矩阵与数值分析学习指导和典型例题分析

1、第一章 误差分析与向量与矩阵的范数一、内容提要本章要求掌握 绝对误差、相对误差、有效数字、误差限 的定义及其相互关系；掌握 数 值稳定性 的概念、设计函数计算时的一些基本原则和误差分析 ；熟练掌握向量和矩阵范数 的 定义及其性质。1 .误差的基本概念和有效数字1) .绝对误差和相对误差的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，则 称x a为近似值a的绝对误差，简称x a为误差.当x 0时，=称为a的相对误差.在实际运算中，精确值 x往往是未知的，所x a以常把匚作为a的相对误差.2) .绝对误差界和相对误差界 的基本概念设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，如果有常数 ea，使得

2、称ea为a的绝对误差界或简称为误差界.称a是a的相对误差界此例计算中不难发现，绝对误差界和相对误差界并不是唯一的，但是它们越小，说明a近似x的程度越好，即a的精度越好.3) .有效数字设实数x为某个精确值，a为它的一个近似值，写成ka 10O.ai a2 an它可以是有限或无限小数的形式,其中ai(i 1,2,)是0,1,9中的一个数字，q 0,k为整数.如果x a - 10kn 2则称a为x的具有n位有效数字的近似值.如果a有n位有效数字，则a的相对误差界满足:x alal12a11014) .函数计算的误差估计如果yf(x1,x2, ,xn)为n元函数，自变量*,X2, ,Xn的近似值分别

3、为a1,a2, ,an ,f (Xi, X2 ,X) f(ai,a2, ,an)Xk(Xkaak)其中 丄_f(a1,a2, ,an),所以可以估计到函数值的误差界，近似地有Xk aXknnk 1ea如果令n 2，设x1, x2的近似值分别为a1, a2，其误差界为 咅a1x2a2f(Xi,X2, ,Xn) f(ai,a2, ,an) ea取y f(x,x2)为Xi, X2之间的四则运算，则它们的误差估计为,eai a2eaia2 ea1 ； ea1ai ea1|aea1|a22数相加或减时，其运算结果的精度不会比原始数据的任何一个精度高.对于两个数作相减运算时，由于其相对误差界:ai站ea2

4、aia2如果xi和X2是两个十分接近的数，即ai和a2两个数十分接近，上式表明计算的相对误差会很大，导致计算值 ai a2的有效数字的位数将会很少。对于两个数作相除运算时，由于其相对误差界:eaiaieaila2eai2a2a2从关系式中可以看出，如果 x2很小，即a2很小，计算值 也 的误差可能很大。 a25) .数值稳定性的概念、设计算法时的一些基本原则 算法的数值稳定性：一个算法在计算过程中其 舍入误差不增长称为数值稳定 。反之, 成为数值不稳定。不稳定的算法是不能使用的。在实际计算中应尽量避免出现两个相近的数相减 。在实际计算中应尽力避免绝对值很小数作除数。注意简化运算步骤，尽量减少运

5、算次数。 多个数相加，应把绝对值小的数相加后，再依次与绝对值大的数相加。2.向量和矩阵范数把任何一个向量或矩阵与一个非负实数联系起来，在某种意义下，这个实数提供了向量和矩阵的大小的度量。对于每一个范数，相应地有一类矩阵函数，其中每一个函数都可以看 作矩阵大小的一种度量。范数的主要的应用：一、 研究这些矩阵和向量的误差估计。二、研究矩阵和向量的序列以及级数的收敛准则。1)向量范数定义 存在Rn ( n维实向量空间)上的一个非负实值函数，记为f (x) x，若该函数满足以下三个条件：即对任意向量X和y以及任意常数R (实数域)(1)非负性 X 0 ,并且x0的充分必要条件为 X 0;(2)齐次性

