2013考研数一真题及解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)已知极限limc1=2, c = 一2c1= 2,c =21=3, c =3= 3,c3(B)(D)X-arctanx =c,其中c,k为常数，且chO,则xk精品文档1(2)曲面X2+cos(xy) + yz+x =0在点(0,1,-1)处的切平面方程为(A)X y +z = -2(B)X +y +z =2X -2y + z = 3(D)X y -z =0(3)设 f(X)=1X -2bn1切0f (x)sin n兀

2、xdx(n = 1,2,.)，令 SX)=2b Si n X応nzi9,则 s(-)=(4(B)(D)34144_34(4)设l1 :22 .X + y =1,122 2 2 2 2y = 2,3 : X + 2y= 2,4 : 2x + y= 2为四条逆时针的平面曲线，记li =【(y3X)dx+(2x-)dy(i =1,2,3,4)，则3TMM=()(B)(C)(D)I1I2I3I3(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB =C,则B可逆，则(A)(B)(C)(D)矩阵矩阵矩阵矩阵C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵C的行向量组与矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 A的列向量组等价

3、B的行向量组等价 B的列向量组等价(6)矩阵(A)(B)(D)fllaI1= ,b= ,b为任意常数= 2,b为任意常数相似的充分必要条件为2 2(7)设 X1, X2, X3是随机变量，且 X1N(,1)，X2N(,2 )，X3 N(5,3 ),Pj =P 2 Xj p F3(A)(B)(C)(D)P3 P F2(D)(8)设随机变量 X t( n), Y F(1, n),给定 a( c2=()1 -a21 -2a二、填空题：9_14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上.1(9)设函数f(x)由方程=严确定，则Nmn(f(-1).(10)已知y1 =e3x -xe2x,

4、 y2 =ex -xe2x, y -xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,方程的通解为y=(11)设|x nt( t为参数)，则畀=ts in t +costd2ydx2In X ,dx =(1+x)(13 )设A =(aij)是三阶非零矩阵,| A |为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，aj +Aij =0(i,j =1,2,3),则I A =(14)设随机变量丫服从参数为1的指数分布,a为常数且大于零，则 PY a=三、解答题：15 23小题，共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.(15)(本题满分10分)计算f丄異水,其中f

5、(X)Vx(16)(本题满分10分)设数列an满足条件：a。c= 3,a1,an -n(n- 1)a0(n2), S(x)是幕级数 anxn 的和函数,n T(I)证明：S”(x)-S(x) =0,(II)求S(x)的表达式.(17)(本题满分10分)求函数(18)(本题满分10分)3f(X, y) = (y +)eX为的极值.3精品文档5设奇函数(I)存在E壬(0,1),使得f牡)=1(II )存在 1,1 )，使得 f 屮)+ f)=1f(X)在-1,1上具有2阶导数，且f(1) = 1,证明:设直线为O，（I）（II）求曲面工的方程 求0的形心坐标.(20)（本题满分11L过A（1,0,

6、0）, B（0,1,1）两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面 工，工与平面z=0, z = 2所围成的立体1 当a,b为何值时，存在矩阵 C使得AC -CA = B，并求所有矩阵 C。 b丿21)卜1】、22I设二次型 f (捲，X2,X3 )=2但凶 +a2X2 +a3X3 ) (biX. +b2x2f(X4Xvxv ，令随机变量Y = 4xb 其他1（I）求丫的分布函数(II)求概率 PX Y（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为f(X )= f（ X）因此s(4 ) =S4(W+4 -(4 )设 11 ： X2 +y2 =1,l2 : X2 + y22 2 2= 2,3 ： X +

7、2y = 2,4 ： 2x +2y - 2为四条逆时针的平面曲线，记1比,(x 引0,1), 6=2 ( f (x)sin xdx(n =1,2,.)，令 S(x)=送 bn sin 河 x，则n4精品文档7li = J(y(A)li(B)I3(D)I4【答案】D【解析】Ij = J （y3+Jdx +(2xliX33)dy(i =1,234)7(1D x2)dxdy利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域Di,D4上函数为正值,则区域大，积分精品文档9大，所以14 ll，在D4之外函数值为负，因此14 12,1 4 13，故选D。(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,(A)(

