概率论基础复习题答案

1、填空题(含答案) 1. 设随机变量E的密度函数为p(x),贝U p(x) 0; p(x)dx =1 EE= xp(x)dx。 考查第三章 2. 设A,B,C为三个事件，则 A,B,C至少有一个发生可表示为：A B C ； A,C 发生而B不发生可表示 ABC ; A,B,C恰有一个发生可表示为： ABC ABC ABC。 考查第一章 3.设随机变量 N(0,1)，其概率密度函数为 0 (x)，分布函数为0(x)，则 1 o (0)等于，o(O)等于0.5 2 考查第三章 1 4.设随机变量E具有分布P E =叫亠,k=1,2,3,4,5，贝U EH= 3, DE = 5 2。 考查第五章 5.

2、 已知随机变量 X, Y的相关系数为 気,若 U=aX+b,V=cY+d,其中 ac0.贝U U, V 的相关系数等于 XY。 考查第五章 6. 设 X N(, 2 2)，用车贝晓夫不等式估计: P(|X| k ) 1 考查第五章 7. 设随机变量 E 的概率函数为P *xj= p ii 1,2,.,则 Pi_0_ ；Pi = i 1 8. 10. 11 . 12. 13. 14. ；EE= XiPi。 i 1 考查第一章 设A,B,C为三个事件，则A,B,C都发生可表示为：ABC ； A发生而B,C不发生 可表示为：ABC ； A,B,C恰有一个发生可表示为： ABC ABC ABC。 考查

3、第一章 XN(5,4)，P(X c) P(X c)，则 c _5_。 考查第三章 设随机变量在1，6上服从均匀分布，则方程x2x 1 0有实根的概率为 4 。 5_ 考查第三章较难 若随机变量X，Y的相关系数为 以丫，U=2X+1,V=5Y+10则U, V的相关系数=Jy。 考查第三章 若 服从3,才 的均匀分布，2,贝U 的密度函数 g (y)= 1 g(y)y 。 2 考查第五章 设 P(A) 0.4 , P(A B) 0.7 ,若 A 与 B 互不相容，贝U P(B) 03;若A与B相互独立，贝U P(B) 0.5。 考查第一章 将数字1, 2, 3, 4, 5写在5张卡片上，任意取出三

4、张排列成三位数，这个数 是奇数的概率P (A) UP； 考查第一章 1 服从参数为参数为 n1 n2, p的二项分布 分布. 若 B(10,0.8)，E -H- 8_ ， D 1.6，最可能值 k08 。 考查第二、五章 16. x 0 ，贝U E(3X)= 6 x 0 x xe 设随机变量X的概率密度为f (x) 考查第四、五章 17. 任取三线段分别长为x,y,z且均小于等于a. 则x,y,z可构成一三角形的概率- 2 考查第一章(较难) 18. 设随机变量X，Y的相关系数为1，若Z=X-0.4,则Y与Z的相关系数为1 考查第五章 19. 若 N(3,0.16)，E 3， D 0.16 考

5、查第五章 20. 若 B(10,0.7)，E( 9) _J6_，D(23)8.4 考查第五章 21. 某公司有 A、B、C三个生产基地生产同一种产品，产量分别占20%，45%和35% . 个基地的产品各有 30%, 20% , 25%在北京市场销售.则该公司任取此产品一件，它可能在 销往北京市场的概率为0.2475. 考查第二章 22. f (x)为一维连续型随机变量X的概率密度函数, 则有 f (x)dx 离散型随机变量丫具有分布列P(Y yk)pk,则 pk k 参数为门勺，P及门2, P，则X 丫 考查第三章 23.若X,Y是相互独立的随机变量，均服从二项分布, 24.设随机变量X服从参

6、数为0和2的正态分布N(0,2),则EX =0 DX =2. 考查第五章 25 .设A,B,C为任意三个事件，则其中至少有两个事件发生应表示为 abC aBc Abc ABC。 考查第一章 27.若二维随机向量(，)的联合密度函数 P(x,y)= 2 1 r2 exp 1 (x ai )2 2(1 r2) 2 2r(x aj(y a?) (y a?) $ a1 2 2 1 , E = a2, D = 2 Cov( )=r 1 2 . 考查第五章 28.两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一个人20分钟，过时就可离开，则 两人能会面的概率为5/9。 考查第一三章 选择题(含答案) 1一模一样

