整式的乘法与因式分解-题型

1、第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法题型一：整式乘法与整式加减的综合例 1：计算：（1）（a+b）（a-2b）-（a+2b）（a-b）（2）5x（x2+2x+1 ） -（ 2x+3）（ x-5 ）变式训练：（ 1）（ x+3 ）（ x+4） -x （ x+2 ）-5（2）（3a-2b）（b-3a）-（2a-b）（3a+b）题型二：整式乘法与方程的综合例 2：解方程（ 3x-2）（2x-3）=（6x+5 ）（x-1 ）变式训练：解方程 2x （ x-1 ）-（ x+1 ）（ 2x-5 ）=12题型三：整式乘法与表达不等式的综合例 3：解不等式（ 3x+4）（3x-4） 9（x-2）（

2、 x+3 ）变式训练：解不等式（2x-1）2x-1）（ 2x+5）（ 2x-5）-2题型四：整式的化简求值例 4：先化简，再求值（ -2a4x2+4a3x3 - a2x4）（ -a2x3）,其中 a= ，x=-4. 。变式训练：已知 2x-y=10 ，求代数式（x2+y2）-（x-y）2+2y（x-y）4y 的值。题型五：整式乘法的实际应用例 5：西红柿丰收了，为了方便运输，小红的爸爸把一根长方形为a cm，宽为 a cm 的长方形铁板做成了一个有底无盖的盒子。在长方形铁板的四个角上各截去一个边长为 b cm 的小正方形（ 2b1，试确定 a，b，c 的大小关系。题型十：利用整式乘法求字母的值

3、例 10：如果（ x+q）（ x+ ）的结果中不含 x 的一次项，那么 q=变式训练：已知（ -2x 2）（ 3x 2-ax-6 ） -3 x3+ x 2中含 x 的三次项，则 a= 题型十一：利用整式的乘法探索规律例 11：先探索规律，再用所得规律计算。 （ 1）根据多项式的乘法法则计算并填空： （ x-3 ）（x+4 ） = （x+2）（x+3）= （ x+7）（ x-1 ） = （x-5）（x-2） =x+p ）（ x+q ）= 2）观察积中一次项系数、常数项与乘法算式中两个常数之间的关系，得出规律，用式子表示为（3）利用所得规律计算：（ x+1）（x-5）；（x-3）（x+7）；（ a

4、-2）（a-1）变式训练：观察下列各式：（ x-1 ）（x+1 ） =x 2-1；（ x-1 ）（ x 2+x+1 ） =x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1.（ 1）根据观察以上规律，则（ x-1 ）（x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x+1 ） = （2）你能否由此归纳出一般性规律： （x-1）（xn+xn-1+x+1 ）=（3）根据求出： 1+2+22+234+235 的结果。题型十二：有关整式乘法的探索题例 12：新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些旧知识的基础上通过联系、拓广等方式产生的知识，

5、大多数知识是这样的知识。（ 1） 多项式成多项式的法则， 是第几类知识？（ 2） 在学多项式乘多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出两条即可）（ 3） 请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘多项式的法则是如何获得的。（用（ a+b）（ c+d）来说明）变式训练：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，这个三角形的构造 法则是：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两书之和，他给出了（a+b）n（n 为整数）的展开式（按 a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1,2，1，恰好对应（ a+b） 2=a2

6、+2ab+b 2展开式中的系数；第四行的四个数1,3,3,1，恰好对应（ a+b） 3=a3+3a2 b+3ab2+b3 展开式中的系数。（1）根据上面的规律：写出（ a+b）5 展开式：（2）利用上面的规律计算： 25-524+1023-10 22+52-1=14.2 乘法公式 题型一：平方差公式的重复运用（2）（2x+1）（4x2+1）（ 2x-1）（16x4+1）2）例 1：计算：（ 1）变式训练：计算： （1）（ 2+1）（22+1）（24+1）；题型二：运用乘法公式简算例 2：运用乘法公式简算： （1）10298； （2） 1022；（3）992变式训练：用简便方法简算： （1）98

7、2；（2） 99101题型三：乘法公式的灵活运用例 3：计算：（ 1）（ x+2y-3 ）（ x-2y+3 ）； （2）（a+b+c）2； （ 3）（ y+2 ）（ y-2 ） - （ y-1 ）（ y+5 ）变式训练：计算： （1）（ a+b+c）（ a+b-1 ）；（2）（2a-3b+1）（ 2a+3b-1）（3）（x-2y+3z）2题型四：整式的混合运算例 4：计算：（ 1）（ 3m-4n ）（ 4n+3m） -（ 2m-n ）（ 2m+3n ） （2）3（a+1）2-5（a-1）（a+1） 2（a-1）（3）2x2-（x+y ）（x-y）（2-x）（2+x）+（-y-2）（2-y）（4

