数字Butterworth滤波器的设计综述

1、武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书摘要巴特沃斯低通滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而且随着频率的升高 而单调地下降。巴特沃斯滤波器的零点全部在 S 等于无穷大处 , 在有限 S 平面只有极点， 因而属于“全极点型”滤波器，本文利用 matlab 软件设计了低通巴特沃斯模拟滤波器。 分别用冲激响应不变法和双线性变换法将模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函 数，并且比较了两者的优缺点。 同时，利用滤波器的设计方法设计一个 10 阶的 Butterworth 滤波器。关键词 ：巴特沃斯滤波器， matlab 软件，冲激响应不变法，双线性变换法武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书

2、目录1. MATLAB概述12. 设计22.1 题目一 22.1.1 数字滤波器的工作原理 22.1.2 低通巴特沃斯模拟滤波器设计程序 22.1.3 matlab 仿真结果 32.1.4 巴特沃斯低通滤波器的低通特性分析 32.2 题目二 42.2.1 冲激响应不变法原理 42.2.2 双线性变换法原理 52.2.3matlab设计程序 62.2.4matlab 仿真结果 62.2.5 冲激响应不变法的频率混叠失真和优缺点分析 72.2.6 双线性变换法存在的非线性频率失真和优缺点分析 82.3 题目三 82.3.1 设计原理分析 82.3.2matlab设计程序 92.3.3 matlab

3、仿真结果 93. 设计分析 104. 设计体会 115. 参考文献 12武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书1. MATLAB概述MATLAB 软件由美国 Math Works 公司于 1984年推出，经过不断的发展和完善， 如今 己成为覆盖多个学科的国际公认的最优秀的数值计算仿真软件。 MATLAB 具备强大的数值 计算能力，许多复杂的计算问题只需短短几行代码就可在 MATLAB 中实现。作为一个跨 平台的软件， MATLAB 已推出 Unix 、Windows、Linux 和 Mac 等十多种操作系统下的版本， 大大方便了在不同操作系统平台下的研究工作。MATLAB 软件具有很强的开放性

4、和适应性。在保持内核不变的情况下， MATLAB 可 以针对不同的应用学科推出相应的工具箱 (toolbox) ，目前己经推出了图象处理工具箱、信 号处理工具箱、小波工具箱、神经网络工具箱以及通信工具箱等多个学科的专用工具箱， 极大地方便了不同学科的研究工作。 国内已有越来越多的科研和技术人员认识到 MATLAB 的强大作用，并在不同的领域内使用 MATLAB 来快速实现科研构想和提高工作效率。 MATLAB 提供了 20 类图像处理函数 ,涵盖了图像处理的包括近期研究成果在内的几乎所有 的技术方法 ,是学习和研究图像处理的人员难得的宝贵资料和加工工具箱。 这些函数按其功 能可分为:图像显示;

5、图像文件 I/O;图像算术运算 ;几何变换;图像登记;像素值与统计 ;图像分 析;图像增强;线性滤波;线性二元滤波设计 ;图像去模糊;图像变换;邻域与块处理 ;灰度与二值 图像的形态学运算 ;结构元素创建与处理 ; 基于边缘的处理 ;色彩映射表操作 ;色彩空间变换 ; 图像类型与类型转换。武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书2. 设计2.1 题目一 ：低通巴特沃斯模拟滤波器设计。设计一个低通巴特沃斯模拟滤波器： 指标如下：通带截止频率： fp=3400HZ, 通带最大衰减： Rp =3dB pp阻带截至频率： fs =4000HZ，阻带最小衰减： AS =40dB2.1.1 数字滤波器的工作

6、原理数字滤波器是具有一定传输特性的数字信号处理装置。它的输入和输出均为离散的数 字信号，借助数字器件或一定的数值计算方法，对输入信号进行处理，改变输入信号的波 形或频谱，达到保留信号中有用成分去除无用成分的目的。如果加上A/D、D/A 转换，则可以用于处理模拟信号。2.1.2 低通巴特沃斯模拟滤波器设计程序根据设计要求写出如下的matlab 实验程序： Wp=2*pi*3400;%通带截止角频率Ws=2*pi*4000;%阻带截止角频率Rp=3;%通带最大衰减Rs=40;%阻带最小衰减n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s);%求巴特沃斯阶数和 3db 截止角频率b,a =

7、butter(n,Wn,s);%求传递函数z,p,k = butter(n,Wn,s);%求零极点及增益w=linspace(1,5000)*2*pi;H =freqs(b,a,w);%根据系数向量计算返回模拟滤波器的复频域响应magH=abs(H);%频率响应的幅度phaH=unwrap(angle(H);%频率响应的相位 （平滑处理 ）plot(w/(2*pi),magH);%频率响应的幅度的曲线图title（ 巴特沃斯低通滤波器的幅频特性 ）; xlabel（频率 /Hz）;ylabel（幅度 /db）武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书2.1.3 matlab 仿真结果2.1.4 巴

