12对坐标的曲线积分

1、 10.2对坐标的曲线积分一、概念的引入设一质点在xoy面内从点 A沿光滑曲线弧L移动到点 B,在移动过程中，该质点受 到变力F(x, y)二 P(x,y)i Q(x, y)j的作用，其中函数 P(x,y),Q(x,y) 在L上连续，现计算变力所作的功 w。在L上任意地插入n 1个点A = Mo,Mi, ,Mi_i,Mi, ,Mn1，Mn = B将L划分成n个小弧段,且点Mi的坐标为(x，yi) (i =1,2，n)。由于弧M i -1M i光滑且很短,可用有向线段来近似地代替它，其中,xi yi分别是弧Mi_iMi在坐标轴上的投影。又因为函数P(x, y), Q(x, y)在L上连续,可用弧

2、Mi-iMi上任意一点(,-) i i丿处的力F( j 门二 P( ), “ Q(),小来近似地代替该小弧段上的变力。质点沿有向小弧段 弧Mi -1Mi移动时，变力所作功可近似地取为F( , i) Mi_iMi二 P( , j )为 Q( 0,(是这n个小弧段长度的最大者),对上述和式取极限。nw= lim P( jj) XiQ( 01存在，贝吐匕极限值就叫做函数 P（x, y）在有向曲JP（x, y）dx 线弧L上对坐标x的曲线积分，记作L。nlim 瓦 Q（ , 阳类似地，如果极限、 i =1存在，则此极限值就叫做函数fQ（x, y）dyQ（x，y）在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，并记

3、作lP(x, y)dx 二Ln%i，J为Q(x,y)dy =L其中：P（x，y），Q（x，y）叫做被积函数，L叫做积分弧段。注记：P（x，y）dx1、对坐标的曲线积分 L中的dx是有向弧段ds在x轴上的投影，它的值可P（x，y）ds正也可负。这与对弧长的曲线积分 L中的ds恒为正值是有区别的。2、应用中经常出现P(x, y)dx Q(x, y)dyLL这种形式，今后，可将之简记成P(x, y)dx Q(x, y)dyL从而,变力 F(x, y)= P(x,y)i +Q(x,y)j 沿有向曲线 L所作功可表成w = P(x, y)dx Q(x, y)dyL3、上述定义可推广到积分曲线弧为空间有向

4、曲线弧-的情形nP(x, y,z)dx = lim P( , i，J “ -o i =1nQ(x,y,z)dy 二 lim Q( , i，J y0 i =1nR(x, y,z)dz = lim R( i，i, J Zj r丸t 0)=1P(x，y，z)dx Q(x，y，z)dy R(x，y，z)dz并且】-可简记成形式P(x，y，z)dx Q(x，y，z)dy R(x，y，z)dz r4、对坐标的曲线积分存在定理若P(x，y)，Q(x，y)在有向光滑曲线弧L上连续，则P(x，y)dx Q(x，y)dyLL5都存在。这一定理可类似地推广到空间曲线的情形。二、对坐标曲线积分的性质1、若将L分成L1

5、与L2，且L1，L2的方向由L的方向所决定的，则Pdx Qdy 二 Pdx Qdy Pdx QdyLLiL22、设L是有向曲线弧，而L_是与L方向相反的有向曲线弧，则Pdx Qdy - - Pdx QdyLL这一性质表明：对坐标的曲线积分应特别注意积分曲线弧的方向。3、若，：是常数，则Pdx Qdy Pdx QdyLLL三、对坐标曲线积分计算法【定理】设 (，),(，) 在有向曲线弧l上有定义且连续；曲线L的参数方程为(t)y 八(t)当参数t单调地由变到一时，点M (x, y)从的起点A沿L运动到终点B函数 (t)，(t)在以为端点的区间上具有 一阶连续导数，且(t)2(t)2 = 0P(x

6、，y)dx Q(x，y)dy则曲线积分L存在，并且PP(x，y)dx Q(x，y)dy = .P(t)， Q(t)， (t) (t)dtL证明：在L上任意地插入一系列点(依从 A至B的方向)A Mo, Mi， ,M, Mj, Mn_i, M门二 B它们对应于参数值为。- tog，Lhtdtn这一列参数值是单调变化的。据对坐标的曲线积分定义有nP(x, y)dx = lim p( , J 旳L0 i =1若设点(i， i)对应于参数值 i ,那么i应在ti -1与ti之间，且i 八(i),厂(i)又“卞-厂(tj-(ti_i)yti这里：ti = 1 _ tj _i,而i在1与ti之间。n(i)