7、的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐(取名“甲罐”)内的红球数与黑 球数之比为2: 1,另一罐(取名“乙罐”)内的黑球数与红球数之比为2 : 1，今任取一罐并 从中依次取出50只球，查得其中有 30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该 罐为“乙罐”的概率的(D ) (A ) 2 倍(B) 254 倍 (C) 798 倍 (D) 1024 倍 考查第二章 2在0,1线段上随机投掷两点，两点间距离大于0.5的概率为(A ) (A ) 0.25(B) 0.5( C) 0.75( D) 1 考查第一章 3设独立随机变量X, Y分别服从标准正态分布，则X + Y服从(C ) (A ) N(

8、2,0)(B)自由度为2的2分布 (C) N(0,2)( D)不能确定 考查第三章 4设 P (X=n ) =an (n 1,2,.)且 EX=1，则 a 为(B ) (A ) 1( B) 2 (C) 1 考查第五章 5.下列论述不正确的是( (A)若事件A与B独立则 A与B独立 (B)事件A B不相容则A与B独立 (C) n个事件两两独立不一定相互独立 (D )随机变量和 独立则二者不相关 考查第二章 6甲乙两人各投掷 n枚硬币, 理想状态下甲乙两人掷得正面数相同的概率为 (A ) 0( B) n C k C n k 0 (C)(尹或 (D)(扩 考查第一、二章 7设独立随机变量 X, Y分

9、别服从标准正态分布，则 X + Y服从(C ) (A )二项分布 2 (B)分布 (C) N(0,2) (D )不能确定 考查第三、四章 8对于任意事件 A与B , 有P(A B) (C )。 (A) P(A) P(B) (B) P(A) P(B) P(AB) (C) P(A) P(AB) (D) P(A) P(AB) 考查第一章 9在0, a线段上随机投掷 ；两点，两 点间距 离大于 旦的概率为(D ) 2 (A) 1( B) 0.75 (C) 0 .5 (D) 0 .25 考查第一章 10设 P (X=n ) =an (n 1,2,.), 其中 3 a为 5 ，贝U EX= ( B ) 2

10、 (A).5( B)1 (C) 0.5 (D) 3 考查第五章 11.下列论述不正确的是 (C ) (A ) n个事件两两独立不- 定相互; 独立 (B) 若事件A与B独立则A与B独立 12.掷n枚硬币，出现正面的概率为 P，至少出现一次正面的概率为 (A ) (A) 1 (1 p)n 1 (B ) Cn P(1 p)n1(C) 1 (D) 1 P 考查第 早 (C)事件A B不相容则A与B独立 考查第二章 (D )随机变量和独立则二者不相关 13设A，B为两个互斥事件，且P( A)0, P(B)0，则下列结论正确的是(C )。 (A) P(B|A)0,( B)P(A|B)=P(A)( C)

11、P(A|B)=0( D) P(AB)=P(A)P(B) 考查第二章 14事件A , B相互独立， P(AB) 1 6，P(AB) P(AB), P (A) = ( D ) 、1 1 2 (A )( B) (C) 0( D)- 3 2 3 考查第二章 15随机变量X服从( D )分布时， DX EX。 (A)正态 (B)指数 (C)二项 (D)泊松( Poiss on) 考查第五章 16.设 X N( ,42),Y N( ,52), 记p6 P(X 4), P2 P(Y 5),则 (A )。 (A )对任何实数，都有p6p2 (B) 对任何实数 ，都有pi P2 (C)只对的个别值，才有p6p2

12、 (D) 对任何实数 ，都有Pi P2 考查第三章 17若有十道选择题，每题有A、B、C、D四个答案，只有一个正确答案，求随机作答恰 好答对六道的概率为(B ) (A ) 3( B) Ci6o(1)6(3)4 1 6 6 (C) ()(D) e 46! 考查第二章 18. 某课程考试成绩 X N(72, 2),已知96分以上占2.3%，则6084分所占比例为(A) (已知 20.977) (B) 1 (D) 0.5 (A) 2 (1) 1 (C) 2 (2) 1 考查第三章 19. 设独立随机变量X , Y分别服从标准正态分布，则X Y服从(C ) (A )泊松分布(B)2分布(C) N(0,

