材料力学计算题库

1、 第一章 绪论 【例1-1】 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面m-m上的内力。 【解】（1）沿m-m 截面假想地将钻床分成两部分。取m-m 截面以上部分进行研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。 （2）为保持上部的平衡，m-m 截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。 （3）由平衡条件 作用，已知边长=400mm，受力图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p】【例1-2 =0.05mm。试求板中a方向均匀伸长x点沿x方向的正应变。 后沿 【解】由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正 应变，且处处相同，所以平均应变

2、即a点沿x方向的正应变。 x方向 【例1-3】 图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD杆下移b=0.025，试求薄板中a点的剪应变。 【解】由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。 第二章 拉伸、压缩与剪切 【例题2.1】 一等直杆所受外力如图2. 1 (a)所示，试求各段截面上的轴力，并作杆的轴力图。 解：在AB段范围内任一横截面处将杆截开，取左段为脱离体(如图2. 1 (b)所示)，假定轴力为拉力(以后轴力都按拉力假设)，由平衡方程 FN1?F?0， 0?F?30xN1得 30kNF?N1结果为正值，故为拉力。 F

3、N1同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(如图2. 1 (c)所示)为 70(kN)40?F?30N2在求CD段内的轴力时，将杆截开后取右段为脱离体(如图2. 1 (d)所示)，因为右段杆上包含的外力较少。由平衡方程 ?F?0， 02030?F?xN3 得 10(kN)?20?F?30N3结果为负值，说明为压力。 FN3同理，可得DE段内任一横截面上的轴力为 FN4 20kN?FN440kN20kN30kN80kN30kN (a)40kN20kN30kN80kN30kNDECAB (a)40kN20kN30kN80kN30kN(a) 30kND(b)ECA(a)BF40kN20kN30kN8

4、0kN30kN 30kND40kN20kN30kNE80kNCA(a)B(b)F30kNN130kN40kN(a)(c) 30kNDFECAB(b)N2F(b) 40kN20kN30kN80kNDE30kNCAB40kN30kN(c)30kN(b)FFFN220kN30kN(a)(d)N330kN 30kN(b)40kNF(c)FDECAN2BF20kN30kN(d)30kNN340kN (c)F30kNN230kNF(e)20kN(b)(c) 40kNFF20kN30kNN4(c)(d)N3FN2 F70kN20kN30kN(d)F(e)20kNN3N430kNF40kN20kN30kN(d

5、)(c)N3 F30kN70kNN2F(e)20kN(f)20kNN4(d) F(e)20kN70kN30kNN4F20kN30kN(f)(d)N320kN F(e)20kN10kN70kNN430kN(f) 20kN70kN10kN30kN(f)(e) 20kNF(e)20kNN430kN(f)20kN10kN 70kN 10kN30kN10kN(f)20kN 10kN(f) 图2. 1 例题2.1图 【例题2.2】 一正方形截面的阶梯形砖柱，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图2.8(a)所示。已知。试求荷载引起的最大工作应力。 40kN?P解：首先作柱的轴力图，如图2.8(b)所示。由于

6、此柱为变截面杆，应分别求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。 、两段柱横截面上的正应力，分别由已求得的轴力和已知的横截面尺寸算得 3FN10?40?N1?0.69(MPa)(压应力) 1A(240mm)?(240mm)13FN10?120?N2(压应力) 0.88(MPa)? 2A(370mm)?(370mm)2 由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其值为，是压应力。0.88MPa，截面面积为上端固定，下端自由，长为【例题2.3】 一钻杆简图如图2.9(a)所示，lA? 。试分析该杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布规律。材料容重为，所示)(如图2.8(b)解

7、：应用截面法，在距下端距离为处将杆截开，取下段为脱离体x 设下段杆的重量为，则有)G(x?(a) xA)?G(x ，则由平衡条件设横截面上的轴力为)(xFN?(b) ， 0F?0x)?xF()?G(xN 式，得(a)式值代入(b)将?(c) xF(x)?A?N 为的线性函数。即)xF(xN 当时，0x?0?F(0)N? 时，当lA?F(l)?F?l?xN,maxN (c) (b) (a) (a) (b) 图 2.9 例题图2.3 图例题2.8 图 2.2 F所示。那么横式中2.9(c)为轴力的最大值，即在上端截面轴力最大，轴力图如图N,max 截面上的应力为F(x)?N (d) x(x?)A

