相似矩阵及二次型[基本功课]

1、线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 1教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 n 维向量空间是三维向量空间的直接推广维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义但是只定义 了线性运算了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了它们构成了 三维空间丰富的内容三维空间丰富的内容. 5.1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性 我们希望把这两个概念推广到我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中维向量空间中. 在解析几何中在解析几何中,我们曾定义了向量的内积我们曾定义了向量的内积(数量积数量积) ),cos(y

2、xyxyx 建立标准的直角坐标系后建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积可用向量的坐标来计算内积 设设 TT yyyyxxxx),(,),( 321321 则则 332211 yxyxyxyx 2教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 维向量维向量设有设有n T n T n yyyyxxxx),(,),( 2121 xyyxyxyxyxyx TT nn 2211 , 令令 . ,的的与与为为向向量量称称yxyx内积内积 3教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 ;,)1(xyyx ;,)2(yxyx ;,)3(zyzxzyx . 0,0, 0,)4( x

3、xxxx有有时时且当且当 著名的著名的Cauchy-Schwarz不等式不等式 , 2 yyxxyx 即即 n i i n i i n i ii yxyx 1 2 1 2 2 1 4教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 非负性非负性. 1 齐次性齐次性. 2 三角不等式三角不等式. 3 , 22 2 2 1n xxxxxx . 或或的的维维向向量量为为称称xnx长度长度 范数范数 ; 0,0; 0,0 xxxx时时当当时时当当 ;xx .yxyx (三角不等式用三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证不等式易证,见见P114) 5教书育人 线性代数线性代数 河南工程学

4、院河南工程学院 . ,11为为称称时时当当xx 单位向量单位向量 yx yx yx , arccos,0,02 时时当当 的的与与维向量维向量称为称为yxn夹角夹角. . ,0,yxyx与与称向量称向量时时当当 正交正交 . 显然, 0 与任何向量都正交与任何向量都正交则则若若xx 6教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 若一个不含零向量的向量组若一个不含零向量的向量组 中的中的 向量两两正交向量两两正交 ，则称该向量组为，则称该向量组为 正交向量组正交向量组又如果这些向量都是单位向量又如果这些向量都是单位向量 , 则称该向量组为则称该向量组为规范正交向量组规范正交向量组. 若

5、该向量组是一个向量空间若该向量组是一个向量空间 V 的基的基, 又分别称又分别称 为向量空间为向量空间 V 的的正交基正交基和和规范正交基规范正交基. )(0,ji ji r , 21 1 i 7教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 , 00 2 1111 T 由由.0 1 从而有从而有 . 0 2 r 同理可得同理可得 ., 21 线性无关线性无关故故 r 使使设有设有又又 r , 21 0 2211 r 得得左左乘乘上上式式两两端端以以, 1 a T 0 111 T , r 21 设设 是正交向量组是正交向量组 正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关. 8教书育人 线性代

6、数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例1 0 02 0 0 0 321 321 2 1 Ax xxx xxx x x T T 解解这相当于要求方程组的非零解这相当于要求方程组的非零解 121 111 2 1 T T A 求得基础解系求得基础解系(即为所求即为所求)为为 1 0 1 3 1 2 1 , 1 1 1 21 已知已知 中两个正交向量中两个正交向量 3 R 试求试求 使使 构成构成 3 321 , 的一个正交基的一个正交基. 3 R 9教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例2(例例1的一般化的一般化, 也称也称正交基的扩张定理正交基的扩张定理) 设设 是是 中的

7、一个正交向量组中的一个正交向量组, , 证明必可找到证明必可找到 个向量个向量 使使 构成构成 的正交基的正交基. r , 21 n R nr rn nr , 1 n , 21 n R 都正交都正交. 只需证必可找到只需证必可找到 使使 与与 0 1 r 1 r r , 21 记记 T r T A 1 nrAr )(0 Ax 必有非零解必有非零解. 其任一非零解即为所求的其任一非零解即为所求的 1 r 10教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 设设 是一组线性无关的向量是一组线性无关的向量, 它就是它它就是它 生成的向量空间生成的向量空间 r , 21 ),( 21r L 的一