8、B)(C)(D)矩阵矩阵矩阵矩阵C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵C的行向量组与矩阵AABB若AB =C，且C可逆，则()的行向量组等价的列向量组等价的行向量组等价的列向量组等价【答案】(B)【解析】由C =AB可知C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有A = CB ，从而A的列向量组也可以由a(6)矩阵ia baC的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为(20)B )。相似的充分必要条件为(A)(B)(D)【答案】I1= 0,b =2= 0,b为任意常数= 2,b为任意常数(B)f1 a广C a 9 0 0、aba为实对称矩阵，故一定

9、可以相似对角化，从而ja b a与0 b 0J a 1丿1U a 1丿.0 0 0 丿【解析】由于相似的1a 1 充分必要条件为ab a的特征值为2,b,0。Ja bA -1-a-1又 AE -A =-aA -b-a2=扎(扎一b)(扎一2) 2a -1-a几1，从而a = O,b为任意常数。(7)设 Xi, X2,2X3是随机变量，且 X1N(0,1)，X2N(0,2)，2X3 N(5,3 ),Fj =P 2 兰Xj P2 F3【解析】因y1 =e3x xe2x, yexe2x是非齐次线性线性微分方程的解，则y1 - y e3 ex是它所精品文档11P3 P F2(D)【答案】(A )【解析

10、】由 XjjN (0,1 )X2 N(0,22 jXsQ N(5,32 )知,口 =P ZEXj 2 = PijX1| P2 .P2 =P2 X2 2 = P)X2 P2 P3，故选(A)(8)设随机变量 X t( n),Y F(1, n),给定 a(0 vacO.5),常数 c 满足 PX c =a,则 PY c2=()(A) Ct(B) 1 -a(C) 2a(D) 1 -2a【答案】(C)【解析】由X t(n),Y - F(1,n)得，丫 =X2，故 P丫c2 = PX 2c2 = P x c c或X=2a二、填空题(9)设函数1【解析】Hmn(f()-1)=ljmf-=f-(0)X(91

11、4小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸 指定位置上).1f (X)由方程 y-x=eX(19确定，则 lim n(f()-1) = nYn【答案】1由 y X = ex(1 T)，当 X = 0 时，y = 1方程两边取对数In(y X)=x(1y)两边同时对X求导，得1(yT )=(1-y) -xy y -X将X =0, y =1代入上式，得(0)=13x2x(10)已知 y1 =e -xe ， yX2x=e -xe2xy -xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,方程的通解为y=【答案】y+C2eX -xe2xyp = Gex + C2ex，因此该方程的对应的齐次线性微分方

12、程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为 通解可写为 y =C1e3x +C2ex -xe2x(11)设Fnt( t为参数)，则兰yJ = ts in t+costdxdydx【解析】 二=sint +tcost -sint = tcost, =cost ,dtdtdy _ t cost dx -cost ，(12)(d(dy)2d =1，所以雪=丄dx cost所以d2ydtdx2=42FAdx(1+x)2【答案】In 2【解析】讼ln X2(1+x)-be1dx = - ln xd(1 +xln x1+xx(1 + x) dx-be 1-be 1 1dx =ln XTn(1 +x)1 j

13、 x1.x 1+x 丿1+x严=ln2dx =x(1 +x)(13)设A=(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aj为aj的代数余子式，若aj +Aij= O(i,j =1,2,3),则I A =【答案】【解析】-1【答案】返由aj +Aj =0可知，At =-AA =ai1A1 +ai2A2 +ai3A3 =a1jA1j +a2jA2j +a3jA3j33=-2 a” = 一送 aij 2), S(x)是幕级数证明：S7x)S(x) = 0,求S(x)的表达式.【解析】3C(I)设 S(x) =2 anXnn ze anxn的和函数,nT3C3C,S(x) =2 annxnx , S

14、(x)ann(n T)xnJn=in=2c-n(n- 1)an =0，因此 S(x)=送 ann(n - 1)xnn=2oCpn -2anz2oC=送 anXn = S(x)；nF(II)方程S”(x)-S(x) =0的特征方程为 入21=0,XX解得打=_1,几1 =1，所以 S(x) =Ge +C2e ,又 a0 =S(0) =3= C| +C2 =3, a1 =S(0) =1= g q =1 ,解得 C1 =2,C2 = 1，所以 S(x) =2e17 (本题满分10分)x3片求函数f(x, y) =(y+归5的极值.3【解析】3fx=x2eXJ(y+才)3fy=eXJ(y+刍)03=

