机器人的数学基础齐次变换矩阵及其运算[章节讲课]

1、LOGO 机器人学基础机器人学基础 齐次变换矩阵及其运算 齐次变换矩阵及其运算齐次变换矩阵及其运算 0001 xxxx yyyy zzzz noap noap F noap 由于各种原因，变换矩 阵应写成方型形式，3*3 或4*4均可. 为保证所表示的矩阵为 方阵，如果在同一矩阵 中既表示姿态又表示位 置，那么可在矩阵中加 入比例因子使之成为4*4 矩阵。 2 章节课件章节课件 变换可定义为空间的一个运动。 已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的 坐标可通过齐次坐标变换来求得。 变换可分为如下形式： 纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合 3 章节课件章节课件 v1.平移的齐次变

2、换平移的齐次变换 v空间某一点在直角坐标系中的平移空间某一点在直角坐标系中的平移,由由 A(x, y, z)平移至平移至A(x, y, z), 即即 zzz yyy xxx 11000 100 010 001 1 z y x z y x z y x a=Trans(x, y, z)a 平移算子 4 章节课件章节课件 v 算子左乘算子左乘: : 表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。 v 算子右乘算子右乘: : 表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。 v 该公式亦适用于坐标系的平移变换、该公式亦适用于

3、坐标系的平移变换、 物体的平移变换物体的平移变换, , 如机如机 器人手部的平移变换。器人手部的平移变换。 1000 100 010 001 ),(Trans z y x zyx 5 章节课件章节课件 v 例例 动坐标系动坐标系A相对于固定坐标系的相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作轴作 v (-1,2,2)平移后到平移后到A；动坐标系；动坐标系A相对于自身坐标系相对于自身坐标系(即动系即动系) 的的X、Y、Z轴分别作轴分别作(-1,2,2)平移后到平移后到A。已知。已知A,写出坐标系写出坐标系 A、 A 1000 1100 1001 1010 A 1000 3100 3001 0010 A

4、 1000 1100 2001 1010 A 6 章节课件章节课件 v2旋转的齐次变换旋转的齐次变换 v 点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕绕Z轴旋轴旋 转转角后至角后至A(x, y, z),则则A与与A之间的关系为之间的关系为 ： zz yxy yxx cossin sincos 11000 0100 00cossin 00sincos 1 z y x z y x 记为: a=Rot(z, )a 旋转算子 7 章节课件章节课件 1000 0100 00cossin 00sincos ),( zRot 同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为

5、： 绕Z轴旋转算子内容为： 1000 0cossin0 0sincos0 0001 ),( xRot 1000 0cos0sin 0010 0sin0cos ),( yRot 8 章节课件章节课件 如图所示单操作手臂，并且手腕如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为部的起始位姿矩阵为G1. 若手臂绕若手臂绕Z0轴旋转轴旋转90，则手臂，则手臂 到达到达G2；若手臂不动，仅手部绕；若手臂不动，仅手部绕 手腕手腕Z1轴转轴转90，则手部到达，则手部到达 G3.写出手部坐标系写出手部坐标系G2、G3表达表达 式。式。 9 章节课件章节

6、课件 10 章节课件章节课件 3复合齐次变换复合齐次变换 复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。 相对于固定坐标系 相对于动坐标系 算子左乘 算子右乘 11 章节课件章节课件 v 已知坐标系中点已知坐标系中点U的位置矢量的位置矢量 ，将此点绕，将此点绕Z轴轴 旋转旋转90，再绕，再绕Y轴旋转轴旋转90，如图所示，求旋转变换后，如图所示，求旋转变换后 所得的点所得的点W。 Tu1237 Rot( ,90 )Rot( ,90 )YZWU 7001 001 00 01 0010003 1

7、 000001 02 000100011 12 章节课件章节课件 v 平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点中点U若还要作若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换的平移，则只要左乘上平移变换 算子即可得到最后的列阵表达式。算子即可得到最后的列阵表达式。 uzRotyRotTransE)90,()90,()7 , 3, 4( 13 章节课件章节课件 14 章节课件章节课件 齐次变换矩阵齐次变换矩阵 的数学意义：的数学意义： A BT （1）同一点在不同坐标系）同一点在不同坐标系B和和A中的变换；中的变换； （2）描述坐标