8、即应力沿杆长是的线性函数。x? 时，当0?x0?(0)? 时，当l?xl(?)l?max ? 式中为应力的最大值，它发生在上端截面，其分布类似于轴力图。max?，气【例题2.4】 气动吊钩的汽缸如图，壁厚2.10(a)所示，内径8mm?D?180mm应压，活塞杆直径 及纵向截面上的 ，试求汽缸横截面2MPa?pCC?d10mmBB 力。：汽缸内的压缩气体将使汽缸体沿纵横方向胀开，在汽缸的纵、横截面上产生拉应解 力。，2.10(c)所示)如图(1) 求横截面上的应力。取截面右侧部分为研究对象(BBBB 由平衡条件?22 ，0F?0F)(?Dp?dxN4 截面上的轴力为当时，得dD?BB?2 pF

9、?DN4截面的面积为 BB2? D?)?(D?A?(D?)那么横截面上的应力为 BB?2DpFDp180?24?N 11.25(MPa)?x?4?48A?D?称为薄壁圆筒的轴向应力。 x 图2.10 例题2.4图 (2) 求纵截面上的应力。取长为的半圆筒为研究对象(如图2.10(d)所示)，由平CCl衡条件 D?0?F ，0?2dp?F?lsin?yN12?0得截面上的内力为 CC plD?2FN1截面的面积为 CC ? l2A?1?时，可认为应力沿壁厚近似均匀分布，那么纵向截面上的应力为当 CCD202FplDpD180?2?N1 22.5(MPa)? y?2?28A2l1?称为薄壁圆筒的周

10、向应力。计算结果表明：周向应力是轴向应力的两倍。 y【例题2.7】 螺纹内径的螺栓，紧固时所承受的预紧力为。若已知22kN?Fd?15mm?MPa，试校核螺栓的强度是否足够。螺栓的许用应力 150?解： (1) 确定螺栓所受轴力。应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力，有 22kN?FFN(2) 计算螺栓横截面上的正应力。根据拉伸与压缩杆件横截面上正应力计算公式(2-1)，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力为 3F1022?F4?N(MPa) 124.6? 22d?153.14?A 4(3) 应用强度条件进行校核。已知许用应力为 ? 150(MPa)?螺栓横截面上的实际应力为 ?(M

11、Pa) MPa150?124.6?所以，螺栓的强度是足够的。 【例题2.8】 一钢筋混凝土组合屋架，如图2.25(a)所示，受均布荷载作用，屋架的上q弦杆和由钢筋混凝土制成，下弦杆为Q235钢制成的圆截面钢拉杆。已知：BCACAB?MPa，试设计钢拉杆的 直，钢的许用应力，170m?10kN/q?1.6m?l8.8m?hAB径。 解： (1) 求支反力和，因屋架及荷载左右对称，所以 FFBA11 44(kN)?8.810?F?Fql? BA22 图2.8图2.25 例题 所示。由(2) 用截面法求拉杆内力，取左半个屋架为脱离体，受力如图2.25(b)FABNll? ，0?M0?1.6?F4.4

12、?q?FCABNA42 得128.810?44?4.4?1?8260.5(kN)?F?F?4.4?ql?/1.6 ?ANAB1.68? 钢拉杆的直径。(3) 设计Q235 由强度条件FF4?ABNABN ?2d?A 得3F41060.5?4?ABNd?21.29(mm) ?170?【例题2.9】 防水闸门用一排支杆支撑着，如图2.26(a)所示，为其中一根支撑杆。AB?MPa。试求支杆间的最大距离。 各杆为的圆木，其许用应力10?100mmd?解：这是一个实际问题，在设计计算过程中首先需要进行适当地简化，画出简化后的计算简图，然后根据强度条件进行计算。 (1) 计算简图。防水闸门在水压作用下可

13、以稍有转动，下端可近似地视为铰链约束。AB杆上端支撑在闸门上，下端支撑在地面上，两端均允许有转动，故亦可简化为铰链约束。于是杆的计算简图如图2.26(b)所示。 AB 2.9图2.26 图 例题中阴影部分杆上，如图2.26(a)(2) 计算杆的内力。水压力通过防水闸门传递到ABAB 所示，每根支撑杆所承受的总水压力为12? bF?hP23?为两支撑杆中心线之；为水深，其值为其中为水的容重，其值为103mkN/bhm 间的距离。于是有1332 b?F?10?1010?3?b45P2 所示的受力图，由平衡条件根据如图2.26(c)?0?M ，0?CD?F?1?FCABPN 其中4? 2.4(m)C

