2014年-电磁场与电磁波——答案

1、西安电子科技大学考试时间 120 分钟试题题号一二三四五六七总分分数1. 考试形式：闭卷； 2. 本试卷共 7 大题，满分 100 分.3 全部答案写在试题纸上。班级 学号 姓名 任课教师一 、( 15 分 ) 已 知 a 是 常 矢 ， 矢 径 R ( x x)?xa ( y y?) y a ( z ? )zz，aR (x x)2 (y y)2 (z z)2 ，求(1) R，(2) R，(3) R，(4) (aR)，(5)(aR) ，(6) (R aR) ，(7)若 A a?xxy a?yyz a?z xz ，矢量 A是否满足库伦规范解(1)R (x x)a?x (y y )a?y (z z

2、)a?zR (x x) (y y ) (z z)(2) R 3(3) R 0(4) (aR) R a R aR2 分）2 分）2 分）2 分）(5)(aR) R a R aR2 分）(6) (R aR) ( R) aR ( aR) R ( R a) R (R a) R 0 (2分) R(7) A (x? y? z? ) (x?xy y?yz z?xz) y z x 0 ，矢量 A 不满足库伦 xyz规。（ 3 分）二、（25 分）1. 写出麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式及边界条件的矢量形式， 麦克斯韦方程组中独立的方程。解麦克斯韦方程组微分形式的复数表达式H J j DE j BB0D边界

3、条件的矢量形式n? E2 E1 0n? H2 H1 Jsn? D2 D1 sn? B2 B1 0独立方程有三个：H J j DE j B D或者独立方程有三个：H J j DE j BJj2. 在真空中有一个静止的点电荷 q 放置于直角坐标系的坐标原点处，任一点 （x,y,z） 处的电场强度、电位与等位面方程。并指出（2 分）（2 分）（1 分）（1 分）写出空间解E(x, y, z)q 3 (x?x y?y z?z) (2分)4 0(x2 y2 z2)22 2 2 (2分)4 0 x2 y2 z2x2 y2 z2 c （c 0）为等位面方程（1 分）-63. 若一均匀平面电磁波在良导体银中传

4、播，若电磁波的波长为7.351410-6m，银的电导率 6.15 107 S m ，求银的集肤深度与表面电阻。解111.17 10 m（ 3 分）211Rs7 6 0.0139（2 分）s 6.15 107 1.17 10 64. 对于非磁性介质，写出斜入射时均匀平面波产生全反射的条件。解1 2（ 2 分）3 分）5. 计算自由空间中电流强度为 10mA ，长度为 dl 0.1 的电基本振子的辐射电 阻与辐射功率。解dlRr 80 2（ ）2 0.8 2 7.896 （2 分）1 2 2 2 4Pr 1 I 2 Rr 0.5 （10 2）2 7.896 3.948 10 4W（2 分）2、(8

5、 分)推导无源区域，均匀、线性、各向同性、无耗媒质中时变电磁场的波动方程。解 对于无源区域，均匀、线性、同性、无耗媒质中的时变MaxwellHE(1)tEH(2)tH0(3)E0(4)方程组为2 分)对(1)两边去旋度，可得E ( H) tE)(5)2 分)将(3)和(2)代入(5)中，可得2HtH2 0(6)1 分)类似地，将 (2)两边去旋度，可得E H ( E) 2 E ( ttH)(7) (2 分)将(4)和(1)代入(7)中，可得2Et22E 0(8) (1 分)b，其间填充两四、(10 分)同心球电容器的内导体半径为 a，外导体内半径为种均匀线性各向同性的电介质，上半部分的介电常数

6、为1 ，下半部分的介电常 数为 2，如图 1 所示。设内外导体带电分别为 q 和-q，求上半部分与下半部分 的电场强度 E和电位移矢量 D ，以及该电容器的电容 C 。图 1 （第四题用图）解为了满足介质分界面上电场强度切向分量连续的条件，上下两部分的电场强度满足E1 EE(r)a?r2 分）则对应的电位移矢量分别为D1 1E1 1 E （r ）a?rD22E 2 E2(r ) a?r在半径为 r 的球面上应用高斯定理，有222 1r E 2 2r E q2 分）于是E 2 r 2( 1 2)1 分）上下部分的电场强度与电位移矢量分别为E1 E2 2 r2( 1 2) a?rD11q2 r2(

7、 1 2) a?rD22q22 r 2( 1 2 )a?r2 分）内外导体间的电位差为E dr a2 分）最终两导体间的电容为2 （ 1 2） abba五、（12 分）如图 2 所示，一个半径为 a 的金属半球壳，其底部连接一个接地C Uq1 分）的金属导体版。若内部填充空气，并在距离球心 d 处放置一个电量为 Q 的点电 荷，采用镜像法求半球壳内部的电位 ，并说明镜像法的理论基础。z图 2 （第五题用图） 解首先考虑一个半径为 a 的接地导体球壳，其内部在距球心距离为 d 处放置 一个点电荷 Q 的等效问题，如下图所示。相应的等效问题为去掉导体球壳， 在距球心距离为 b 处放置一个镜像点电荷