8、个基的一个基(坐标系坐标系), 如何在向量空间如何在向量空间 L 中建立正交的中建立正交的 基基(坐标系坐标系)? 这个问题就是这个问题就是 找与找与 等价的正交向量组等价的正交向量组 r , 21 r , 21 11教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 以三个向量以三个向量 为例为例, 从几何直观上去求从几何直观上去求.321 , 1122 1 2 11 1 2 11 上式两边与上式两边与 做内积做内积, 注意注意 得得 1 0, 21 , , 11 21 1 从而从而 1 11 21 22 , , 12教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 我们已求得我们已求

9、得 已正交已正交, 再求构造再求构造 21, 3 1 2 3 11 22 2211 3 )1( 221133 (1)式两边与式两边与 内积内积, 注意注意 1 0, 3121 , , 11 31 1 得得 (1)式两边再与式两边再与 内积内积, 类似可得类似可得 2 , , 22 32 2 2 22 32 1 11 31 33 , , , , 从而从而 13教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 11 , , , 1 11 21 22 1 11 1 2 22 2 1 11 1 , , , , , , r rr rrrr rr 2 22 32 1 11 31 33 , , , ,

10、施密特正交化方法施密特正交化方法 设设 线性无关线性无关 r , 21 令令 则则 两两正交两两正交, 且与且与 等价等价.r , 21 r , 21 ? 111 / 222 / rrr / 是与是与 r , 21 等价的规范正交组等价的规范正交组 14教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 两两正交两两正交, 可用数学归纳法严格证明可用数学归纳法严格证明. r , 21 与与 等价等价, 这是因为这是因为(只需看三个只需看三个)r , 21 11 11222 r 32231133 rr 11 21122 r 22311333 rr 100 10 1 , 23 1312 3213

11、21 r rr 1 23 1312 321321 100 10 1 , r rr 15教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例3 TTT aaa)1, 1 , 5 , 3(,)4 , 0 , 1, 1(,)1 , 1 , 1 , 1( 321 T ab1 , 1 , 1 , 1 11 1 11 21 22 , , b bb ab ab TT 1 , 1 , 1 , 1 1111 411 4 , 0 , 1, 1 T3 , 1, 2, 0 求求 的一个规范正交基的一个规范正交基, 并求向量并求向量 ),span( 321 aaa 2 22 32 1 11 31 33 , , ,

12、 , b bb ab b bb ab ab T TT 3 , 1, 2, 0 14 14 1 , 1 , 1 , 1 4 8 1, 1 , 5 , 3 T 0 , 2, 1 , 1 解解 易知易知 线性无关线性无关, 用施密特正交化方法用施密特正交化方法 321 ,aaa 再单位化再单位化 1 1 1 1 2 1 1 1 1 b b 3 1 2 0 14 1 2 2 2 b b 0 2 1 1 6 1 3 3 3 b b T aaa)4 , 2 , 5 , 5( 321 在该规范正交基下的坐标在该规范正交基下的坐标. 16教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 当建立规范正交基当

13、建立规范正交基(相当于标准直角坐标系相当于标准直角坐标系)后后, 求一个向量求一个向量 的坐标就特别方便的坐标就特别方便 332211 两边分别与两边分别与 内积内积 321 , , 332211 (这里就不具体计算了这里就不具体计算了) 17教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 定理定理 A 是正交矩阵是正交矩阵 EAAT T AA 1 A 的列组是规范正交组的列组是规范正交组 A 的行组是规范正交组的行组是规范正交组 ,为为则称则称满足满足阶方阵阶方阵若若AEA A An T 正交矩阵正交矩阵. 18教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 E n T n T

14、n T n n TTT n TTT 21 22212 12111 nji ji ji ijj T i , 2 , 1, , 0 , 1 当当 当当 , 21n A 记记 E n T n T T , 21 2 1 EAA T 证证 (只证第三条只证第三条) 19教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 (1) A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 和和 都是正交矩阵；都是正交矩阵； 1 A A (2) A，B都是正交矩阵，则都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；也是正交矩阵； (3) A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ；1 A (4) P是正交矩阵，则是正交矩阵，则 ， n RxxPx , 即正