13、2)( D)不能确定 考查第三、四章 20对于任意事件A B，有P(A B) ( A )。 (A) P(A) P(B)( B) 0 (C) 1( D) P(B) 考查第一章 21. 设随机变量的密度函数为 acosx x p(x)22 0 则常数a为(B ) /A、11 (A )( B) 32 考查第三章 22. 下列陈述不正确的是(D) (A)两两独立不一定相互独立 (C)事件A B独立则P(A| B) P(A) 考查第二章 23. 下列数列可以构成分布列的是(C) 1 (A) ()n n 1,2,.(B) 2n n 1,2, 3 考查第三章 其它 (C) 0(D) 1 (B)若事件 A与B

14、独立则A与B独立 (D)随机变量二者不相关则和独立 1 (C) (一)nn 1,2,. 0(D) 1n n 1,2, 24. 下列陈述不正确的是(B) (A) 和 不相关则D( ) D() D() (B )随机变量二者不相关则和 独立 (C) 和不相关则COV( , )0 (D)随机变量二者不相关则 E( ) E E 考查 第五章 25 事件A, B,C中， A发生且B与C不发生的事件为： (C ) (A) ABC； (B) ABC ABC ABC ； (C) ABC ； (D) A B C. 考查 第一章 26设代B为相互独立的两事件，则下列式子中不正确的是：(A ) (A) P(A B)

15、P(A)P(B)； (B) P(AB) P(A)P(B)； (C) P(B| A) P(B)； (D) P(AB) P(A)P(B). (C) A B=(D) A B = 考查第一章 27.工厂每天从产品中随机地抽查 50件产品，已知这种产品的次品率为 0.1%,则在这一 年内平均每天抽查到的次品数为： (A ) (A ) 0.05;( B) 5.01 ; (C) 5; (D) 0.5. 考查第六章 28. X U(0,1),Y 3X 2,则 丫 服从分布：(C) (A) U (2,3)；(B) U( 1,1)； (C) U( 2,1)；(D) U( 1,0). 考查第四章 29设随机变量 X

16、,Y的联合概率密度为 f(x,y) 2e (2x y), (0 x, y ).则：(B ) (A) X,Y不相关；(B) X,Y相互独立; (C) X,Y 相关; (D) X,Y不相互独立. 考查第四、五章 30 事件A , B互不相容，是指( B ) (A) P (AB)= P (A) P (B)(B) A B= 考查第一章 计算题（含答案） 试求E 设随机变量只取非负整数值，其概率为 P k k a (1 a)k1 a0是常数, 解：记 t= 1 1 a k- 1 (1 k a a) (1 a) k k (1 k 1 a = k 1 =77 a) (1 a a? kt (1 (tk) 1

17、(1 a)2(1 )2=a E 2= k k 1 k a (1 a)k1 k(k 1 1)(1 a) k a + k 1 k (1 a)k 1(1 a)3 k (tk)a 1 2a2 (1 3 2 a = 2a 2 2 D E (E ) =a 考查第五章（较难） 二.炮战中，在距离目标 250米， 在各处射击时命中目标的概率分别为 任射一发炮弹，求目标被击中的概率。 若已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由距目标 200米，150米处射击的概率分别为0.1, 0.7, 0.2, 而 0.05, 0.1,0.2。 250米处射出的概率。 解：1）设A,A2,A3分别表示炮弹从 250米，200米，

18、150米处射击的事件 B表示目标被击中。则由全概率公式 P(B) P(AJP(B| A.) P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B| A3) = 0.1 0.05 0.7 0.1 0.2 0.2 0.115 2) 由Bayes公式 P(A1|B) P(A)P(B| A) P(AJP(B|A) P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) 0.1 0.05 = 1 0.11523 0.043 某单位招聘 2 500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有 10 000人报名，假 设报名者的成绩X服从分布N 2 ）已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问 被录用者中最低分为多少?