6、XX|(3)三角不等式则称函数为Rn上的一个向量范数.常用三种的向量范数设任意n维向量X (X|,X2,，Xn )T，(XT为向量X的转置)，nXii 1向量的1-范数nXii 112向量的2-范数maXXi，向量的-范数般情况下，对给定的任意一种向量范数，其加权的范数可以表为lX|w W，其中W为对角矩阵，其对角元作为它的每一个分量的权系数。向量范数的连续性定理 Rn上的任何向量范数 X均为X的连续函数。向量范数的等价性定理 设| |和| |为Rn上的任意两种向量范数，则存在两个与向量X无关的正常数C1和C2,使得下面的不等式成立C1 xxC2 X ，其中 X Rn.2).矩阵范数定义 存在

7、Rn n ( n n维复矩阵集合)上的一个非负实值函数，记为f(A) A，对任意的A, B Rn n均满足以下条件:(1)非负性：对任意矩阵A均有 A 0,并且|A 0的充分必要条件为 A O；（2）齐次性：| a | in a , c ；（3） 三角不等式： |A B| |A| |冋,A,B Rnn ；（4）相容性：| AB A B , A,B Rnn，则称为Rn n上的矩阵范数。我们可定义如下的矩阵范数：m n| A maij ，矩阵的mi -范数i 1 j 11m n22A Faij ，矩阵的F -范数（Frobenius）范数。i 1 j 1（矩阵范数与向量范数 相容性定义）对于一种矩

8、阵范数| | M和一种向量范数| | V，如果对任意n x n矩阵A和任意n维向量x,满足Ax v A 皿 x v，则称矩阵范数M与向量范数| |V是相容的。3）矩阵的算子范数定理 已知Rn上的向量范数, A为nxn矩阵，定义maxAx|vJTmax1Ax v则A M是一种矩阵范数，且与已知的向量范数相容，称之为矩阵的算子范数。三种常用的矩阵的算子范数mIA1 maxa ；（列范数）11 j n i 1n| A max aij .（行范数）1 i mJj 1A 2:r max （AtA）,（谱范数）其中max（ATA）表示矩阵ATA的最大特征值。对任何算子范数| ,单位矩阵I Rn n的范数为

9、1 ,即I 1。可以证明： 任意给定的矩阵范数必然存在与之相容的向量范数；任意给定的向量范数必然存在与之相容的矩阵范数（如从属范数） 一个矩阵范数可以与多种向量范数相容（如矩阵m1范数与向量P-范数相容）;多种矩阵范数可以与一个向量范数相容（如矩阵F 范数和矩阵2 范数与向量2 范数相容）。 从属范数一定与所定义的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容却未必有从属关系。（如，|F与向量II.、 m与向量相容，但无从属关系）。 并非任意的矩阵范数与任意的向量范数相容。4）矩阵范数的性质设 为Rn n矩阵空间的一种矩阵范数，则对任意的n阶方阵A均有 （A） A 其中（A） max det I A

10、 0为方阵A的谱半径。注意：当A At时，A 2max ATAmax(A)。210 对于任给的& 0,则存在Rn n上的一种算子范数M （依赖矩阵A和常数）,使得Am （A） 对于Rnn上的一种算子矩阵范数，如果A Rn n且I A a2 a31.21 3.65 11.21 3.63 9.8121 10 2 0.00206 #若 x 3.000, a 3.100,则绝对误差x a 0.1,相对误差为:x a 0.100x 3.0000.03330.333 10若 x 0.0003000, a 0.0003100,若 x 0.3000相对误差为:a0.110 4,Xa0.000100X0.000

11、3000104,a0.3100 10a0.1103,Xa0.1 103相对误差为:4则绝对误差x则绝对误差x0.33310 1 ；x 0.3000 1040.33310 1 ；这个例子说明绝对误差有较大变化时，相对误差相同。作为精确性的度量,可能引起误解，而相对误差由于考虑到了值的大小而更有意义。绝对误差例1 . 5:在R2中用图表示下面的点集，并指出它们的共同性质。SxX11, xR2，x|x1,X R2 , S3 X X1,xR2解：这些点集的共同性质是：它们都是有界、闭的、凸的，关于原点对称的。Xi1/ PP.,1 P.其中Xi表示Xi的模.此范数称P-范数，而且l, 2范数为当p=l,