15、交变换保持向量的长度不变。即正交变换保持向量的长度不变。 20教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 21教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 5.2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 如果存在可逆矩阵如果存在可逆矩阵 P 使使(1)式成立式成立, 此时称方阵此时称方阵 A 是是 可可(相似相似)对角化的对角化的. , 11n P 记记, 则则 ,)1( 1111nn A 1 2 n ), 1(niA iii 本章主要讨论本章主要讨论: 对于方阵对于方阵 A 能否找到能否找到(如何找如何找)可逆矩阵可逆矩阵 P APP 1 1 2 n (1) 使得使得

16、 满足上式的满足上式的 称为称为 A 的的特征值特征值, 称为称为 A 的对应于特的对应于特 征值征值 的的特征向量特征向量. i i i 22教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 满足满足 设设 A 是是 n 阶方阵，如果数阶方阵，如果数 和和 n 维维非零非零列向量列向量 x )1(xAx 则称则称 为为 A 的的特征值特征值，非零向量，非零向量 x 称为称为 A 的对应于的对应于 ( (或属于或属于) )特征值特征值 的的特征向量特征向量。 )2(0)( xAE 把把(1)改写为改写为 是是 A 的特征值的特征值0 AE 使得使得(2)有非零解有非零解 (2)的所有非零解

17、向量都是对应于的所有非零解向量都是对应于 的特征向量的特征向量. 23教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 nnnn n n aaa aaa aaa AEf 21 22221 11211 )( n n n nnnn cccc)1()1( 1 12 2 1 1 (注：第一章已求得注：第一章已求得 ， ) nn aaac 22111 Acn 称为称为 A 的的特征多项式特征多项式，而，而 称为称为 A 的的特征方程特征方程。0)( AEf 由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根个根(重根按重根按 重数计算重数计算)。因此，。因此，n

18、阶方阵在复数范围恰有阶方阵在复数范围恰有 n 个特征值。个特征值。 本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内本章关于特征值、特征向量的讨论永远假设在复数范围内 进行。进行。 24教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 nnn aaa 221121 )1( A n 21 )2( )()()( 21n AEf 设设 n 阶方阵阶方阵 特征值为特征值为)( ij aA n , 21 , 则则 n nn n n 21 1 21 )1()( Aaaa nn nn n )1()( 1 2211 又又 25教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例1求矩阵求矩阵 的特

19、征值的特征值. 01 10 A 01 1 1 2 AE 两个特征值为两个特征值为 1,1 21 问问: 特征向量是实的还是复的特征向量是实的还是复的? 26教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例2 nn n n a aa aaa 222 11211 A 求求 A 的特征值的特征值. AE nn n n a aa aaa 222 11211 0)()( 2211 nn aaa 因此因此, n 个特征值为个特征值为 nnn aaa , 222111 问问：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？：对角矩阵，下三角矩阵的特征值为？ 27教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院

20、 122 113 221 B例例3 966 636 663 A 求矩阵求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 966 636 663 AE 解解 （对矩阵（对矩阵A） 101 636 663 3 100 630 663 331 cc 033 2 303 636 663 13 rr 28教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 3, 3 321 A 的特征值为的特征值为 对于对于 ，解方程组，解方程组3 1 0)( 1 xAE 000 110 101 1266 606 660 3 1 AEAE 32 31 xx xx 同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系

21、，得基础解系 1 3 x T )1, 1 , 1( 1 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为 1 )0( 111 kk 966 636 663 A 29教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 对于对于 ，解方程组，解方程组3 32 0)( 2 xAE 000 000 111 666 666 666 3 2 AEAE 同解方程组为同解方程组为 ，令，令 321 xxx 得基础解系得基础解系 1 0 , 0 1 3 2 x x ,)0 , 1, 1( 2 T T )1, 0 , 1( 3 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特

22、征向量为3 32 3322 kk ),( 32 不同时为零不同时为零kk 966 636 663 A 30教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 （对矩阵（对矩阵B） 122 113 221 B 122 113 221 BE 123 113 223 321 ccc 300 130 221 3 121 111 221 3 033 2 3, 3 321 B 的特征值为的特征值为 31教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 对于对于 ，解方程组，解方程组3 1 0)( 1 xBE 000 110 101 422 143 224 3 1 BEBE 32 31 xx xx 同

23、解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系1 3 x T )1 , 1 , 1( 1 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为 1 )0( 111 kk 122 113 221 B 32教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 对于对于 ，解方程组，解方程组3 32 0)( 2 xBE 000 210 101 222 123 222 3 2 BEBE 32 31 2xx xx 同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系1 3 x T )1 , 2, 1( 2 因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有