7、7P(x, y)dx 二 lim P ( J, ( J于是L oi=1因为函数，(t)在闭区间，订(或一)上连续，那么可将上式中的i换成i ,从而nP(x,y)dx= lim、P ( J, ( J( J 飞L 0 i = 1而，0等价于勺0(i1,2,n),因此pP (t), (t) (t)dtP(X, y)dxL也就存在，且有P(x,y)dx = P (t), (t) (t)dtL:同理可证PQ(x,y)dyQ (t), (t) (t)dtL:将两式相加便得到了 (4)式。对坐标的曲线积分计算公式记忆法.P(x, y)dx Q(x, y)dyLACy(t)dx 二-(t)dtdy (t)dt

8、=下限:上限p P，(t) Q (t), (t)(t) dt几种特殊情形的对坐标曲线积分1如果L由方程y =(x)给出时,(4)式成为bP(x, y)dx Q( x, y )dy 二 Px, (x) Qx, (x)(x) dxLa这里：下限a对应于L的起点，上限b对应于L的终点。2、如果L由方程x =(y)给出时,(4)式成为d.P ( x, y ) dx Q(x, y )dy 二 PL： ( y ), yT ( y ) Q L： ( y ), y dyLc这里：下限c对应于L的起点,上限d对应于L的终点。3、公式(4)可方便地推广到空间曲线-由参数方程:x : (t), y 二(t), z

9、= 丫 (t)给出的情形P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzrP=P (t), (t), (t) ： (t) Q (t), (t), (t)(t) R (t), (t), (t) (t)dt这里:下限对应于】的起点，上限对应于】的终点。y2dx【例1】计算L，其中L为(1)、半径为a,圆心在原点依逆时针绕行的上半圆周；、从点A(a,O)沿x轴到点B( a,O)的直线段。解1: L的参数方程为x = acos , y = asiyrrAM) x八0时,对应于L的起点A(a , 0),日=71时,对应于L的终点B( 一 a , ),71y2dx = (asin71 )2

10、(-asin 二)d =L0H2=-a3 sin3 対丁- -2a3 sin3 寸、2a3却3!解2: L的方程为目二,x = a时,对应于L的起点 A(a,O)；x =a时,对应于的终点B( a,),-a2y2dx 二 Odx 二 La此例表明：两个对坐标的曲线积分尽管被积函数相同，积分曲线的起点与终点也相同积分曲线不同 时,其值并不相同。22xydx x dy【例2】计算L，其中L为2抛物线y X上从 0(0,0)到 B(1,1) 的一段弧；2抛物线x y上从 0(0,0)到 B(1,1) 的一段弧；有向折线OAB,这里依次是 (,),(,),(,)。cw) 心)X12 2 22xydx

11、x dy = 2x x dx x 2xdx解1、L01 12xydx x2dy = .2y2 y 2 ydy (y2)2dy 二 5 y4dy 二 1解 2: L002xydx x2dy 二 2xydx x2dy2xydx x2dy解 3: LOAAB2 2二 2x 0 x Odx 2 1 y 0 1 dy0 01=dy = 10此例表明：虽然沿不同的曲线弧，但第二类曲线积分的值可以是相同的。换句话说,计算曲线积分时，积分值仅与起点 0(0,0), 终丿B(1,1) 的坐标有关，而与连接这两点的曲线 形式无关。四、两类曲线积分的关系设有向曲线弧L的起点为 A,终点为B,取弧长AM =s为曲线弧L的参数,曲线L的全长AB = I ,这里M L。设曲线弧L由参数方程x = x(s)十 y(s)给出，函数x(s) , y(s)在 0,l 上具有一阶连续的导数，又函数P(x,y),Q(x, y)在 l上连续。对坐标的曲线积分P(x, y)dx Q(x, y)dyLdsdxpx(s),y(s壮 Qx，y(s)i二Px(s), y(s)cos ： Qx(s), y(s)cos ds0dx a dy ,/ , or , ocos, cos, ds = dx dy其中：dsds由莱布尼兹微分三角形可知：cos与cs-是有向曲线弧L在点M的切线向量的方向余弦，该切线向量的指向与曲线