8、）（2x+y）2（2x-y）2+（x2+y2）2-2（2x2+xy ）（2x2-xy ） 变式训练：计算： （1）（ x+2） 2+ （ 2x+1）（ 2x-1 ） -4x （x+1 ）（2）（x+y ）（ x-y）+（x-y）2-（ 6x2y-2xy 2） 2y 题型五：乘法公式变形的应用例 5:已知（ a+b）2=7, （ a-b） 2 =4,求 a2+b2 和 ab值。变式训练：（ 1）已知实数 x 满足=3，则的值为（2）若 x+y=5 ， x-y=1 ，则 xy= 。 题型六：整式的化简求值例 6：先化简，再求值： （ x+1 ）（ x-1） +x（3-x），其中 x=2.变式训练：

9、求值：已知 4x=3y ，求代数式（ x-2y）2-（x-y ）（ x+y） -2y 2 题型七：乘法公式与方程结合例 7：解方程： 2（ x-2 ） +x2= （ x+1 ）（ x-1）+3x变式训练：解方程： 2（ x-2）+x 2=（x+1）（x-1）+x 题型八：乘法公式与不等式（组）结合 例 8：解不等式 x（x-3）（ x+7 ）（x-7）变式训练：解不等式组：（x+3）（x-3）-x（x-2） 1（ 2x-5）（-2x-5） 4x（1-x）题型九：完全平方公式的变形应用例 9：已知 a+b=5， ab=7，求 a2+ b2， a2-ab+b2的值。变式训练：（ x+y ） 2=9

10、，（ x-y ） 2=5，求 x2+y2级 xy 的值。 题型十：应用完全平方公式求字母的值例 10：二次三项式 x2-kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是 变式训练：若 x2+（m-3） x+4 是完全平方式，求 m 的值。题型十一：出发公式在复杂计算中的应用例 11：计算（ 2+1）（22+1）（24+1）.（ 22n+1） 变式训练：计算14.3 因式分解 题型一：提公因式法与公式法的综合运用 例 1：分解因式： ax2-ay2= 变式训练：分解因式： a2b-2ab+b= 题型二：利用因式分解整体代换求值例 2：已知 a+b=2，ab=1，则 a2b+ab2 的值为 变式训练：若

11、 a=2， a-2b=3 ，则 2a2-4ab 的值为题型三：因式分解与三角形知识的结合例 3：若 a， b，c 是三角形的三边，且满足关系式a2-2bc=c2-2ab，试判断这个三角形的形状。变式训练：已知三角形三边长为a， b， c，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ac，试判断三角形的形状。题型四：在实数范围内分解因式例 4：在实数范围内分解因式： x 2y-3y= 变式训练：在实数范围内分解因式： x3-6x= 题型五：分解因式： （1）（p-4）（p+1）+3p （ 2） 64m2n2-（ m2+16n2）2 （3） a4-2a2b2+b4（4）16（ a-b）2-9（a+b）2

12、变式训练：（1）（x+y）（x-1）-xy-y 2（2）（ax+by）2+（bx-ay）2题型六：平方差公式的灵活运用 例 6 ：计算 变式训练：若 248-1 能被 60 与 70 直径的两个整数整除，求这两个数。题型七：完全平方公式的灵活运用例 7：已知 a2+b2-4a-6b+13=0 ，求 a+b 的值。变式训练：求证：当 x 表示整数时， （ x+1 ）（x+2 ）（ x+3）（ x+4 ）+1 是一个整数的完全平方数。 题型八：开放型问题例 8 ：多项式 9x2+1 加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可能是什么？（把符合要求的都 写出来）变式训练：给出三个多项

13、式： 2x2+4x-4 ； 2x 2+12x+4 ； 2x 2-4x ，请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出 所有可能的结果） ，并把每个结果因式分解。题型九： x2+（ p+q） x+pq 型式子的因式分解例 9 ：阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用（1）的酒类分解因式。（ 1） 形如 x2+（p+q）x+pq 型的二次三项式，有以下特点：二次项系数是1；常数项是两个数之积；一次项系数是常数项的两个因式之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解：22x +（ p+q ） x+pq=x +px+qx+pq=（ x 2+px ） +（ qx+pq ）=x（ x+p） +q（x+p）=（ x+p ）（x+q ）因此上面结论，可以之积将某些二次项系数是 1