24、特征向量为3 32 )0( 222 kk 122 113 221 B 33教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 (1) 向量向量 满足满足 , 0 A 0 是是 A 的特征向量吗？的特征向量吗？ (2) 实矩阵的特征值实矩阵的特征值(特征向量特征向量)一定是实的吗一定是实的吗? (3) 矩阵矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值可逆的充要条件是所有特征值_。 n AAE 21 0 或或 ，A 有一个特征值为有一个特征值为_。0 EA (4) ，A 有一个特征值为有一个特征值为_。0 A EA 可逆可逆, A 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_。34教书育人 线性代数线性代数

25、河南工程学院河南工程学院 (6) 一个特征值对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量? 一个特征向量对应几个特征值一个特征向量对应几个特征值?(后面证明后面证明) (7) A 的各行元素之和均等于的各行元素之和均等于2,则则 A 有一个特征值有一个特征值 是是_, 它对应的特征向量是它对应的特征向量是_。 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 333231 232221 131211 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aaa aaa aaa (5) A 的特征值与的特征值与 的特征值有什么关系？的特征值有什么关系？ T A TT AEAEAE )( 特征

26、向量的个数特征向量的个数=_。 是是 的一个特征值，它对应的最大无关的的一个特征值，它对应的最大无关的 0 nn A )r( 0 AEn 35教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例4证明：一个特征向量只能对应一个特征值。证明：一个特征向量只能对应一个特征值。 证证 假设假设 A 的特征值的特征值 和和 对应的特征向量都是对应的特征向量都是 1 2 则则 21 A 0)( 21 21 0 36教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例5 设设 是方阵是方阵 A 的特征值，对应的一个特征向量的特征值，对应的一个特征向量 x xkxkAxAx)()()1( xxA

27、xxAAxAxA 22 )2( 证明证明 (1) 是是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。 k (2) 是是 的特征值，对应的特征向量仍为的特征值，对应的特征向量仍为 x。 2 2 A (3) 当当 A 可逆时，可逆时， 是是 的特征值，对应的的特征值，对应的 1 1 A 特征向量仍为特征向量仍为 x。 证证 xxAxAxAAxA 1 )3( 1111 37教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 ：设设 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， 则则 是是 的特征值。的特征值。 k k A m m aaaa 2 210 )( m m AaAaAaE

28、aA 2 210 )( 的特征值。的特征值。如果如果 A 可逆，则可逆，则 m m k k aaaaa 10 1 1 )( m m k k AaAaEaAaAaA 10 1 1 )( 的特征值。的特征值。 是是 是是 38教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例6 设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值为的三个特征值为2 , 1, 1 求求EAA23 解解 A的特征值全不为零，故的特征值全不为零，故A可逆。可逆。 11 2 AAAA, 2 321 A EAAEAAA23223)( 1 的三个特征值为的三个特征值为)3 , 2 , 1(232)( 1 i iii 计算得计算得3)2(

29、, 3)1(, 1)1( 93)3()1(23 EAA因此，因此， 39教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例7 ，设设OEAA 23 2 证明证明A的特征值只能取的特征值只能取1或或2. 设设 是是A的特征值，则的特征值，则 EAAA23)( 2 的特征值为的特征值为 23)( 2 由于由于 是零矩阵，其特征值全是零，故是零矩阵，其特征值全是零，故)(A 21023)( 2 或或 40教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 41教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 5.3 相似矩阵相似矩阵 设设A，B都是都是n阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有

30、可逆矩阵P，使，使 BAPP 1 则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵，或说矩阵，或说矩阵A与与B相似。对相似。对A进行进行 运算运算 称为对称为对A进行进行相似变换相似变换，可逆矩阵，可逆矩阵P称为称为 把把A变成变成B的相似变换矩阵。的相似变换矩阵。 APP 1 定义定义 特别地，如果特别地，如果A与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称A是是可对可对 角化的角化的。 42教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 性质性质 )tr()tr(BA (1) 相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系; (2) A与与B相似相似, 则则r(A)=r(B); (3) A与与B相似相似