14、D?3?sin?3?2243? 得3Fb1045?3P b10F?18.75?ABN2.42.4 杆的强度条件确定间距根据的值。(3) bAB 由强度条件3Fb18.75?104?ABN ?2?d?A 得262?0.13.14?10?10?d? 4.19(m)?b3310?4?18.754?18.75?10【例题2.10】 三角架由和两根杆组成，如图2.34(a)所示。杆由两根ACABCBCAC?MPa；杆为一根的槽钢组成，许用应力No.22a的工字钢，许用应力为No.14a160?BC?MPa。求荷载的许可值。 ?100FF (b) (a) 2.34 图例题2.10图 解：节点所示。为研究对

15、象，其受力如图2.34(b)(1) 求两杆内力与力的关系。取节点CCF 的平衡方程为?0?F ，0cos?cosF?F?xACNNBC66?，?F0 sinF?0?F?sin?F?yBCACNN66 解得(a) F?FF?ACNNBC 的横截面面积分别为(2) 计算各杆的许可轴力。由型钢表查得杆和BCAC2442?4? 。根据强度条件，m2?37.02?1010?m42?A?18.51?10A?BCACF?N ?A 得两杆的许可轴力为6?43 592.32(kN)(N)592.32?(37.02)?1010?)?F(160?10?ACN6?43 420(kN)10?10(N)?420?F?(1

16、00?10)?(42?BCN(3) 求许可荷载。将和分别代入(a)式，便得到按各杆强度要求所算出的许FFBCACNN可荷载为 592.32kN?FFACNAC 420kN?FFBCBCN所以该结构的许可荷载应取。 420kN?F【例题2.5】 已知阶梯形直杆受力如图2.37(a)所示，材料的弹性模量，杆200GPa?E22。要求： ，A=1000mm=1500mmA=各段的横截面面积分别为ACDABBC(1) 作轴力图；(2) 计算杆的总伸长量。 图2.37 例题2.5图 解：三段杆的处都有集中力作用，所以AB、BC和CD(1) 画轴力图。因为在A、B、C、D 轴力各不相同。应用截面法得 10

17、0(kN)?300?F?300?100ABN 200(kN)?100?F?300BCN 300(kN)F?CDN 轴力图如图2.37(b)所示。求杆的总伸长量。因为杆各段轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分(2) 段计算各段的变形，然后求和。各段杆的轴向变形分别为3lF300?10?100ABABN 0.1(mm)?l?AB31500?10EA200AB3lF300?10?200BCBCN 0.2(mm)?l?BC3150010?200EA?BC3lF?300300?10CDNCD ?l?0.45(mm)?CD31000?EA200?10CD杆的总伸长量为 3? 0.55(mm)?0

18、.45?0.2?l?0.1?li1?i【例题2.6】 如图2.38(a)所示实心圆钢杆AB和AC在杆端A铰接，在A点作用有铅垂向下的力。已知30kN，d=10mm，d=14mm，钢的弹性模量200GPa。试求A?E?FFACAB点在铅垂方向的位移。 2.6图图2.38 例题 解：点有位移，为求出A(1) 利用静力平衡条件求二杆的轴力。由于两杆受力后伸长，而使求各杆的轴力时可将角度的微小变化在微小变形情况下，各杆的伸长，先求出各杆的轴力。 的平衡条件，有A为研究对象，受力如图2.38(b)所示，由节点A忽略不计。以节点? ，0?F0?45sinFsin30?FxBNNC? ，F0?0cos45F

19、cos30?F?F?yBNNC 解得各杆的轴力为 ，21.96kN?F?0.732F?F0.518F?15.53(kN)CNBN 的伸长。利用胡克定律，有(2) 计算杆AB和AC3lF210?15.53?BNB 1.399(mm)?l?B?EA29(0.01)10?200?B43lF2?0.821.96?10CCN1.142(mm)?l? C?EA29(0.014)?10?200?C4伸长后和AC利用图解法求(3) A点在铅垂方向的位移。如图2.38(c)所示，分别过AB?的铅垂线交于点AA作二杆的垂线，相交于点作水平线，与过点，再过点的点A和AA21? 的铅垂位移。由图中的几何关系得，则便是

