6055a2a 1/4g3(10.04)1 0.1(1 cos?) 0.85 0.15() 1.048a、22. 21/4()cossin1c 22向(亦问4(wc)号册21.07n 2所以：Fch 3.1913，且：E(k) 1 1.464(a/c)1.651/21.211将各项数据代入:K 103.4KPa m(完)K 103.4KPa m K1C 120KPa、m，所以 700 MPa时不会断裂6-7 W 100mm t = 12mm勺板中有a = 2mm c =

26、5mm的勺半椭圆表面裂纹，受线性分布载荷作用, 如图所示。试求裂纹最深处（/2）的应力强度因子。2解：K (M,M()E(K)(1)800 600200 MPa拉弯组合载荷作用下的应力强度因子为:a 20.1212 1.07682c其中:aaa2aaa2a3M21 0.127( ) 0.079( ) 0.558( )20.175()( ) 0.279( )21.44()3tcttccta 2 aa 2 aa 31.06() (_) 0.609() (_) 0.249()1.002t cc tcaaa2aaa2M31.183 1.22()0.286()0.867()2 0.00677( )( )

27、 0.23()2tcttcca3a 2 aaa2a30.467(-)1.92(-)( ) 0.633(-)( )0.182(-)0.937tt ctcca 0.4 1，贝 U: E(K) 1 1.464(a)1.651/21.15cc将各项数据代入(1)式：K 57.2MPa,m (完)第七章7-3直径D= 500mm壁厚t = 10mm的圆性压力容器，设计内压p =。已知材料性能为:0.2834MPa c 0.064mm E= 200GPa若有一长 2a= 70mm平行于轴线的穿透裂纹，试按小范围屈服情况估计容器的抗断安全系数 nf 0解：承受内压薄壁壳体中的最大应力为环向应力，且:max

28、PD/2t 5.2 500 /(2 10) 130MPa由于筒体直径大于其厚度,可视为承受环向应力的无限大中心裂纹板，且处于平面应力情 况，则:Kia故发生断裂的临界状态:小范围屈服条件下:K2icys E2c a0.2E得到:0.2 E ca311.6MPa则：nfc 311.61302.4(完)max7-4某大尺寸厚板有一 a/c =之表面裂纹，受远场拉应力作用。材料的屈服应力为ys 900MPa断裂韧性Kic 100 MPa,试估计：1）作用应力 600 MPa时的临界裂纹深ac。2）若a= 5mm求此表面裂纹厚板的临界断裂应力解：1）无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为:Ki

29、i.i ,aQ其中：Q E(k)2 0.212( / ys)21/2 1 1.47(a/c)1.64 0.212( / ys)21/2在发生断裂的临界状态有:K1C1.1 , a。Q对上式进行变换，得:ac2 2仏Q1.21 2代入各项数据，得到：2Q 1.01 , ac 7.47 mm2）断裂的临界状态有:K1C皆，此时：q21.10 0.212( c/900)2结合上述两式，得:1.10K1C21.21 a 0.212(K1c/ ys)2代入各项数据，得到:713.4 MPa(完)1） 若板中有一长为2a的中心穿透裂纹，试估计承受150 MPa的拉应力作用时，可允许 的最大裂纹尺寸ac。2

30、）若板中有一深度为a的半椭圆表面裂纹，假设a/c=，承受 150 MPa的拉应力作用， 试估计可以允许的最大裂纹尺寸ac。3） 若板承受的载荷600 MPa（接近屈服应力），考虑塑性修正，再估计再上述两种情况 下的许容缺陷容限尺寸。解：1）该题可认为是承受拉伸的无限宽中心裂纹板，贝Ki a K1C得：aK1C代入数据后，得：ac 12.7 mm2）该题可认为是无限大体中的半椭圆表面裂纹，则最深处的应力强度因子为:K1M f 、aE(k)(1)变换（式，得：a 1（晋）2（2）通常取M f1.1，E(k) 1 1.47(a/c)1.641/21.213将各项数据代入（2）式，得：ac 0.0155m15.5 mm 3）考虑塑性修正后，对无限宽中心裂纹板：K；, （a rp） a 十（一）22ys此为平面应力情况，则有1，又由K； K1C，可得:10.5()21/2gK1Cys由上式，得:K121 0.5()2