31、, 则则 ; 从而从而A与与B有相同的特征值有相同的特征值; (4) A与与B相似相似, 则则 ; (5) A与与B相似相似, 则则 ; (6) A与与B相似相似, 则则 与与 相似相似; 其中其中 (7) A与与B相似相似, 且且A可逆可逆, 则则 与与 相似。相似。 BEAE BA )(A )(B 1 A 1 B m mt ataat 10 )( 43教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例1 x A 10 100 002 1 2 yB (1) 与与相似，相似， 求求x与与y和和A的特征值。的特征值。 113 22 002 aA b B2 1 (2) 与与 相似，相似，

32、求求a与与b。 解解 (1) , )tr()tr(BA BA y yx 22 122 1 0 y x A的特征值等于的特征值等于B的特征值为：的特征值为：1,1,2 44教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 2 ba 2, 0 ba (2)2)tr()tr( baBA 2 baBA AaAAEfA )4()(tr)( 23 BEfB )(BbB )2()(tr 23 113 22 002 aA b B2 1 45教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 , 21n P 记记 , 2121nn A 1 2 n ), 1(niA iii APP 1 1 2 n 下面讨论

33、对角化的问题下面讨论对角化的问题 PAP 1 2 n 这说明这说明：如果：如果A可对角化，它必有可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 就是就是P的的n个列；反之，如果个列；反之，如果A有有n个线性无关的特征向量，把它个线性无关的特征向量，把它 拼成矩阵拼成矩阵P(可逆可逆)，把上面过程逆过来即知，把上面过程逆过来即知A可对角化。可对角化。 , 221121nnn AAA n阶矩阵阶矩阵A可对可对 角化的充要条角化的充要条 件是件是A有有n个线个线 性无关的特征性无关的特征 向量。向量。 46教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 不同特征值对应的线性无关

34、的特征向量不同特征值对应的线性无关的特征向量 合并以后仍是线性无关的。合并以后仍是线性无关的。 即设即设 是矩阵是矩阵A的不同的特征值，的不同的特征值， t , 21 又设又设 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为 1 )1( 1 )1( 2 )1( 1 , i 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为 2 )2( 2 )2( 2 )2( 1 , i 对应的无关特征向量为对应的无关特征向量为 t )()( 2 )( 1 , t it tt )()( 1 )2( 2 )2( 1 )1( 1 )1( 1 , t it t ii 则则 仍是线性无关的。仍是线性无关的。 47教书育人 线性代数线性

35、代数 河南工程学院河南工程学院 )1(0 )2( 22 )2( 11 ii ll )1( 11 )1( 11ii kk 证证 (只证两个不同特征值的情况只证两个不同特征值的情况)设设 上式两边左乘上式两边左乘 A 得得 )2(0)( )2( 22 )2( 112 ii ll )( )1( 11 )1( 111ii kk )2()1( 2 0)( )1( 11 )1( 1112 ii kk 再由再由 线性无关得线性无关得 )1( 1 )1( 2 )1( 1 , i 0 11 i kk 类似可得类似可得0 21 i ll 由假设由假设 得得 21 0 )1( 11 )1( 11 ii kk 48教

36、书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 n 阶矩阵阶矩阵 A 如有如有 n 个不同的特征值，则它个不同的特征值，则它 有有 n 个线性无关的特征向量，从而个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。一定可对角化。 49教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例1 966 636 663 A(续第续第2节例节例3, 首先看矩阵首先看矩阵A) AE 233 , 3 1 3 32 321 , 线性无关，线性无关，由上面定理，由上面定理， 求特征值求特征值 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量， 即求即求 的基础解系的基础解系0)( xAE i T )1, 1 ,

37、1( 1 3 1 ,)0 , 1, 1( 2 T T )1, 0 , 1( 3 3 32 50教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 如有如有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,把它们拼成矩阵把它们拼成矩阵P(P可逆可逆) 令令 101 011 111 , 321 P 写出对角化形式写出对角化形式 则则 3 3 3 1 APP 问问： 如果如果 , 312 P令令 3 3 3 1 APP，则，则 对吗？对吗？ 51教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 122 113 221 B BE 233 3 1 T )1 , 1 , 1( 1 3 32 T )1 ,