12、时的范数。而当时，有证明:事实上,max Xi1 i nmax Xi1 i n两边开P次方得n(|xP)i 1，由于Pim，故x1 . 7:证明|2为Cn空间上向量范数。证明：(1)对任给n维向量 X (X1,X2, ,Xn )T Cn ,若 x 0，则 X1,X2,Xn不全为零，故xx 。2皿Jx卜22|X0(2)对任给C , X (X1,X2, ,Xn)T Cn，则X222Xi2XnXn(3)对任给 x (xix, x)T Cn, y (%2, ,yn)T Cn则由Cauchy-Schiwatz 不等式： (x,y)J(x,x) J(y, y) |X2 |y 2可得x y2 (x y,x

13、y) (x,x)(y, x) (x, y) (y, y)x22(x,y) y2M2 iy |y|2=(X2 yj2。由向量范数的定义，| |2为Cn空间上的向量范数。All、IA| 利A2。例 1 - 8 设 A= 120 求 Ami、 AF、解: Amaiji 1 j 11247； Af312242A1max1 j n iaij1max 1, 2, 41 j nmaxaijmax 1, 6 6 ；1 i n1 j nj 11 0注意到，AtA= 02041 0 0048，令0 8 16det I AtA1000481416641 00816得,(ATA) 20,从而 A 2 max(ATA)

14、 202 5。1. 3习题1、填空题1（1）设 A 20，则|A1=5-，IA=_J_，|Af=J14, |A|2 = j725及 A 的谱3半径 （A）=3。 X (3, 0,4, 12)T R4，则 X1=1913 记x （X!,X2 ,X3）t R3，判断如下定义在 R3上的函数是否为 R3上的向量范数（填是或不是）Xi2x2 3x3 (是_)； xX12X23x3 (不是)；X Xi X2 X3(不(4)使.708.36660026534的近似值a的相对误差限不超过，应取几有效数字a =2、证明(1)1 nx(2)3、设II x|为Rn上任一范数,P Rn n是非奇异矩阵,定义=Px，

15、证明：算子范数 |a p = |PAP-1 。6、给定方程x226x10 ,利用12.961 ,求精确到五位有效数字的根。4、设A为n阶非奇异矩阵，U为n阶酉矩阵.证明:(1) U21;AU 2UA2A 25、已知e2.71828，问以下近似值Xa有几位有效数字，相对误差是多少(1) xe, xA2.7(2) X e, Xa2.7(3) Xe,Xa1000.0275e(4) x, xA 0.02718.100并求两个根的绝对误差界和相对误差界。7.在五位十进制计算机上求50100S 545494的和，使精度达到最高，其中j0.8,8.在六位十进制的限制下，分别用等价的公式(1) f(x)In(

16、xX 1) ；(2) f(x) ln(x x 1)计算f30的近似值，近似值分别为多少求对数时相对误差有多大2x9.若用下列两种方法(1) e 59 i 5i*9 5i 1J 心X； ,(2)i 0 i!X2，计算e5的近似值,问那种方法能提供较好的近似值请分析原因。10计算f（.21）6，取,21.4，直接计算f和利用下述等式99 70、2 ；计算，那一个最好11.如何计算下列函数值才比较准确。1(1)12x七对x(2)x 1N(3)N1 dx。笃,其中N充分大;x(4) 1,对 xsi nx1。习题解答1、解（1）有定义,A1 = 3, |A = 5, Af=.14, A2= .7 2.1