8、 Q， 镜像电荷与原电荷共同作用在球壳位置处产生的电位为零，即4Q0r11 4Q 0r1 20 (1) (2分)其中 r1和 r2为球面上一点到 Q和 Q的距离。若选择球面上的 P点分别为离原电荷最远和最近处，则有Q14 0 a d4Q a b 04 0 a b（2） （1 分）求解(2)和(3)，可得Q 1 Q 14 0 a d 4 0ba0 (3) ( 1 分)QdaQ(4)1 分)(5)1 分)2 ba d由此，图 2 中的等效问题如下图所示。aQ d2 adQd0adQ2 adaQzxd为了同时满足球壳和导体平面的电位为零，则在 (0,0,a2/d)的位置处放置镜像电 荷-aQ/d(1

9、 分)，在(0,0,-d)的位置处放置镜像电荷 -Q(1分)，以及在(0,0,-a2/d) 的 位置处放置镜像电荷 aQ/d(1 分)。这三个镜像电荷与原电荷一起在半球壳内部 产生的电位为4 0 r 1 4 0d rQ 1 aQ 1 Q 1 aQ 1(3 分)2 4 0r 3 4 d0 r 4其中r1x2 y 2 (z d) 2 (0 z a,x2 y2 z2 a2)r3x2 y2 (z d)2(z)2六、（12 分），如图 3 所示，一个右旋圆极化的均匀平面电磁波由空气（ z0）的相对磁导率 r 1 ，若在空气（ z0）中反射波是一 个线极化波，求（1）工作频率 f ，入射角 i ，以及参数

10、 b；（2）理想介质的相对介电常数 r ；媒质2（3）透射波的传播矢量 kt 。媒质1入射波0反射波透射波图 3 （第六题用图）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）解1）入射波的传播矢量为ki 2 （ 3a?x a?z） 则传播常数为ki 4 rad m 考虑到在空气中传播，则频率为ki c8f i 6 180 Hz2 进一步，传播方向单位矢量为1a?x 1a?zx 2 z则与 z 轴夹角的方向余弦为cos i k?i a?z 1i i z 2 从而入射角为i 60由于 （a?x 3a?z） k?i 0 ，以及 a?y k? 0，则可将入射波电场矢量分解为两个分量由于它是圆

11、极化波，则 又因为是右旋圆极化波，并考虑到（a?x 3a?z ） ba?y3ba?x ba?z与 k? 平行，则2）由于反射波是一个线极化波，则入射角应为布儒斯特角tan i r（1 分）则可得r31 分)（3）由 Snell 折射定律可知sin t sin i 0 0 1（1 分）t i 0 0 r 2则折射角为t 30o 透射波的传播常数为kt ki r =4 3 rad m（1 分）则透射波的传播矢量ktkt（a?x sin ta?z cos t） 4 3（a?x 1a?z3）a?x23a?z6（1 分） 七、( 18分)如图 4 所示，区域 I (z 0)为理想介质， 其相对介电常数

12、r 5与相对磁导率 r 20 。区域 I 中入射波电场强度的瞬时 值为Ei(r,t) a?x60cos(2 108t kz) a?y 60sin(2 108t kz)求(1) 传播常数 k以及区域 I 中的波长 ；(2) 反射电磁波电场强度 Er 和透射电磁波电场强度 Et 的复数值表达式；(3) 反射电磁波磁场强度 H r和透射电磁波磁场强度 Ht 的瞬时值表达式 Hr(z,t) 和 Ht(z,t) ；(4) 判断入射电磁波、反射电磁波和透射电磁波是何种极化波；(5) 计算反射平均功率密度 Sav,r 和透射平均功率密度 Sav,r 。x区域I区域II1, 12, 2入射波o图 4 （第七题

13、用图）解（ 1）入射波的频率 f 108 Hz ，考虑到在空气中传播，则传播常数在 I 区域中的波长为82 10 2k c 3 108rad s2）将入射电场表示成复数形式可得j 2 zEi(r) a?x60e j 3j 2 zja?y60 j 31 分）1 分）1 分）1 分）1 分）由于分界面是在 z=0 平面，则入射波是垂直入射到分界面上，相应的反射系数 与透射系数为21100010200321404T231 0 0 0透射波的常数为kt k r rrad s则反射电场与透射电场的复数形式为j 2 zj2 z j 2 z j 2 zEr (r )(a?x 60e 3ja?y60 3 )

14、a?x 20e 3ja?y 20 3j 20 zj 20 zj 20 zEt(r) T(a?x 60e 3ja?y60 3 ) a?x80e 3j 20 zja?y 80 33）入射波、反射波、透射波磁场强度的复数表达式为2z1j 23zj23z1 j 3Hi(r )(a?y60e 3ja?x 60 3 ) ja?x02a?y 21 e1j 2 zj2 zH r(r) 1 ( a?y20e 3ja?x 20 3 )1j3ja?x 1j 2 ze3 6a?y 11 j 20 z j 20 z 1Ht(r) 11 (a?y80e 3ja?x80 3 ) ja?x 31j 20 z 1ja?y 1 e j203zy3对应的瞬时值为4）5）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）1 分）2zi (r , t) a?x sin(2 108 t) a?ycos(2 108t)2 3 2 31 8 2 z 1 8 2 z H r(r ,t) a?x sin(2 108t) a