38、2, 1( 2 (这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量这是二重根，但只有一个线性无关的特征向量) 对于矩阵对于矩阵B 不存在三个线性无关的特征向量。因为对不存在三个线性无关的特征向量。因为对B的任的任 何一个特征向量何一个特征向量 , 要么是属于要么是属于 的的, 此时与此时与 相关；要么是相关；要么是 属于属于 的的, 此时与此时与 相关。相关。 3 1 2 1 2 因此，因此，B是不可对角化的。是不可对角化的。 (再看矩阵再看矩阵B) 52教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 t n t nn AEf)()()()( 21 21 ), 2 , 1()r(tiAEns i

39、i 设设 的所有不同的特征值为的所有不同的特征值为 t , 21 nn A 则则), 2 , 1(1tins ii 注注： 就是就是 的重根数，称之为的重根数，称之为 的的(代数代数)重重 数数， 就是就是 对应的最大无关特征向量的个数，称对应的最大无关特征向量的个数，称 之为之为 的的几何重数几何重数。 i n i i i s i i 该定理说明：该定理说明： 。如果是单。如果是单 重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。重特征值，它有一个且仅有一个无关的特征向量。 53教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 证证 (参考参考) 1 设设 对应的最大无关特征向量为对应的最大

40、无关特征向量为 1 , 21s 把上面特征向量扩充为把上面特征向量扩充为 n 个线性无关的向量。个线性无关的向量。 ns , 1 21 则则 可逆。可逆。, 21n P APP 1 1 s C 1 1 O 因因C与与A特征值相同，而上式说明特征值相同，而上式说明 C 有特征值有特征值 ，其，其 重数重数 至少是至少是 。即。即 1 1 n 1 s 11 ns 。证毕。证毕。 54教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 t n t nn AEf)()()()( 21 21 ), 2 , 1()r(tiAEnsn iii n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是A的每

41、个的每个 特征值的代数重数等于它的几何重数。特征值的代数重数等于它的几何重数。 即：即： 设设 t , 21 互不同，此时互不同，此时nnnn t 21 ), 2 , 1()r(tinnAE ii 或或 则则 A可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 亦即：亦即： 的重数的重数 恰好等于它对应的最大无关特征恰好等于它对应的最大无关特征 i i n 向量的个数。向量的个数。 55教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 ), 2 , 1()r(tiAEnsn iii 证证 (充分性充分性) 设设 个，它们仍是线性无关的，故可角化。个，它们仍是线性无关的，故可角化。 把每个把每个 对

42、应的最大无关特征向量合并后，共有对应的最大无关特征向量合并后，共有 i nnnnsss tt 2121 (必要性必要性) 设设A可对角化可对角化 APP 1 1 1 2 2 t t 2 n 1 n 56教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 APPEPAEP 1 11 1 )( 0 0 21 21 t 1 t 1 1 n 0 1 个个nn 11 1 1 )(r)r(nnPAEPAE 111 )r(sAEnn 57教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例2 001 11 100 xA 问问 x 为何值时，为何值时，A 可对角化？可对角化？ 1 1 )1( 01 1

43、1 10 xAE 2 )1)(1( 1 1 是单重根，恰有一特征向量是单重根，恰有一特征向量(不需讨论不需讨论)。 1 32 是二重根，是二重根，A可对角化可对角化 123)r( 2 AE 000 100 101 101 01 101 xxAE 1 x 58教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例3 100 , 340 430 241 AA求求 提示：提示：A 可对角化可对角化 5 5 1 1 APP .,)( 312112 APPPPPPA 1 PPA 59教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 60教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 5.4

44、 (实实)对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化 对称矩阵不同特征值对应的特征向量对称矩阵不同特征值对应的特征向量 必正交。必正交。 对称矩阵的特征值必为实数。对称矩阵的特征值必为实数。 从而特征向量可取到实的。从而特征向量可取到实的。 证证 21222111 , AA 21121111 , TTTT AA 0)(, 2112211212 TTT 0 21 T 61教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 对称矩阵必可正交对角化。对称矩阵必可正交对角化。 即设即设A是对称矩阵，则存在正交矩阵是对称矩阵，则存在正交矩阵Q 使得使得 AQQAQQ T1 1 2 n 对称矩阵特征值的重数必等于

