异面直线所成的角求法-答案

1、异面直线所成的角的两种求法初学立几的同学，遇到的第一个难点往往便是求异面直线所成的角。难在何处？不会作！下而介绍两种求法一.传统求法找、作、证、求解。求异而直线所成的角，关键是平移点的选择及平移而的确定。平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。平移面的确定：一般是过两异而直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将 直观图中的部分平而进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移而。若 AB = 122 ,例1设空间四边形ABCD , E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点,CD = 4 . 2,且四边形EFGH的面积为12 . 3,求

2、AB和CD所成的角解由三角形中位线的性质知,HG / AB , HE / CD , a / EHG就是异而直线AB和CD所成的角1 EFGH是平行四边形，HG = AB = 6 . 2 ,21 /HE =, CD = 2 3,2nSefgh = HG HE sin / EHG 二 126 sin / EHG, a 12.6 sin / EHG = 12 3 .sin / EHG 二，故 / EHG = 45 AB和CD所成的角为45注：木例两异面直线所成角在图中己给，只需指出即可。例2.点A是BCD所在平面外一点,AD二BC , E、F分别是AB、CD的中点，且EF二J2AD,求c异面直线AD

3、和BC所成的角。（如图） 因D、F分别是AB、解：设G是AC中点，连接DG、FGoCD中点，故EG / BC且EG=11BC , FG / AD,且 FG二AD ,22由异面直线所成角定义可知EG与FG所成锐角或直角为异面直线AD、BC所成角,即/ EGF为所求。由BC二AD知1EJGF二1AD,又己尸二A。，由余弦定理可得CS /已体二。，即/注：本题的平移点是AC中点G,按定义过G分别作出了两条异而直线的平行线,然后在 EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。例3.已知空间四边形ABCD中，AB二BC二CD二DA二DB二AC

4、,M、N分别为BC、AD的中点。 求：AM与CN所成的角的余弦值；解：连接DM,过N作NE / AM交DM于E,贝U / CNE为AM与CN所成的角。N为AD的中点,NE / AM省1NE= AM且E为MD的中点。2设正四面体的棱长为1,则NC=且4317+ =- -IP /I -IPME= MD=324在 Rt MEC 中，CE2=ME2+CM 2=*cos ZCNE=CN2NE2CE22CN NE3 2 - 3 2 716 二 CEN外计算在直观图中无法判定，只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异而直线所成的角）又 tzCNE （0,-）22 异面直线A

5、M与CN所成角的余弦值为-3注：1、木题的平移点是N,按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在CE、CN、EN长，再回到 4 CEN中求角。2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角,BG 1,连结EG、FGGD 3或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。AFBE1EF=7,o求异面直线AB与CD所成的角FDEC3例4.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，己知AB二4, CD二20,解：在BD上取一点G,使得BE BG在ABCD中，故EG/CD,并且EC GDEG BE 1CD BC 4所以，EG二5 ;类似地，可证

6、FG/AB,且FG DF 3AB AD 4故FG二3,在A EFG中，利用余弦定理可得EG2 GF2 -EF23252 -72cos ZFGE=2 EG GF故 ZFGE=120另一方面,由前所得EG/CD, FG/AB,AB与CD所成的角等于60例5在长方体ABCD AiBiCiDi中，AD=b,且a b.求ACi与BD所成的角的余弦.解一：连AC,设AC PBD二0,则0为AC中点，取CiC的中点F,连OF,贝y OF /ACi且OF二-ACx,所以ZFOB即为AG与DB所成的角。在厶FOB 2中，0B= Ja2 +bOF二丄占 2 +b2 +c2 ,BE二丄 Jb22由余弦定理得122

7、i 22 22 V2)(a b)(a b c )(bVcos ZFOB二 442 丄 J a2 +b2 Ja2 +b2 +c24解二：取ACi 中点 Oi, BiB 中点 G .在 CiOiG 中，/CiOiGa2 _b2,(a2 _ b2 ) (a2 - b2 c2)即AG与DB所成的角。解三：.延长CD至U E,使ED=DC .贝UABDE为平行四边形.AE /BD，所以ZEACi即为ACi与BD所成的角.连ECi,在AEG中,AE二.a2b2 , AG二 a2b2 c2 , GE二4a2 c2由余弦定理，得cos ZEAC i 二2 2 2 2 2 2 2(a b ) (a b c )

8、- (4a c )2 . a2 b29 i 9a- b- c-所以ZEACi为钝角.根据异而直线所成角的定义,ACi与BD所成的角的余弦为a2 b? &b2) (a2 b2 c2)二.利用两个向量的夹角公式(1緬例6如图，在正方体ABCD AiBiCiD中，E、F分别是BBi、CD的中点求AE与DiF所成的角GBalbco a, PiPi),可以求空间两条直线所成的角解：取AB中点G,连结AiG, FG因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等广 又AiDi、AD平行且相等，所以GF、AiDi平行且相 等，故GFDiAi是平行四边形,AiG / DiF.程、设AiG与AE相交于点H,贝9/

9、AHAi是AE与DiF所成的角，因为E是BBi的中点，所以RtA AiAG也Rt A ABE, / GAiA二/ GAH,从而 /AHAi=90即直线AE与DiF所成角为直角.下边看利用向量的有关知识解答该题：证明：如右图建立空间直角坐标系：D xyzo设正方体的棱长为2,则有A (2,0,0)、Ai2,D (0,0,0)、Di (0,0,2)、F(0,2)0)、(I ) AE二(0, 2, i ),DF=(0,-2)AE D】F 二(0, 2, i) ?(0,1, 一2)二 0AE DiFAE与DiF所成的角为90 即直线AE与DiF所成角为直角.由上述的解答，可以看到传统方法解决立体几何问

10、题, 图形都比较复杂，而用向量解答目标明确， 在未计算前，就已经知道结果了，证明的过程只是计算验证，通过复杂的几何证明转化为简单的代数计算，学生对于代数运算较熟悉,避免了传统方法造成逻辑推理上的不便和由于辅助线的添加造成图形的复杂化等问题,相比传统方法更容易接受和掌握。因此，空间向量是处理立体几何问题的强有力工具例7.己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB /DC,、1DAB 二90 , PA _ 底而 ABCD,且 PA二AD二DC二 AB二 1, M 2是PB的中点。求AC与PB所成的角；解：因为PA JPD, PA 1AB, AD 1AB,以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