介绍Wallis公式及其应用

1、Wallis公式及其应用本文讲述Wallis 公式，以及它得推导过程。然后讲述 Wallis 公式得两个重要应用，即推导Stirling 公式与求解 Euler-Poisson积分。Contens1、什么就是Wallis 公式2 、Wallis公式得推导过程3 、利用Wallis公式推导Stirling 公式4 、利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分1、什么就是Wallis 公式Wallis公式就是关于圆周率得无穷乘积得公式，公式内容如下其中= 2 X 1 X G X X (2“)(加 一 1)! = lx3x 5x x (2n 1),开方后还可以写成2、Wallis公式得推

2、导过程Wallis公式得推导采用对在区间内得积分完成，令用部分积分法得到如下推导过程=(n 1)/( n 2) (71 1)1(71)进一步得到n 丄) = I(n 2)今珥 2”+ I )I 2n 1)I /(2n)2n2n + 12n 一 1I J(2n - 2)2n所以继续得到1(3)J(5)1(271 + 1)2X1X X “ X =X1(1)7(3)T(2n - 1)2x1 + 11(2)1(4)心) 1 1 yc V7(0)1(2)1(2?! - 2) 2x12x22 x n(2/i)! X X = 2x2 + 12 x n -I- 1(2n + 12x2-12 x ri - 1(

3、2n 一 1x x=2x22 x n(2/i)!x所以最终得到7T9aTi =0J(?i) = / sin11 xdjc Jo1n =1(2 耐!！+1)!n =2k + 1(2t 一 1)! 7Tt(2fc)!2n =2k由得单调性可知si】严+i x sin2k X sii严一】x x G 0,/(2k + 1) I(2k) I(2k 一 1)即得到(2fc)!(2t - 1)! h (2k 2!乎2k + 1 今 1 V J 2) x 1 + i(ln2 + In3) x L + + (ln(n 1) + Inn) x 1 一 21i.=(2 In 2 + 2 In 3 + 4 2 In

4、 口)一 In n2 1In n! 1 n n9很容易知道,令,很容易证明为有界递增序列,则I3n = n In n n + 1 hi In nuhi 7i! = 1 _ Bn + hi nn + 山闪一 In接下来令，则有极限，设则根据Wallis公式得到Inn出一+乂严（0皿（纣广1汙进一步化简得到所以最终得到带入原式得到斯特林公式4、利用Wallis 公式求解Euler-Poisson积分在上面，我通过Wallis公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续瞧Wallis公式得另一个应用即求解Euler-Poisson积分。Euler-Poiss on积分就是无限区间上得非正常积分它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它得被积函数得原函数不能用初等函数表示，因此不能用牛顿-莱布尼兹公式求它得值。现在我就用上面学到得Wallis 公式来求解。借助函数在时取得最大值1,因此对于任何，都有,从而得到与，所以对任意自然数都有dx(1由于(1即得到不等式为同时取平方后得到1)(2”2那么，我们又知道(2n)!由Wallis 公式可以推出，在得情况下，两边都就是以为极限，由两边夹挤准