45、其对称矩阵特征值的重数必等于其 对应的最大无关特征向量的个数。对应的最大无关特征向量的个数。 iiii nnAEAEnn )r()r( 62教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例1 011 101 110 A 把对称矩阵把对称矩阵 正交对角化。正交对角化。 :求特征值。求特征值。 11 11 011 11 11 11 |21 rr AE 11 11 011 )1( 21 111 001 )1( 2 )1)(2( , 2 1 1 32 (特征值必都是实数特征值必都是实数) 63教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 :求线性无关的特征向量。求线性无关的特征向量。

46、 对对 ，解方程组，解方程组2 1 0)2( xAE ?)2r( AE 求得基础解系求得基础解系(即无关特征向量，即无关特征向量，几个向量？几个向量？) 1 1 1 1 000 110 101 211 121 112 2AE r 64教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 1 32 对对 ，解方程组，解方程组0)( xAE ?)r( AE 000 000 111 111 111 111 AE r 求得基础解系求得基础解系(即无关特征向量，即无关特征向量，几个向量？几个向量？) 1 0 1 , 0 1 1 32 1 1 1 1 前面的前面的 ?, 21 ?, 31 ?0, 32 6

47、5教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 :检验重特征值对应的特征向量是否正交，检验重特征值对应的特征向量是否正交， 如果不正交，用施密特过程正交化，再把如果不正交，用施密特过程正交化，再把 正交的特征向量单位化。正交的特征向量单位化。 1 0 1 , 0 1 1 32 22 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 0 1 1 , , 2 22 32 33 ?0, 312132 检查检查 还是特征向量吗？还是特征向量吗？ 32, 66教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 :把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵。 单位化：单位化

48、： 1 1 1 3 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 6 1 3 3 3 则则 1 1 2 1 APPAPP T 令令 , 3, 21 P 6 2 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 0 67教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例2设设3阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特征值为, 3, 6 321 与特征值与特征值 对应的特征向量为对应的特征向量为6 1 ,)1 , 1 , 1( 1 T p 求求A。 提示提示：设对应于：设对应于 的无关特征向量为的无关特征向量为3 32 , 21 pp 则则, 0, 0 3121 pppp

49、TT 说明说明 21, p p是方程组是方程组 )1(0 1 xpT 的两个无关的解的两个无关的解(基础解系基础解系)，因此，上面方程组的，因此，上面方程组的 任意两个无关的解都是对应于任意两个无关的解都是对应于 的特征向量。的特征向量。 32 解解(1)可求得可求得 再正交化单位化构成正交矩阵再正交化单位化构成正交矩阵Q , 32 pp TT QQAAQQ 68教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 69教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 5.5 二次型其次标准形二次型其次标准形 引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？ )1(10

50、32 22 yxyx 6 , )cos( )sin( )sin( )cos( yxy yxx 作旋转变换作旋转变换 代入代入(1)左边，化为：左边，化为： 1 20 4 10 2 1 2 5 22 22 yx yx 见下图见下图 70教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 x y x y 71教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 322331132112 2 333 2 222 2 111321 2 22 , xxaxxaxxa xaxaxaxxxf 称为称为n维维(或或n元元)的的二次型二次型. n xxx, 21 含有含有n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐

51、次函数 )( ijji aa n ji jiijn xxaxxxf 1, 21 , 三维的二次型为三维的二次型为 再改写：再改写： 关于二次型的讨论永远关于二次型的讨论永远在实数范围内进行！在实数范围内进行！ 72教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 3 1, 321 , ji jiij xxaxxxf 3 1 3 1ij jiji xax 3 1 332211 )( i iiii xaxaxax 333232131 323222121 313212111 321 , xaxaxa xaxaxa xaxaxa xxx 3 2 1 333231 232221 131211 321

52、 , x x x aaa aaa aaa xxx 对称对称 73教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 一般地，对于一般地，对于n维的二次型维的二次型 )( ijji aa n ji jiijn xxaxxxf 1, 21 ,AxxT 上式称为上式称为二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示。也常记为。也常记为 nnnnn n n x x x x aaa aaa aaa A 2 1 21 22221 11211 ,(对称对称)其中其中 AxxfAxxxf TT 或或)( 74教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 任给一个对称矩阵任给一个对称矩阵A，令，令 可唯一地可唯一地