8、特沃斯低通滤波器的低通特性分析巴特沃斯低通滤波器的特点是具有通带内最大平坦的幅度特性，而且随着频率的升高而单调地下降。它的平方幅度响应为 21|H( j )|22n1 ( )2nc其 中 ， n 为整数，称为滤波器的阶数， n值越大通带和阻带的近似性越好，过渡带也越陡 。 c 为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特殊的性质： 对所有的 n ， 都有 当 =0时 ，|H( j )|2=1 ；1 对所有的 n ， 都有 当 = c时 ，|H(j )|2=12，即在 c处有3dB的衰减； |H( j )|2 是的单调递减函数 ，即不会出现幅度响应的起伏； 当 n 时 ， 巴特沃斯滤波器趋向于理想

9、的低通滤波器 ； 在 =0 处平方幅度响应的各级导数均存在且等于 0， 因此 |H (j ) |2在该点上取得最武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书大值， 且具有最大平坦特性。2.2 题目二 ：模拟低通转换为数字低通滤波器已知一模拟滤波器的系数函数为a (s)1000S 1000分别用冲激响应不变法和双线性变换法将 Ha(s)转换成数字滤波器系统函数 H (z) ，并图示 Ha(s)和 H (z)的幅度相应曲线。分别取采样频率 Fs1000Hz和 Fs 500Hz，分析冲激响 应不变法中存在的频率混叠失真和双线性变换法存在的非线性频率失真等。2.2.1 冲激响应不变法原理冲激响应不变法是使数

10、字滤波器的单位冲激响应序列 h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲 激响应 ha(t)，将模拟滤波器的单位冲激响应加以等间隔抽样， 使h(n)正好等于 ha (t )的抽样 值，即满足：h(n) ha(nT)式中： T为抽样周期。冲激不变法把稳定的 Ha (s)转换为稳定的 H ( z) 。由此方法可得到一阶系统的最基本的转换关系为：11aTs 1s a 1 e z2.2.2 双线性变换法原理双线性变换法是从频域出发，使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换法。直接使数字滤波器的频率响应，逼近模拟滤波器的频率响应, 进而求得H(z)。先将 s 平面压缩成 s1 平面上一个宽度为 2

11、/T 的水平带状区域，然后通过将这个带状区域映射到整个 z 平面，实现 s 平面到 z 平面的单值映射。4武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书引入正切变换 2 tg 1TT2将 s 平面的虚轴变换到 s1 平面虚轴 /T 之间 改写成j 1Tj 1T2 e 2e2T j 1Tj 1TT e 2e2延拓到整个 s 平面和 s1 平面，令 s j， s1 j 1 ，则得s1Ts1Ts 2*T22e 2 e 2s1Ts1T1 e s1T1 e s1T再将s1平面映射到 z平面，应用z esT1 ，从而实现了 s平面到 z平面的单值映射。 或（简21 z单的代数关系）z T22.2.3matlab

12、设计程序clear;%清除变量close all%关闭所有窗口b=1000;a=1,1000;%模拟滤波器分子分母的系数w=0:1000*2*pi;%定义频带宽度hf,w=freqs(b,a,w);%把频域转化到复频域 挑选 w 个频率点来计算频率响应subplot(2,3,1)%分割窗口画图plot(w/2/pi,abs(hf);%画滤波器的幅频特性title（ 模拟滤波器的幅频特性 ）% 给这个图加个标题grid on%打开网格fs0=1000,500;%定义两个变化频率for m=1:2fs=fs0(m)d,c=impinvar(b,a,fs)%冲激响应不变法求滤波器系数5武汉理工大学数

13、字信号处理课程设计说明书f,e=bilinear(b,a,fs)%wd=0:512*pi/512;%hw1=freqz(d,c,wd);%hw2=freqz(f,e,wd);%subplot(2,3,2);%plot(wd/pi,abs(hw1)/abs(hw1(1); % hold on%grid on%title( 冲激响应不变法 ); % subplot(2,3,3) % plot(wd/pi,abs(hw2)/abs(hw2(1) % hold on; % title( 双线性变化法 ); % end双线性变化法求滤波器系数 频率归一化 求冲激响应不变法的数字滤波器的频率分量 求双线性

