机器人学蔡自兴课后习题答案

1、其余的比较简单，大家可以自己考虑。3. 坐标系 B的位置变化如下： 初始时，坐标系 A与 B重合，让坐标系 B绕 ZB 轴旋转 角；然后再绕 XB旋转 角。给出把对矢量 BP的描述变为对 AP描述 的旋转矩阵。解： 坐标系 B 相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变 换顺序为依次右乘。对 AP描述有 AP BAT BP ；其中 ABT Rot （ z, ）Rot（x, ） 。9. 图 2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。 要求把它们重新摆放 在图 2-10b 所示位置。（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移 或绕该轴旋转。

2、（2）作图说明每个从右至左的变换序列。（3）作图说明每个从左至右的变换序列。 解：（1）方法1:如图建立两个坐标系 o1x1y1z1、o2x2y2z2，与2 个楔块相固联。图 1 ：楔块坐标系建立(方法 1)对楔块 1 进行的变换矩阵为： T1 Rot( y,90)Rot(z,90) ；对楔块 2 进行的变换矩阵为：T2 Trans ( 3,0,4)Rot( z, 90o)02TRot(x,90o )Rot(z,180o) ；100000105其中 02T2001000010010001210001000所以 ： T1；T2101002010400010001对楔块 2 的变换步骤： 绕自身坐

3、标系 X 轴旋转 90 ； 绕新形成的坐标系的 Z 轴旋转 180 ； 绕定系的 Z 轴旋转 90 ； 沿定系的各轴平移 ( 3,0,4)方法 2：如图建立两个坐标系 o1x1y1z1 、o2x2 y2z2 与参考坐标系重合 ，两坐标系 与2 个楔块相固联对楔块 1 进行的变换矩阵为： T1 Rot(y,90)Rot(z,90) ；对楔块 2 进行的变换矩阵为：T2 Trans( 2,0,9)Trans(4,0,0)Rot(y,90o)Rot(x,180o)Rot(z, 90o ) ；0010001210001000所以 ： T1；T2101002010900010001备注：当建立的相对坐标

4、系位置不同时，到达理想位置的变换矩阵不同。(2 )、( 3 )略。2. 图 3-11 给出一个 3 自由度机械手的机构。 轴 1 和轴 2 垂直。试求其运动方 程式 解：方法 1 建模：如图 3 建立各连杆的坐标系图 3 ：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表 1 。表 1 ：机械手的连杆参数连杆iaidii190oL10120L20230003该 3 自由度机械手的变换矩阵：T3 A1 A2 A3 ；c10s1L1 c 1c2s20L2c 2s10c1L1 s 1s2c20L2 s 2A1 1；A2101002001000010001c3s300As3c300A3001

5、0；0001c1c2 c 3c1s 2 s 3c1c0T3s1c2 c 3s1s 2 s 3s1c3s2 c 3c2s 3s0方法二进行建模：2 s 3c1s2c 3s1L1c1 L 2c 1c 22 s 3s1s2c 3c1L1s1 L 2s 1c 22s 3c2c30L2 s 2001坐标系的建立如图 4 所示图 4 ：机械手的坐标系建立根据所建坐标系得到机械手的连杆参数，见表 2表 2 ：机械手的连杆参数连杆i1ai 1dii10001290oL102A1c1s100s1c10000100001A3c3s300s3c3000010L2001L2A2c20s203. 图s20c200100

6、L100；1c 1cs 1cs2c2c2cc 1ss 1sc 2 s 302 s 32s 31c1cs2s2s2s1s1s2c2c2c1c100L1c 1 L2c 1c 2L1s 1 L2s 1c 2L2s 213-12 所示 3 自由度机械手，其关节1 与关节2 相交，而关节 2 与关节 3平行。图中所示关节均处于零位。 各关节转角的正向均由箭头示出。 指定本机械 手各连杆的坐标系，然后求各变换矩阵 0T1 ， 1T2和 2T3。解：对于末端执行器而言， 因为单独指定了末端执行器的坐标系， 则要确定末端 执行器与最后一个坐标系之间的变换关系。方法 1 建模： 按照方法 1 进行各连杆的坐标系

7、建立，建立方法见图 5图 5 ：机械手的坐标系建立连杆 3 的坐标系与末端执行器的坐标系相重合。机械手的 D-H 参数值见表 3表 3 ：机械手的连杆参数连杆iaidii190o0L1 L2120L30230L403末端执行器0004注：关节变量 1 2 3 4 0 。将表 3 中的参数带入得到各变换矩阵分别为：1000100 L3T1001L 0 L ； 1T20100010L1 L22001000010001100 L 4100020100301002T3； 3T末0010末001000010001方法 2 建模：按照方法 2 进行各连杆的坐标系建立，建立方法见图6。图 6 ：机械手的坐标

8、系建立3 自由度机械手的 D-H 参数值见表 4 。表 4 ：机械手的连杆参数连杆i1ai 1dii100L1 L21290o00230L303末端执行器0L404注：关节变量 1 2 3 4 0 。将表 4 中的参数带入得到各变换矩阵分别为：1000100000100100100T1；1T2；001L1 L2010000010001100L3100L420100301002T33T末001000100001000101041. 已知坐标系 C 对基座标系的变换为：C0013；对于基座标系的微分10000001平移分量分别为沿 X 轴移动 0.5 ，沿 Y 轴移动 0 ，沿 Z 轴移动 1 ；

9、微分旋转分量分别为 0.1 ， 0.2 和 0。（1 ） 求相应的微分变换；（2） 求对应于坐标系 C 的等效微分平移与旋转。解：（1）对基座标系的微分平移： d 0.5 ,0,1T ； 对基座标系的微分旋转：0.1,0.2,0T ；000.20.5000.100.20.101；00000.2000.50.1000相应的微分变换： dc c00.20.10.50000（2）由相对变换 C可知 n、o、a、p，dx n ( p) d) 0.5； cdy o(p) d )c0.5； cdz a ( p) d ) 0ccx n 0 ； y o0.1；cz a 0.2对应于坐标系 C的等效微分平移：

10、cd 0.5;0.5;0 ；微分旋转：c 0; 0.1; 0.2 。2. 试求图 3.11 所示的三自由度机械手的雅可比矩阵，所用坐标系位于夹手末端上，其姿态与第三关节的姿态一样。解:设第 3 个连杆长度为 L3 。1 ）使用方法 1 建模，末端执行器的坐标系与连杆 3 的坐标系重合，使用微分变 换法。图 7 ：机械手的坐标系建立表 5 ： D-H 参数表连杆iaidii1o90oL10120L20230003c ( 23)s( 23 ) 0L2 c 2c3s300s( 23)c( 23 ) 0L2 s 2 ； 2Ts3c3003T3 E ；0010 ； T3001000010001由上式求得雅可比矩阵：L2 s 300L2 c 300T000TJ0000000112 ）使用方法 2 建模，使用微分变换法。图 8 ：机械手的坐标系建立表 6 ： D-H 参数表连杆i1a