8、系）描述坐标系B相对于坐标系相对于坐标系A的位置和方位；的位置和方位； （3）点的运动算子。）点的运动算子。 pTp BA B A 1000 4010 3001 1100 T A B 1000 100 010 001 ),(Trans z y x zyx 1000 0100 00cossin 00sincos ),( zRot 15 章节课件章节课件 4变换矩阵相乘变换矩阵相乘 对于给定的坐标系A、B、C，已知B相对 A的描述为 ，C相对B的描述为 ，则 pTp CB C B pTTpTp CB C A B BA B A 。 从而定义复合变换 表示C相对于A的描述，是两变换矩阵的乘积。 注意：

9、变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘 和右乘的运动解释不同。 TTT B C A B A C TTT B C A B A C T A BT B C 16 章节课件章节课件 1010 00C BB CB AA BB C A B A C pRpR TTT 复合变换可解释为： T A C T B C T A B T B CT A C (1) 和 分别代表同一坐标系C相对于A和B的描述。则 表示坐标系C从 映射为 的变换。 (2)坐标系C相对于A的描述 是这样得到的：最初C 与A重合，首先相对于A作运动 ，到达B,然后相 对B作运动 ，到达最终位置C。 T A C T A B T B C 17

10、 章节课件章节课件 5.变换矩阵求逆变换矩阵求逆 如果知道坐标系B相对于A的描述。希望得到A相对 于B的描述，这是个齐次变换求逆问题。 对4*4矩阵直接求逆； 利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。 求逆问题可以描述为：已知 ，求解 。 T A B T B A 10 0B AA BA B pR T 10 0A BB AB A pR T 利用旋转矩阵正交性 TA B A B R 1 R 利用复合变换公式(2.13) ,求出 在B中描述。 0B A p 18 章节课件章节课件 10 0B ATA B TA BB A pRR T 0)( 000 A B B AB AB AB ppRp 000B

11、A T A BB AB AA B pRpRp 19 章节课件章节课件 下面我们写出变换矩阵的一般表达形式下面我们写出变换矩阵的一般表达形式 nx ox ax px ny oy ay py T = nz oz az pz 0 0 0 1 式中式中 n, o, a 是旋转变换列向量，是旋转变换列向量，p 是平移向量，其逆是是平移向量，其逆是 nx ny nz - p.n ox oy oz - p.o T- -1 = ax ay az - p.a 0 0 0 1 式中的式中的 “ . ” 表示向量的点积。表示向量的点积。 20 章节课件章节课件 计算T矩阵的逆矩阵。 0.500.8663 0.866

12、052 0105 0001 T 1 0.50.8660(3 0.52 0.8665 0) 001(3 02 05 1) 0.8660.50(3 0.86620.55 0) 0001 T 0.50.86603.23 0015 0.8660.501.598 0001 -0.5 21 章节课件章节课件 6 变换方程变换方程 为了描述机器人的操作，必须 建立机器人本身各连杆之间， 机器人与周围环境之间的运算 关系。为此要规定各种坐标系 来描述机器人与环境的相对位 姿关系。 B代表基座坐标系； W代表腕部坐标系； T代表工具坐标系； S代表工作站坐标系； G代表目标坐标系； 它们之间的位姿关系用相应 的

13、齐次变换来描述。 T B S 描述工作站坐标系相对于基座的位姿； T S G 描述目标坐标系相对于S的位姿； T B W 描述腕部W相对于基座B的位姿； 22 章节课件章节课件 T G T 对物体进行操作时，工具坐标系T相对于目标坐标系G的位 姿 直接影响操作效果。它是机器人控制和规划的目标。 实际上，它与其他变换之间的关系类似于空间尺寸链， T G T 则是封闭环。如图所示，工具坐标系T相对于基座坐标系B 的描述可用两种变换矩阵的乘积来表示： TTT W T B W B T TTTT G T S G B S B T 令上面两式相等，则得变换方程 TTTTT G T S G B S W T B