14、变化法的数字滤波器的频率分量 分割窗口画图画滤波器的幅频特性 保持图形不清除 打开网格 给这个图加个标题 分割窗口画图画滤波器的幅频特性 保持图形不清除 给这个图加个标题2.2.4matlab 仿真结果武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书VVV2.2.5 冲激响应不变法的频率混叠失真和优缺点分析数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应间的关系为：1H(ej ) 1Ha(jTk2Tk)上式表明，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器的周期延拓， 根据奈奎斯特抽样定理， 只有当模拟滤波器的频率响应是严格限带的， 且带限于折叠频率 s /2, s/ 2以内时，才 能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内

15、，重现模拟滤波器的频率响应而不产生混叠失 真。但是，任何一个实际的模拟滤波器响应都不是严格限带的，变换后都会产生周期延拓 分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真，因此模拟滤波器的频率响应在折叠频率以7武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书上衰减越大、越快，变换后频率响应混叠失真就越小。优点：数字滤波器的 h(n) 能完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应，即时域逼近良好。模拟频率 和数字频率 之间呈线性关系，频率之间不存在失真，所以一个线性 相位的模拟滤波器可以映射成一个线性相位的数字滤波器。 缺点：对时域的采样会造成频域的“混叠效应”，故有可能使所设计数字滤波器的频率 响应与原来模拟滤波器的频率

16、响应相差很大。不适用于设计高通和带阻滤波器。只适用于限带的低通或带通滤波器。2.2.6 双线性变换法存在的非线性频率失真和优缺点分析根据仿真波形图可知，在零频率附近， arctan( / 2) 的频率变换关系接近线性关系 外，当 增加时，变换关系就是非线性的了，也就是说， 与 之间存在严重的非线性关 系。这就是双线性变换法存在的非线性频率失真。 优点：避免了频率响应的混叠失真现象。在特定数字滤波器和特定模拟滤波器处， 频率响应是严格相等的， 它可以较准确 地控制截止频率的位置。它是一种简单的代数关系，设计十分方便。 缺点：除了零频率附近， 与 之间严重非线性，即线性相位模拟滤波器变为非线性相

17、位数字滤波器。要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变。对于分段常数的滤波器， 经双线性变换后， 仍得到幅频特性为分段常数的滤波器 但是各个分段边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变，可通过频率预畸变来补偿。2.3 题目三 ：设计一个 10 阶的 Butterworth 滤波器，通带为 100250Hz，采样频率为 1000Hz，绘出滤波器的单位脉冲响应。2.3.1 设计原理分析由题目可知，要求设计一个 10 阶的带通的巴特沃斯滤波器，理论上所用的方法可以 是先设计出模拟低通滤波器，再转变成数字带通滤波器。然而，这里我们可以直接利用 butter 函数直接设计 IIR 数字带通滤

18、波器。武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书b,a butter （ N , Wn , ftype） 用于设计高通、带通或带阻滤波器，并由参数 ftype 确定滤波器的形式。当 ftype （ 2）=band （ 默认值 ） 时，为带通滤波器，此时 Wn=wl wh ，则返回的 b ， a 所构成的滤波器是阶次为 2N的带通滤波器，带通范围为： l h 。2.3.2 matlab 设计程序n=10;Wn=100 250/1000;b,a=butter(n,Wn);y,t=impz(b,a,101); % 求系统的冲激响应 stem(t,y) % 绘制二维离散数据的图2.3.3 matlab 仿

19、真结果武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书3. 设计分析数字滤波器分为 IIR 数字滤波器和 FIR 数字滤波器。 IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方 法是不同的。 IIR 滤波器设计方法有两类，经常采用的第一类设计方法是借助于模拟滤波 器的设计方法来进行。这一类方法相对容易一些，因为模拟滤波器设计方法已经很成熟， 它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表可供查阅，并且还有一些典型的滤波器类型可 供设计者使用。 另一类设计方法是直接在频域或者时域中进行设计， 由于要解联立的方程， 设计时则需要计算机做一些辅助设计。而 FIR 滤波器不能采用先设计模拟滤波器然后在转 换为数字滤波器的方法，经常使用的设计方法有窗函数法和频率取样法，还有一种比较有 效的方法是切比雪夫等波纹逼近法，需要通过计算机辅助设计来完成。本次课设要设计的是数字 Butterworth 滤波器，而设计的内容分为三步：先设计一个 低通巴特沃斯模拟滤波器， 然后将模拟低通转换为数字低通滤波器， 最后完成设计一个 10 阶的 Butterworth 带通滤波器。通过这次课程设计就是要我们掌握 IIR 滤波器第一类设计 方法的步骤。10武汉理工大学数字信号处理课程设计说明书4. 设计体会通过此次的课程设计，我对数字通信理论有了更进一步的理解，并且学到了很多关于 滤波器设计，及其所涉及到的一些基