数值分析试验题华科

1、数值分析实验作业专业：姓名：学号：实验 2.1 多项式插值的振荡现象问题提出 ：考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数，显然 Lagrange 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关心插值多项的次数增加时，是极著名并富有启发性的，设区间 -1,1 上函数f (x)实验内容 ：考虑区间 -1 ，1的一个等距离划分，分点为Ln(x) 是否也更加靠近逼近的函数， Runge 给出的例子121 25x22ixi1 , i 0,1,2,.,nn则拉格朗日插值多项式为121 25xi2li(x)nLn(x)i0其中， li (x) ， i=0,1,2, ,n 是 n 次 Lagrang

2、e 插值函数。实验要求 ：(1)选择不断增大的分点数目 n=2 ，3， 画出原函数 f(x)及插值多项式函数 Ln(x) 在-1， 1上的图像， 比较并分析实验结果。(2)选择其他的函数，例如定义在区间-5， 5上的函数，xh(x) 4 ,g(x) arctanx1x重复上述的实验看其结果如何。f(x) lagrange(x)多项式求值的振荡现象 n=3-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1解：以下的 f(x) 、h(x) 、 g(x) 的为插值点用“ 拉格朗日拟合可以看到，随着插值点的增加，产生 (1) f(x)多项式求值的振荡现象 n=2表示，

3、朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。通过三个函数的Rung 现象。10.90.80.70.6y 0.50.40.30.20.100.80.60.2-0.2-0.4多项式求值的振荡现象 n=4f(x) lagrange(x)0.4xy多项式求值的振荡现象 n=51.211.20.80.40.2-0.2多项式求值的振荡现象 n=6f(x) lagrange(x)0.6f(x) lagrange(x)多项式求值的振荡现象 n=70.90.80.70.60.40.30.20.10y 0.5多项式求值的振荡现象 n=8多项式求值的振荡现象 n=9多项式求值的振荡现象 n=10多项式求值的振荡现象 n=11(

4、2) h(x)多项式求值的振荡现象 n=2多项式求值的振荡现象 n=3多项式求值的振荡现象 n=4多项式求值的振荡现象 n=6多项式求值的振荡现象 n=5多项式求值的振荡现象 n=7多项式求值的振荡现象 n=9多项式求值的振荡现象 n=81多项式求值的振荡现象 n=10(3) g(x)多项式求值的振荡现象 n=2多项式求值的振荡现象 n=115多项式求值的振荡现象 n=42多项式求值的振荡现象 n=3多项式求值的振荡现象 n=6多项式求值的振荡现象 n=5多项式求值的振荡现象 n=7多项式求值的振荡现象 n=82多项式求值的振荡现象 n=10多项式求值的振荡现象 n=9多项式求值的振荡现象 n

5、=111g(x) lagrange(x)0.50-0.5-1-1.5y1.5-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x实验 3.1 最小二乘法拟合编制以函数 xk kn 0为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。xi-1.0-0.50.00.51.01.52.0yi-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552n* * k 2取权数 i 1,求拟合曲线 *k* xk中的参数 k ，平方误差 2 ，并作离散数据 xi,yik0*的拟合函数 y*(x) 的图形。解：三次多项式的拟合曲线为：y (x) a0 a1x a2 x

6、2 a3x3此题中权函数 (x) 1 ，即 W=(1,1,1,1,1,1,1)利用法方程 ATAa =ATY 求解这个方程组，就可以得到系数 a。 解之得： 0 0.54912, 1 3.9683 10 5, 2 2.9977, 3 1.9991故拟合的函数为 :y 0.54912 3.9683 10 5x 2.9977 x2 1.9991x3 , 平方误差为： 2.176191667187105e-05拟合的函数图像如下：-5离散值 拟合曲线3次多项式拟合 ,平方误差 =2.1762e-054321-1-2-3-4-0.50.5-1y0x实验 5.1 常微分方程性态和 R-K 法稳定性试验试

7、验目的 ： 考察下面的微分方程右端项中函数 y 前面的参数对方程性态的影响 （它可使方程为好条 件的或坏条件的）和研究计算步长对 R-K 法计算稳定性的影响。实验题目 ： 常微分方程初值问题y y x 1, 0 x 1 y（0） 1 ,其中， 5050。其精确解为 y（x） e x x实验要求 ：（ 1）对于参数 ，分别去四个不同的数值：一个大的正值，一个小的正值，一个绝对 值小的负值和一个绝对值大的负值。取步长 h 0.01 ，分别用经典 R-K 法计算，将四组计 算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。（2）对于参数 为一个绝对值不大的负值和两个计算步，一个计算步使参数h