20、点AAAAl?l?CB ， )?cos(45?)cos(30?AAAA 可得? ， ?0.12tan?6.87? 1.778(mm)?AA 的铅垂位移为所以点A? 1.765(mm)1.778cos6.87?AAcos?从上述计算可见，变形与位移既有联系又有区别。位移是指其位置的移动，而变形是指 构件尺寸的改变量。变形是标量，位移是矢量。杆的拉，如图2.37(a)所示)两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力(【例题2.11】 F ，试求两端的支反力。压刚度为EA根据前面的分析可知，该结构为一次超静定问题，须找一个补充方程。为此，从下解： 个方面来分析。列3 图 例题2.11图2.38 所示。可

21、写出一个平衡方程为(1) 静力方面。杆的受力如图2.38(b)?0F?(a) ， 0F?FF?yBRAR为多几何方面。由于是一次超静定问题，所以有一个多余约束，设取下固定端B(2) 如图的作用，则得一静定杆(余约束，暂时将它解除，以未知力来代替此约束对杆ABFBR如(设杆由力和未知力作用，并引起变形。引起的变形为2.38(c)所示)，受已知力FFl?FFBR端原是固定的，不能B所示)。但由于引起的变形为2.38(d)所示)，由(如图2.38(e)图l?FBBR 上下移动，由此应有下列几何关系(b) 0?ll?BF 物理方面。由胡克定律，有(3) FlFaRB ， (c) ?l?l?BFEAEA

22、 代入式(c)将式(b)即得补充方程 lFFaBR(d) 0?EAEA 得和(d)最后，联立解方程(a)FaFb ，?FFARRBll BC段的轴力。求出反力后，即可用截面法分别求得AC段和、和如图2.39所示。、有一钢筋混凝土立柱，【例题2.12】 受轴向压力作用，PEAE211分别表示钢筋和混凝土的弹性模量及横截面面积，试求钢筋和混凝土的内力和应力各为A2 多少？ 解：设钢筋和混凝土的内力分别为和，利用截面法，根据平衡方程FFN2N1?(a) 0， ?FP?F?FyN2N1由于立柱受力后缩必须根据变形协调条件再列出一个补充方程。这是一次超静定问题， ，刚性顶盖向下平移，所以柱内两种材料的缩

23、短量应相等，可得变形几何方程为短l?(b) ll?21 由物理关系知lFlF N2N1(c) ， ?l?l21AEEA2112 得到补充方程为代入式(b)将式(c)llFFN2N1(d) ?AEEA2211 (d)得和联立解方程(a)AEP11 ?F?PN1AEA?EAE22?12121AE11AEP22 ?FPN2AEAE?EA11?12112AE22FAEN111 可见 ?AEF22N2 图 图2.39 例题2.12 )刚度之比。即两种材料所受内力之比等于它们的抗拉(压FE?N11 又 ?P1AEEA?A21211FE?N22 P?2AAEEA?22211?E11 可见 ?E22 即两种材

24、料所受应力之比等于它们的弹性模量之比。时，所示，、杆用铰相连接，当温度升高2.42(a) 2.14【例题】如图C?t20?系求各杆的温度应力。已知：杆与杆由铜制成，线膨胀 ，GPa?30100EE?21 26?，其长度，GPa；杆由钢制成，数200mmA16.5?10?A/(C)?2001ml?E2211362? 。，C)/(12.5?A?100mm10?33考虑假设均为拉力，、解：设、分别代表三杆因温度升高所产生的内力，AFFFN3N1N2 ，则有铰的平衡(如图2.42(b)所示) 图图2.42 例题2.14?(a) ， ，得 0?FFF0sinF?Fsin?xN2N1N2N1F?N3(b)

25、 ， ，得 0F?F?0?F2Fcos?yN1N3N1?2cos 变形几何关系为?(c) cos?l?l31 )为物理关系(温度变形与内力弹性变形lFN1?lcos?(d) ?l?t11?AEcos11lF?N1(e) ?tll?33AE33 得(e)两式代入(c)将(d)、?llFFl?N3N1(f) cos?tl?t?31?AcoscosEEA?3131 (f)三式，得各杆轴力、联立求解(a)(b)、 1492NF?N3FN3 860N?FF?N2N1?2cos 杆与杆承受的是压力，杆承受的是拉力，各杆的温度应力为F860?N1(MPa) 4.3?21A2001F1492?N3(MPa)