19、 X的分布函数为f（x） 1 、2 (x )2 eh 2),N(0,1) P X 90 PX 90 1()鰹 1000 359 )10.9641 1000 ,60、1151 ()0.1151 10000 标准正态分布表可得到=72和2 =100的值，然后令录取的最低分为X0，则 X PX x。 P- X0 (X0 2500 10000 从而得到 x079,即录取的最低分为79分。 考查第三章（较难） 四.从1到2000这2000个数字中任取一数，求 1）该数能被6整除的概率; 2）该数能被8整除的概率; 3）该数能被6和8整除的概率; 4）该数能被6或8整除的概率。 解：利用古典概型的公式 P

20、(A) m A所含样本点数 n 样本点总数 有利于A的场合数 样本点总数 整；2)迦1 ； 3)旦 2000 2000 8 2000 P(能被8整除)+ P(能被6整除)P(既能被6整除又能被8整除) 333183 4) 2000 8 2000 4 考查第一章 五空战中，从A , A2 , A3处射击的概率分别为 0.2, 0.7, 0.1,而在各处射击时命中敌 机的概率分别为 0.2, 0.1,0.05。 任射一发炮弹，求敌机被击中的概率。 若已知敌机被击中，求击中敌机的炮弹是由A3处射出的概率。 解：1)设B表示目标被击中。则由全概率公式 P(B) P(AJP(B| A.) P(A2)P(

21、B|A2)P(A3)P(B| A3) = 0.2 0.2 2) 0.7 0.1 0.1 0.05 0.115 由Bayes公式 P(A3|B) P(A3)P(B | A3) P(AJP(B | AJ P(A2)P(B | A2) P(A3)P(B | A3) 0.1 0.051 0.043 0.11523 考查第一章 六一地区农民年均收入服从500元，20元的正态分布，求： 该地区农民年均收入在 500元520元间的人数的百分比； 如果要使农民的年均收入在( a, a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大? 3个农民中至少有一个年均收入在500元520元间的概率。 N 500,202 解:

22、(1) 520500 500 500 P 500 520 0 0 0 1 0 00.8413 0.5 0.3413 20 20 (2) P a a 0.95 , p|1 a 0.95, 2 0 10.95 20 20 20 解：设事件A“取出来的种子是一等种子A2“取出来的种子是二等种子 (3)考虑反面没有一个年收入在范围中的情形，其概率为：c3( pi)0(1 pi)3 , 1 C3)(0.3413)0(1 0.3413)3 考查第三章(较难) 1 0 1 七设随机变量 Xi :1 1 1(i=1,2 ),且满足PX1X201，则求概率 4 2 4 PX1 X2 0 解：由 PX1X2 0

23、1，得 P X1X20 0，即卩 PX1 1,X2 1 PX11,X21 PX1 1,X2 1 PX11,X21 0 再根据联合分布与边际分布的关系可以求得X1和X2的联合分布。 A * -1 0 1 PX1 灯 Pi -1 0 1 0 1 4 4 0 1 0 1 1 4 4 2 1 0 1 0 1 4 4 PX2 y Pj 1 1 1 4 2 4 可得, 1.96, a 39.2 20 所以 PX1 X2 = 0. 考查第四章 八、有一袋麦种，其中一等的占 80% 二等的占18% 三等的占2% 已知一、 麦种的发芽率分别为0.8 , 0.2 , 0.1，现从袋中任取一粒麦种: 试求它发芽的概

24、率； 若已知取出的麦种未发芽，问它是一等麦种的概率是多少? A“取出来的种子是三等种子 B “取出的种子发芽”B“取出的种子未发芽” 由题：P(A1) 80% P(A2) 18% P(A3) 2% P(B|AJ 0.8 P(B|AJ 0.2 P(B | A3)0.1 P(B | A1) 0.2 P(B | A2) 0.8 P(B | A3) 0.9 (1)全概率公式 P(B) P(AJP(B|AJ P(A2)P(B|A2) P(A3)P(B| A3) =67.8% (2)贝叶斯公式 P(A1 | B) _P(A)P(_b|A)_ p(A)p(B|A)P(AJP(B|A)p(A3)p(b|A3)