53、 确定一个二次型确定一个二次型 Axxxf T )( Axxxf T )( 反之，任给一个二次型反之，任给一个二次型 f 可找到对称矩阵可找到对称矩阵A使得使得 . 而且对称矩阵而且对称矩阵A是唯一是唯一. 因为因为, 设设 xTAx = xTBx (A,B都是对称矩阵都是对称矩阵), 即即(以三维为例以三维为例) 322331132112 2 333 2 222 2 111 2 22xxaxxaxxaxaxaxa 322331132112 2 333 2 222 2 111 2 22xxbxxbxxbxbxbxb 令令 类似类似,)0 , 0 , 1( 1111 bax T 33332222

54、 ,baba 令令 1212122211122211 22)0 , 1 , 1(babbbaaax T 23231313 ,baba 类似类似 75教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 对称矩阵对称矩阵A叫做叫做二次型二次型 f 的矩阵的矩阵; f 叫做叫做对称矩阵对称矩阵A的二次型的二次型; 对称矩阵对称矩阵A的秩叫做的秩叫做二次型二次型 f 的秩的秩.记作记作r(f). 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关 系系 这说明：这说明： Axxxf T )( 76教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例1 写出下面二次型写出下

55、面二次型 f 的矩阵表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。 解解 323121 3 3 2 2 2 1 1410695xxxxxxxxxf Axx x x x xxx T 3 2 1 321 975 753 531 , Bxx x x x xxxxxxf T 3 2 1 321321 987 654 321 ,),( 2)r()r( Af ： 在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称, A唯一吗唯一吗?Axxf T 77教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 只含平方项的二次型只含平方项的二次型 22 22 2 11nn xkxkxkf nn n x x

56、k k xx 11 1 , 称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。 平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形0 , 1, 1 22 1 22 1rpp xxxxf (：这里规范形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排 在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。的项。与书上略有不同。) 称为二次型的称为二次型的规范形规范形。 78教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 )1(, 1, 21 n ji jiijn xxaxxxf 对给定的二次型对给定的二次型 找可逆的线性变换找可逆的线性变换(坐标变换坐标变换)： nn

57、nnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 2211 22221212 12121111 )(可逆可逆其中其中 ij cC 代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形 22 22 2 11nn ykykykf 称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为标准形。 79教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 ： Axxxf T )( Cyx 可逆可逆C )()(CyACy T yACCy TT )( DyyT (其中其中D为对角矩阵为对角矩阵) 注意到注意到 与与D都是对称矩阵，而二次型与对称矩都是对称矩阵，而二次型与对称矩 阵是一一对应关系

58、，故阵是一一对应关系，故“化二次型为标准形化二次型为标准形”又等价又等价 于于 ACC T 对给定的对称矩阵对给定的对称矩阵A，找可逆矩阵，找可逆矩阵C，使，使 为对角矩阵为对角矩阵DACC T ：这件事情能够做到吗？以前学过吗？：这件事情能够做到吗？以前学过吗？ 80教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 总有总有任给二次型任给二次型, 1, jiij n ji jiij aaxxaf , 22 22 2 11nn yyyf .)(, 21 的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中 ijn aAf 化为标准形化为标准形使使正交变换正交变换fPyx, 81教书育人 线性代数线性代

59、数 河南工程学院河南工程学院 用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型为标准形的步骤 ;)( . 1一一定定是是对对称称的的的的矩矩阵阵求求二二次次型型Af ; ),diag( . 2 21 其方法同上一节其方法同上一节 使使求正交矩阵求正交矩阵 n T APPP . , . 3 22 11nn yyf fyPx 的的标标准准形形为为则则得得作作正正交交变变换换 82教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 例例2 ,把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换Pyx , 0111 1011 1101 1110 A 4332413121 22222xxxxxxxxxxf

60、化为标准形。化为标准形。 111 111 111 111 AE 111 111 111 1111 )1( i cc 1 4 , 3 , 2 i 83教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 1000 2120 2210 1111 )1( 120 210 111 )1( 2 1 rri 4 , 3 , 2 i 展开展开按按 4 r )3()1( 12 21 )1( 32 1, 3 4321 得基础解系得基础解系解方程解方程时时当当0)3(,3 1 xAE 1 1 1 1 1 单位化单位化 1 1 1 1 2 1 1 p 84教书育人 线性代数线性代数 河南工程学院河南工程学院 0)(