26、14.92?3A1003【例题2.13】 两铸件用两钢杆1、2连接，其间距为(如图41(a)所示)现需将200mm?l制造的过长的铜杆3(如图2.41(b)所示)装入铸件之间，并保持三杆的轴线平行0.11mm?e? ，铜杆横截面为。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径且有间距10mmd?a。铸铁很厚，100GPa的矩形，钢的弹性模量210GPa，铜的弹性模量30mm?20mm?E?E3 其变形可略去不计。故为一但平面平行力系只有两个独立的平衡方程，解：本题中三根杆的轴力均为未知， 次超静定问题。由于结构对其变形协调条件是三杆变形后的端点须在同一直线上。因铸铁可视为刚体， 称于杆3，故其变形关

27、系如图2.41(c)所示。从而可得变形几何方程为(a) l?e?l?13 例题2.13图图2.41 物理关系为lFN1(b) ?l1EAlFN3(c) ?l3AE333中的在理论上应是杆以上两式中的和分别为钢杆和铜杆的横截面面积。式(c)lAA3 代替。，但由于的原长与相比甚小，故用e?l?e?ll ，即得补充方程、(c)两式代入式(a)将(b)FlFlN1N3 (d) ?eEAEA33在建立平衡方程时，由于上面已判定1、2两杆伸长而杆3缩短，故须相应地假设杆1、2的轴力为拉力而杆3的轴力为压力。于是，铸铁的受力如图2.41(d)所示。由对称关系可知 (e) F?FN2N1 另一平衡方程为 ?

28、， (f) 0F?0?F?F?FxN2N3N1联解(d)、(e)、(f)三式，整理后即得装配内力为 ?1eEA? F?F N2N1EAl?2?1? AE?33?A?eE133 ?F? N3EAl?331? ?2EA?所得结果均为正，说明原先假定杆1、2为拉力和杆3为压力是正确的。 各杆的装配应力为 ?F1?eE?N1? 21EAlA?21? AE?33?39Pa)1?10m)?(210(0.11?10? ? ?0.2m9?32m)?(10?2?(2101010Pa)? 41? 9?3?3(100?10Pa)?(20?10m)?(30?10m)?6Pa10?74.53(MPa)?74.53?F?

29、eE1?N33?19.51(MPa) ? 3EAAl?331?3? ?2EA?【例题3.6】 两块钢板用三个直径相同的铆钉连接，如图2.44(a)所示。已知钢板宽度?，许用挤，铆钉直径，铆钉许用切应力，厚度100MPa?20mmd?b?100mmt10mm?。试求许可荷载。，钢板许用拉应力压应力 160MPa?F300MPa?bs 例题 3.6图图2.44 解： (1) 按剪切强度条件求。F由于各铆钉的材料和直径均相同，且外力作用线通过铆钉组受剪面的形心，可以假定所示。每个铆钉所受各铆钉所受剪力相同。因此，铆钉及连接板的受力情况如图2.44(b) 的剪力为F ?FS3(3-17) 根据剪切强度

30、条件式F?S ?AS 可得2220d?3.14? 94.2kN?394200N?3?100?F44 。(2) 按挤压强度条件求F 由上述分析可知，每个铆钉承受的挤压力为F ?Fbs3(3-19) 根据挤压强度条件式F?bs ?bsbsAbs 可得?180(kN)180000N?20?10A?3?300dt?3?F3? bsbsbs 。(3) 按连接板抗拉强度求F所示的是上板的2.44(b)由于上下板的厚度及受力是相同的，所以分析其一即可。如图 截面内力最大而截面面积最小，为危险截面，则有11受力情况及轴力图。FF?1?N1? AA1?11?1由此可得 ? 128kN128000N1020)(1

31、00160tdbF(?)? 根据以上计算结果，应选取最小的荷载值作为此连接结构的许用荷载。故取 94.2kN?F，盖板所示。已知主板厚度 【例题3.7】两块钢板用铆钉对接，如图2.47(a)15mmt?1。铆钉的许用切应力厚度，主板和盖板的宽度，铆钉直径25mm?d?b150mm10mmt?2? ，试对此铆接进行校核。100MPa? ：解校核铆钉的剪切强度。此结构为对接接头。铆钉和主板、盖板的受力情况如图(1) 2.47(c)所示。每个铆钉有两个剪切面，每个铆钉的剪切面所承受的剪力为2.47(b)、图FF ?F?S62n 3.72.47 例题图图(3-17) 根据剪切强度条件式3F10F/63