8、在经典 R-K 法的稳定域内，另一个步长在经典的 R-K 法的稳定域外。分别用经典 R-K 法计算并 比较计算结果。取全域等距的 10 个点上的计算值，列表说明。解:对于 4阶 R-K 法 绝对稳定区为： 2.785 h 0这里 ，所以绝对稳定区为： 2.785 h 0 （1）对于 h 0.01，绝对稳定区： 278.5 0a21-1-2h0.010.010.010.01微分方程数值解x(2)对于20 ，稳定区 0 h 0.1391a-20-20h0.010.1581精确解 数值解0.90.80.70.60.50.40.30.20.1y微分方程数值解 ,a=-20,h=0.011.10 0.1

9、 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x精确解 数值解微分方程数值解 ,a=-20,h=0.15765y432xy（精确解）数值解 y1 (a=-20,h=0.01 )y1-y数值解 y2( a=-20,h=0.15 )y1-y0.150.1997870.1997892.35E-061.5250001.3252130.300.3024790.3024792.34E-072.1906251.8881460.450.4501230.4501231.75E-083.0496092.5994860.600.6000060.6000061.16E-094.1744633.5

10、744570.750.7500000.7500007.23E-115.6648864.9148860.900.9000000.9000004.32E-127.6579696.757969可见 h=0.01 时，数值解稳定 h=0.15 时，数值解不稳定。程序源代码function testCharpt2_1%对数值分析实验题第 2章第 1 题进行分析promps= 输入 f 为选择 f(x) ；输入 h 为选择 h(x) ；输入 g 为选择 g(x); result=inputdlg(promps, 请选择实验函数 );chooseFunction=char(result);switch ch

11、ooseFunctioncase f f=inline(1./(1+25*x.2);a=-1;b=1; nameFuc=f(x);case h f=inline(x./(1+x.4);a=-5;b=5 nameFuc=h(x)case g f=inline(atan(x);a=-5;b=5 nameFuc=g(x)end% promps2=n=;% nNumble=inputdlg(promps2, 请输入分点数 n); nNumble=2:11for i=1:length(nNumble) x=linspace(a,b,nNumble(i)+1); y=feval(f,x);xx=a:0.1

12、:b; yy=lagrange(x,y,xx) figurefplot(f,a,b,*)hold onplot(xx,yy,LineWidth,2)xlabel(x) ylabel(y) legend(nameFuc,lagrange(x) nameTitle= 多项式求值的振荡现象 , n=,num2str(nNumble(i) title(nameTitle,FontSize,14);grid on endfunction yy=lagrange(x,y,xx)%s 实现拉格朗日插值%输入参数 x ，y 分别为已知插值点的自变量和因变量%输入参数 xx 为拟合点的自变量值%输出参数 yy

13、为对应自变量 xx 的拟合值 xLength=length(x);xxLength=length(xx);for i1=1:xxLengthyy(i1)=0;for i2=1:xLengthp=1;for i3=1:xLengthif(i2=i3) p=p*(xx(i1)-x(i3)/(x(i2)-x(i3);endendyy(i1)=yy(i1)+p*y(i2);endendfunction testCharpt3_1()%对数值分析实验题第 3章第 1 题进行分析 %输入参数：自变量 x，因变量 y %输入参数：多项式拟合次数 n clc clear format longx=-1.0,-

14、0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0 y=-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552 n=3A=;for i=1:length(x)A=A;1 x(i) x(i)2 x(i)3endA2=A*A; a=inv(A2)*A*y% 多项式的系数% a=roundn(a,-6) yy=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3; r=(y-yy)*(y-yy) % 平方误差clfhold on plot(x,y,or); x2=-1:0.01:2; y2=a(1)+a(2)*x2+a(3)*x2.2+a(4)*x2.3;plot

15、(x2,y2,LineWidth,2);legend(离散值 ,拟合曲线 )xlabel(x);ylabel(y);title(3 次多项式拟合 ,平方误差 =,num2str(r),FontSize,14);grid onfunction testCharpt5_1%对数值分析实验题第 3章第 1 题进行分析 %输入参数：参数 a，步长 h %精确解和数值解图形对比%第 1 问输入a=2 1 -1 -2% 输入 a 的取值h=0.01 0.01 0.01 0.01% 输入 h 的取值%第 2 问输入% a=-20 -20% 输入 a 的取值% h=0.01 0.15% 输入 h 的取值%func=inline(1+(y-x).*a);% 定义函数for i=1:length(a) x=0:h(i):1;% 求解区间 y=x;N=length(x); y(1)=1; for n=1:N-1k1=func(a(i),x(n),y(n); k2=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k1*h(i)/2); k3=func(a(i),x(n)+h(i)/2,y(n)+k2*h(i)/2); k4=func(a(i),x(n)+h(i),