14、 W 23 章节课件章节课件 变换方程中的任一变换矩阵都可用其余的变换矩阵来表 示。例如，为了对目标物进行有效操作，工具坐标系T相对于 目标坐标系G的位姿 是预先规定的，需要改变 以达到 这一目的，即通常规定 ，求 。 T G T T B W 1 TTTTT W T G T S G B S B W 根据变换方程，可以立即求出 T G TT B W 24 章节课件章节课件 kjik zyx kkk 旋转变换通式旋转变换通式 令是过原点的单位矢量，求绕k旋转 角的旋转矩阵R(k,)。 问题描述： 令),(kRotR A B 即R(k,)表示坐标系B相对于参考系A的方位。 坐标系坐标系B由坐标系由坐

15、标系A绕绕 轴旋转轴旋转 角得到。角得到。k k A 25 章节课件章节课件 k xA yA zA xB yB zB A A y A x A z B B x B y B z A B 旋转变换通式旋转变换通式 xxx AB AByyy zzz nok RRnok nok 再定义两坐标系A和 B，分别与A和B固接，但要求 (1)A和 B的z轴与k重合。 (2)旋转之前A和 B重合， A和B也重合。 26 章节课件章节课件 A AAAB BABB RRRR cossin0 sincos0 001 A B R 又因为又因为 所以可以得到： 坐标系B绕k轴相对于A旋转角相当于：坐标系B相对于 A的z轴旋

16、转角，保持其他关系不变。则 TB B B B RR k xA yA zA xB yB zB A A y A x A z B B x B y B z A B 坐标系A经过如下变换到坐标系B: 27 章节课件章节课件 1 cossin0 sincos0 001 cossin0 sincos0 001 xxxxxx AAAB BABByyyyyy zzzzzz xxxxyz yyyxyz zzzxyz noknok RRRRnoknok noknok noknnn nokooo nokkkk 把上式右端三矩阵相乘，并运用旋转矩阵的正交性质： onk nkkoon kkoonn 0 1 28 章节课件

17、章节课件 1 c1 c1 c 1 c1 c1 c 1 c1 c1 c xxyxzzxy A Bxyzyyzyx xzyyzxzz k kck kk sk kk s Rk kk sk kck kk s k kk sk kk sk kc 该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X X、Y Y、Z Z轴进行旋转变换的情况。轴进行旋转变换的情况。 反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得k k及转角及转角。 变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、

18、物体的旋转。 左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。 当当kx=1，ky=kz=0时时 当当ky=1，kx=kz=0时时 当当kz=1，kx=ky=0时时 29 章节课件章节课件 v反之，若给出某个旋转齐次矩阵反之，若给出某个旋转齐次矩阵 则可根据 求出其等效矢量k及等效转角),(Rotk 30 章节课件章节课件 等效转轴和等效转角等效转轴和等效转角 给定旋转矩阵给定旋转矩阵 ，求对应的等效旋转轴，求对应的等效旋转轴 和等效转角和等效转角 A BRk xxx yyy zzz noa Rnoa noa 设设 ， 令令 1 c1

19、 c1 c 1 c1 c1 c 1 c1 c1 c xxx yyy zzz xxyxzzxy xyzyyzyx xzyyzxzz noa Rnoa noa k kck kk sk kk s k kk sk kck kk s k kk sk kk sk kc 31 章节课件章节课件 得到：得到： 方程两边矩阵的非对角元素成对相减，得到：方程两边矩阵的非对角元素成对相减，得到： 2sin 2sin 2sin zyx xzy yxz oak ank nok 222 1 cos3cos xyzxyz noakkk 1 cos1 2 xyz noa 两边平方后相加，所以整理后得到：两边平方后相加，所以整理后得到： 22 21 sin 2 zyxzyx oaanno 所以，所以，12cos