32、00?S?101.9(MPa)? ?A2225?d?6S44 超过许用切应力1.9%，这在工程上是允许的，故安全。校核挤压强度。由于每个铆钉有两个剪切面，铆钉有三段受挤压，上、下盖板厚度(2) 相同，所受挤压力也相同。而主板厚度为盖板的1.5倍，所受挤压力却为盖板的2倍，故应该校核中段挤压强度。根据挤压强度条件式(3-19) 3F10300?F/3?bs 266.67(MPa)?bsbsAdt3?25?151bs剪切、挤压强度校核结果表明，铆钉安全。 分别画出一块主板和一块盖板的受力图及为了校核连接板的强度，(3) 校核连接板的强度。 2.47(c)所示。轴力图，如图2.47(b)和图 截面所

33、受轴力，为危险截面，即有主板在11FF?1N1?3F10F300?1N1? ?160(MPa)?1?1(150?25)t?15(b?dA)1?112，但横截面也较11截面为小，所以也应校核，主板在22截面所受轴力FF?2N2?3 有3F10?300F2/32?2N2? 133.33(MPa)?2?2A(b?2d)t3?(150?2?25)?15122?F，横截面被两个铆钉孔削弱，应该校核，有截面受轴力 盖板在33?F3?N323F10?2F/300?3?N3 150(MPa)?3?3A(b?2d)t2?(150?2?25)?1023?3结果表明，连接板安全。 第三章 扭转 【例题3.1】 传动

34、轴如图3.9(a)所示，其转速，功率由A 轮输入，B、C200r/min?n两轮输出。若不计轴承摩擦所耗的功率，已知：，及150kW?P?150kW?P500kWP321。试作轴的扭矩图。 200kWP?4 图3.9 例题3.1图 解： (1) 计算外力偶矩。各轮作用于轴上的外力偶矩分别为 500?3 m23.88kN?N?m?N?m?23.88?10M?9550? 1200?150?3 m7.16kN?m?m?7.16?10NM?M?9550?N? 32200?200?3 m?m?9.55kN?9.55?10N?9550M?N?m? 4200?(2) 由轴的计算简图(如图3.9(b)所示)，

35、计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面22上的扭矩。沿截面22将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图3.9(c)可知 ?， 0M?0?M?TMx322得 m?14.32kNM?M?T?322同理，在BC段内 m7.16kN?M?T?21在AD段内 m9.55kN?M?T 43(3) 根据以上数据，作扭矩图(如图3.1(d)所示)。由扭矩图可知，发生在段内，CATmax其值为。 m?14.32kN?=50MPa，试 某传动轴，轴内的最大扭矩，若许用切应力】【例题3.2m1.5kN?T?按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。 (1) 实心圆截面轴的直径。 d1(2) 空心圆截面轴，其内

36、、外径之比为。 0.9/D?d解： (1) 确定实心圆轴的直径。由强度条件(3-13)式得 Tmax W P?3d?1而实心圆轴的扭转截面系数为 ?W P16那么，实心圆轴的直径为 6N?10mm)16T16?(1.5d?53.5mm 331?3.14?50MPa?(2) 确定空心圆轴的内、外径。由扭转强度条件以及空心圆轴的扭转截面系数可知，空心圆轴的外径为 6N?mm)(1.5?1016T16?D?76.3(mm) 3344?)?0.9(1?(1?50MPa)3.14?而其内径为 68.7mm?0.9?76.3mmD?d0.9?等重量比较。上述空心与实心圆轴的长度与材料均相同，所以，二者的重

37、量之比(3) 于其横截面之比，即 222268.776.34?d)?(?D? 0.385?2253.54?d1上述数据充分说明，空心轴远比实心轴轻。 【例题3.3】 阶梯形圆轴如图3.18(a)所示，AB段直径，BC段直径100mmd?1。扭转力偶矩，。已知材料的许用m?8kNM?M?22kN?md?80mm?M14kN?mCB2A?，试校核该轴的强度。 切应力85MPa?解： (1) 作扭矩图。用截面法求得AB、BC段的扭矩，扭矩图如图3.18(b)所示。 (2) 强度校核。由于两段轴的直径不同，因此需分别校核两段轴的强度。 6TN?10mm14?1 AB段 71.34(MPa)?1,max