15、(x2+y+X-)eX =03= (1+y+X)eX旳=033= fXX(2x2)eX +(x)ex =( +2x2x+y)eX3333B = fxy eX+(x2 + y + )ex*=( +x2+y+1)eX3333C =fyy“=e小 +(1 + y+y)eXF =(y+y+2疋54J亠对于(1,-)点，A=3e3,B=e3,C31=e弓宀AC-B2 0,A0,4丄二(1,-)为极小值点，极小值为 -e 332 工 工 一2对于(1,2), A=e 3,B =e 3,C =e 3,AC-B2 0，不是极值.3(18)(本题满分10分)设奇函数f(X)在-1,1上具有2阶导数，且f(1)

16、= 1,证明:(III)存在亡(0,1),使得f()=1(IV)存在厲(-1,1)，使得 fVb + f()=1【解析】(1)令 F(x) =f(X)X, F(0) = f(0) =0,F(1)= f(1) 1 =0,则 3呉(0,1 y吏得 F()=0,即f ()=1(2)令 G(x) =ex(f(X)1),则 G(r)=0,又由于f(x)为奇函数，故f(X)为偶函数，可知G(-)=0, 则 3 亡(一匚今U(_1,1 使 G(G =0,即 el f () _1 +eEf 屮)=0，即()+ f (H) =1(19)(本题满分10分)设直线L过A(1,0,0), B(0,1,1)两点，将L绕

17、Z轴旋转一周得到曲面工，工与平面z=0, z = 2所围成的立体为0,(III)(IV )求曲面工的方程 求O的形心坐标.【解析】(1) I过A,B两点，所以其直线方程为:x-1 y-0-1 _ 1 _z 0|x = 1-z=y = z所以其绕着z轴旋转一周的曲面方程为:X2 +y2 =(1 _z)2 +z2 二X2 +y22(2)由形心坐标计算公式可得JJJ zdxdydz fffdxdydz Q2兀.0 z(1 z)2 中 z2dz2J0(1-z)2+z2dz2 JI=7，所以形心坐标为(0,0, Z)55(20)(本题满分11BILJZa o，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA

18、= B，并求所有矩阵 C 。【解析】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设CX1匕3X2，则由AC - CA = B可得线性方程组:X4丿(1)一屜中ax3 =0axi +x2 +ax4 =1X1 -X3 -X4 =1X2 -axg =bf0-1a00、n0-1-11、n0-1-11 、-a10a1-a10a101-a01 + aTT10-1-110-1a000-1a0001-a0b01-a0b丿10-1-1101-a01+aT00001+a0000b1 a由于方程组有解，故有=0,即卩a = 1,b = 0,从而有1 +a =0,b 1 -a(1)0-1a000-1-11、a10a101100T

19、，故有10-1-1100000rlo1-a0b丿.00000丿fki + k2 +1-ki )从而有% =匕 + k2 +1x2 - -k1X3 = k1X4 = k2,其中ki、k2任意.(21)(本题满分11 分)k2丿设二次型 f (X1,X2,X3 ) = 2(81X1 +82X2 +83X3 +(b1X1 +b2X2+3X3 ，记 a = | 比(I)证明二次型f对应的矩阵为2小 +pTp ；(II )若a, P正交且均为单位向量，证明二次型 f在正交变化下的标准形为二次型2y12【解析】(1)f =(221r +6)x +(2$+ bhf + (20 + 6)X+ (4a才 弋 1

20、 a3 中 bl b3) X1 X扌(4 a2 a3 2 b213 X2 X32a12 +b2则f的矩阵为2afc1b22a1abib22a2 +b；(2a1a3+bib3 2a2a3+鸟鸟=2aa T + P P T2a,abit32&2&3 + b2b32a22b b)X 2a1a2a1a3b1b2bA、2a202 03+bb2b32a3丿1b2b3b2丿/ 2a1=2 a1a2I(2) 令 A=2aa T + PPT ,贝 y Aa =各a Ta + PP Ta = 2a , aP = 2 TP + PPTP = P，贝y 1,2均为A的特征值，又由于r(A) =r(2sT +PPT) r(a