17、0 及(A) = 3o2 = 13。x (3, 0,4, 12)TR4，则 x 1 = 19, x = !2,|x（是）;为给定向量1-范数的加权的范数，其中取对角矩阵，W（不是）;不满足向量范数性质 1;（不是）;不满足向量范数性质1oa =o 因、708.366600265348,要是得相对误差限不超过0.1% ,即 70 a0.001 ,则101n101n160.001 时，有 n 4o2、只就（2）证明，由定义可得,max xkkXkk 12 x2max xkk 1 k从而,Xx2 nx 。3、首先，证明p Px是向量范数。事实上,1）因P Rn n是非奇异矩阵,故 x 0，Px 0，

18、故 Px 0 时，x 0，且当 x 0时，|Px 0,于是,Xp PX0当且仅当x0时,Px =0成立;2 )对R，Xp pPXPXXp ；3) x y P |pX ypxpypXpyyp。向量范数。再Apmaxx 0AXpXpmax卅x0 pxPAPmaxx 01pxPx ，Px，因P非奇异，故x与y为一对一，于是ap maxPAP 1 yIvlPAP4、证明：（1），由算子范数的定义U 2啤予當帘H Hx U Ux max2X 02HX X max x 0X 2 max2 x 0| 22证明：（2），AU 2. max AU HAU,maxUH AHAUah amaxA2，UAmax UA

19、2此结论表明酉阵具有保HhUAmax AU U Amax AH A A2。5、解:（1）由于eXa再由相对误差界的公式,(2)由于e Xa再由相对误差界的公式,2-范数的不变性。e Xa1，由有效数字定义可知,，由有效数字定义可知,xa有2位有效数字；又a1Xa有4位有效数字；又a131 3(3) 由于e Xa 10 ,由有效数字定义可知，Xa有2位有效数字；又ai 2 ,2再由相对误差界的公式，eXa-101 2 1 10 1 ；|xa|2 241 5(4) 由于e xA 10 ,由有效数字定义可知，xa有4位有效数字；又a1 2，2再由相对误差界的公式，eXa1101 4 1 10 3。|

20、xa|2 246、给定方程x226x 10,利用 16812.961，求精确到五位有效数字的根。并求两个根的绝对误差界和相对误差界。解：由二次方程求根公式知，X1 13 .168 , X2 13 . 168。若利用.168 12.961，则近似根a1 25.961具有5位有效数字，而x2 13 .168 13 12.961 0.039 a2，只有2位有效数字。若改用x213168113.168125.9610.038519 a2则此方程的两个近似根a1，a2均具有5位有效数字。它们的绝对误差界和相对误差界分别为:X2a210 11 106 ；色2 a2九10156 10 “。1007. s 5

21、45494i 150i，其中i 10.8,x-ia1丄 102 521“3.|Xl31 1015 1 10422 2550计算机作加减法时，先将相加数阶码对齐，根据字长舍入，则6 6 6s 0.54549 100.0000008 100.0000008 10100个0.000002 106 0.000002 10650个60.54549 10545494由于阶码升为545494与0.00008 10和0.00002 10在计算机上做和时,5位尾数左移变成机器零，这便说明用小数做除数或用大数做乘数时，容易产生大的舍入误差，应尽量避免.若改变运算次序，先把 100 i相加，50 i相加。再与545

22、49相加。即6s 0.80.8 22 0.54549 10100个50个0.8 10 0.2 10 50 0.54549 1062 6 6 6 61.8 100.54549 100.00018 100.54549 100.54567 105456708 .分析：由于f (x) ln(xx2 1),求f (x)的值应看成复合函数。先令y xx2 1，由于开方用六位函数表， 则y的误差为已知，故应看成z g(y) ln( y),由y的误差限y y求g(y)的误差限In(y) ln(y )。解：当x 30时求y 30y 3029.98330.016710 10.167，其具有3位有效数字。故由 z g(y) ln( y)得 g (y)若用公式f(x)y 3029.9833可见，用公式f (x)110kn10 1 310 4。曰是,y*y0.5*y0.0167令y xz z-，故y10 4ln(x ,x21),59.9833102 0.5998330.3