38、?W3(100mm)?P1166TN?mm8?10?279.62(MPa)? BC段 2,max?W3(80mm)?P216 图3.18 例题3.3图 因此，该轴满足强度要求。 【例题3.4】 一汽车传动轴简图如图3.19(a)所示，转动时输入的力偶矩 ?Me1?，切变模量 。钢的许用切应力，轴的内外直径之比，40MPa?80GPa?G9.56kN?m?2o?。试按强度条件和刚度条件选择轴的直径。许可单位长度扭转角 m)?0.3(/ 图3.19 例题3.4图 解： (1) 求扭矩。用截面法截取左段为脱离体(如图3.19(b)所示)，根据平衡条件得 T m9.56kN?TM?e (2) 根据强度

39、条件确定轴的外径。4?33315D?D?1?D?4? 由 ?1?W)?(1?P161616162?T?max 和 WP3N?m)?10?1616T16?(9.56?3m?10109mmD?109? 得 3346?15?(40?(1?10)Pa)(3) 根据刚度条件确定轴的外径。 4?444151?D?DD?4? 由 1?(1?)I?P321623216?T180?max 和 ?GI?P 得1801T?D?44?)(1?G?323N?m)?(9.561016180132? ?49Pa)?15?0.3()?(8010/m?3m?10125.5mm?125.5所以，空心圆轴的外径不能小于，内径不能小

40、于。 62.75mm125.5mm 第四章 弯曲内力 【例题4.1】试求图4.5(a)所示连续梁的支反力。 解：静定梁的段为基本梁或主梁，段为副梁。求支反力时，应先取副梁为脱离CBACF，。处的支反力；然后，取整体为研究对象，求出体求出支反力， AMFFAyAAxB 图4.5 例题4.1图 (1) 取梁为脱离体，如图4.5(b)所示，由平衡方程 CB?， 0?M0?q?3?2.5F?5?MeBC 得 29kNF?B 取整体为脱离体，如图4.5(a)所示，由平衡方程(2) ?， 0?F0F?Axx?， 0?q?3?FF?F?0F?BAyy 得81kNF? Ay?， 0M?m?M?96.5kNAR

41、A上述求得的约束反力为正值，说明假定的约束反力方向与实际情况一致。为了校核所得支反力是否正确，也可取梁为脱离体，验证所求的支反力是否满足平衡条件。AC 【例题4.2】 梁的计算简图如图4.8(a)所示。已知、，且，以及尺寸、bF?FFaF1122、和。试求梁在、点处横截面上的剪力和弯矩。 dlFEc解：为求梁横截面上的内力剪力和弯矩，首先求出支反力和(如图4.8(a)所示)。FFBA由平衡方程 ?M?0， 0b?F?Fa?FlA2B1 和?M?0， 0?b)?)F(l?l?FlF(?aB2A1 解得 F(l?a)?F(l?b)Fa?Fb1212 ， ?FF? BAll 图4.8 例题4.2图

42、当计算横截面上的剪力和弯矩时，将梁沿横截面假想地截开，研究其左段EEMFEES梁，并假定和均为正向，如图4.8(b)所示。由梁段的平衡方程 MFESE?， 0F?0?FFyESA 可得 F?FAES?M?0， 由 0c?M?FEAE 可得 cFM?AE结果为正，说明假定的剪力和弯矩的指向和转向正确，即均为正值。读者可以从右段梁(如图4.8(c)所示)来计算和以验算上述结果。 MFESE计算横截面上的剪力和弯矩时，将梁沿横截面假想地截开，研究其右段梁，FFMFFSF并假定和均为正向，如图4.8(d)所示。由平衡方程 MFFSF?F?0， 0F?F?yBFS 可得 F?F?BFS?M?0， 由 0

43、?M?FdFBF 可得 d?FMBF 将，说明假定的转向正确。(结果为负，说明与假定的指向相反)；结果为正()FMFAFFS 、截面的内力值。和代入上述各式即可确定FEFB所示为一在整个长度上受线性分布荷载作用的悬臂梁。已知最如图4.9(a)【例题4.3】 两点处横截面上的剪力和弯矩。大荷载集度，几何尺寸如图所示。试求、CBq0 图图4.9 例题4.3则不必若取包含自由端的截面一侧的梁段来计算，解：当求悬臂梁横截面上的内力时， 。求出支反力。用求内力的简便方法，可直接写出横截面上的剪力和弯矩CMFCCSqn?C a?F?FiCS21i?qq12CC aa?a?M?C623a 则 ，有三角形比例

44、关系，可得 qq?0Cl2aq0 F?CS2l3aq0 ?M?C6l【例题4.4】 如图4.11(a)所示的悬臂梁，自由端处受一集中荷载作用。试作梁的剪F力图和弯矩图。 解：为计算方便，将坐标原点取在梁的右端。利用求内力的简便方法，考虑任意截面x的右侧梁段，则可写出任意横截面上的剪力和弯矩方程： (a) F)F(x? S (b) )(0xl?xM()?Fx由(a)式可见，剪力图与无关，是常值，即为水平直线，只需确定线上一点，例如x?0x处，即可画出剪力图(如图4.11(b)所示)。 FF?S由式(b)可知，弯矩是的一次函数，弯矩图是一斜直线，因此，只需确定线上两点，如x处，处，即可绘出弯矩图(

45、如图4.11(c)所示)。 Flx?l?0?0MxM? 图4.4图4.11 例题试作梁在全梁上受集度为的均布荷载作用。如图4.12(a)所示的简支梁，】【例题4.5 q 的剪力图和弯矩图。：对于简支梁，须先计算其支反力。由于荷载及支反力均对称于梁跨的中点，因此，解 相等。4.12(a)所示)两支反力(如图ql ?FFBA2 处的剪力和弯矩方程可写成 任意横截面xql )l(0xqx?qx)?F?(FxAS22qxqlxx )(0xlM(x)?Fx?qx?A222由上式可知，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为抛物线。仿照例题4.4中的绘图过程，即可绘出剪力图和弯矩图(如图4.12(b)和图4.12(c

46、)所示)。斜直线确定线上两点，而抛物线需要确定三个点以上。 图4.12 例题4.5图 2ql，而该截面上的由内力图可见，梁在梁跨中点横截面上的弯矩值为最大，?Mmax8ql?F(；两支座内侧横截面上的剪力值为最大，正值，负值)。 0F?S,maxS2【例题4.6】 如图4.13(a)所示的简支梁在点处受集中荷载力作用。试作梁的剪力CF图和弯矩图。 ?M?00M?分别算得支反力(解：首先由平衡方程如图4.13(a)和所示)为 ABFbFa， F?FABll的作用，显然，在集中荷载两侧的梁段，其剪力和弯由于梁在点处有集中荷载力CF 矩方程均不相同，故需将梁分为和两段，分别写出其剪力和弯矩方程。CB

47、AC 例题4.6图图4.13 对于段梁，其剪力和弯矩方程分别为AC(a) )ax(0FF(x)?AS(b) )a(0xxFxM()?A 对于段梁，剪力和弯矩方程为CBFa)F(l?b(c) )lx(a?F?F(x)F?ASllFa(d) )l(ax?F(x?a)xM()?F?(lx)x?Al两、(d)两式可知，左、右两梁段的剪力图各为一条平行于轴的直线。由(b)、由(a)(c)x式可知，左、右两段的弯矩图各为一条斜直线。根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图 4.13(c)所示。4.13(b)和图Fb；而由图可见，在的情况下，段梁任一横截面上的剪力值为最大，ACba?FS,maxlFab；在集中

48、荷载作用处左、右两侧截面集中荷载作用处横截面上的弯矩为最大，?Mmaxl 上的剪力值不相等。试作梁的剪所示的简支梁在点处受矩为的集中力偶作用。4.7】 图4.14(a)【例题MCe 力图和弯矩图。即因此与之平衡的约束反力也一定构成一反力偶，：解由于梁上只有一个外力偶作用， 处的约束反力为、BAMMee ，?FFBAll 由于力偶不影响剪力，故全梁可由一个剪力方程表示，即Me(a) )?a(0x?F)F(xASl 而弯矩则要分段建立。Me(b) 段： )(0a?xACxF)x(M? Al Me 段： (c) )x(a?lCBM(?(lx)x)?Fx?M?eAl两式可知，左、右(c)可知，整个梁的剪力图是一条平行于由式(a)轴的直线。由(b)、x就可分别绘出梁的剪力图和弯矩根据各方程的适用范围，两梁段的弯矩图各为一条斜直线。右两侧截面上的弯矩值4.14(c)由图可见，在集中力偶作用处左、所示)。如图图(4.14(b)和图bMe )。，则最大弯矩发生在集中力偶作用处的右侧横截面上，有突变。若(负值ba?Mmaxl 图4.14 例题4.7图 【例题4.9】 图4.19(a)所示为一悬臂刚架，受力如图所示。试作刚架的内力图。 解：计算内力时，一般应先求支反力。但对于悬臂梁或悬臂刚架，可以取包含自由端部分为研究对