25、 =0.497 考查第二章 九、设随机变量E的分布列为 E0 2 2 0.3 0.2 P 0.20.3 求 21的分布列。 解： 2 1 ( -)2 1 02 1 ()2 1 2 2 2 P 0.20.3 0.30.2 整理得n的分布列 1 2 1 - . 2 1 4 1 P 0.3 0.5 0.2 考查第四章 十、某师院的毕业生，其中优等生，中等生，下等生各占20%, 65% , 15%.毕业后十年, 这三类学生能成为优秀教师的概率各为80% , 70% , 55%.求该学院毕业的学生十年后成为 优秀教师的概率。 解：记B=成为优秀教师 P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(BA) P

26、(A3)P(B|A3) 80 2070 65 55 156975 100 100 100 100 100 100 10000 考查第二章 I一、将一颗均匀的骰子连掷两次，以E表示两次所得点数之和。求1)E的分布列；2) EE。 解：1) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pi 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 12 2) E kP k k 2 36 36 12 36 252 =7 36 考查第五章 十二、设二维离散型随机向量(E,n)的联合分布列为: 斗 0 1 2 1 C C C 10 10 10 2

27、 0 2C 2C 10 10 3 2C 0 C 10 10 1) 2) 3) 4) 解: 求常数C; 求E,n的边缘分布列； 求三=2的条件下，n的条件分布列; 判断E与n是否相互独立。 1) C=1; n 0 1 2 pi g 1 0.1 0.1 0.1 0.3 2 0 0.2 0.2 0.4 3 0.2 0 0.1 0.3 Pgj 0.3 0.3 0.4 和的边沿分布列为: 1 2 3 P 0.3 0.4 0.3 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 3) 1 2 0 1 2 P 0 0.5 0.5 整理得: 1 2 1 2 P 0.5 0.5 P 2 P 0 4)因为 P 2,000.

28、4 0.3 所以与不相互独立 考查第四章 0.6，以X表示他首次命中时累计的投篮次数。写 k 1,2, kx 10 x 2 P(x) 0其他 P1.5 E 2.5. 十三、一个篮球运动员的投篮命中率为 出X的分布律. 解：分布律为 PX k (0.4)k1(0.6) 考查第一章 十四、已知连续型随机变量E有密度函数 求系数k及分布函数，并计算 解：由密度函数的性质 2 p(x)dx (kx 0 1) dx (- x2 x) 2k 2 x F(x) p(t)dt 0时, p(t) 0, F(x) x 2 时，F(x) x (1 0 -t)dt 2 (t 2 时，F(x) F(x) x 0 1 2

29、 x 4 1 P1.5 2.5 F (2.5)F(1.5) 1.5 丄(1.5)20.0625 4 考查第三章 六、设二元连续型随机向量 (X,Y)的联合密度函数为 U| 1 2 3 4 0 0.00 0.03 0.05 0.02 1 0.12 0.05 0.07 0.01 2 0.08 0.03 0.08 0.11 3 0.05 0.04 x 0.06 卜五、设随机变量 X,Y的联合分布为 求x,及X,Y的边际分布(直接填写在表中)，给出X在Y 2的条件下的条件分布. 解：x = 0.2 X在丫2的条件下的条件分布为 X|Y 2 1 2 3 4 4 1 4 11 1 1 15 10 15 3

30、0 考查第四章 f (x, y) 10 :宀轲“ x, 0, 其它. 求X,Y的数学期望、方差和相关系数. 而 x 0,或 x 1 时，P (x)0 x 解：当 0 x1 时，P (x)xldy 2x 1 当-1y0 时，P (y) y1dx 1 0 6 1 0 x y i,p (y) 2xdx (E )2 1 0 x (E )2 1 y1dx 2xdx 1 y(1 y)dy 2 (3) i,p (y) 0 1y(1 1 18 y)dy 0, Cov( x xxy 1dy)dx Cov( 考查第五章 综合应用题(含答案) 1.设二维连续型随机向量( p(x, y) )的联合密度函数为 2 Ax

31、y x 3 0 0 x 其它 1,0 其中A为常数，求： 1) 常数A; 2) ,的边沿密度函数p1(x), p2(y)； 3) ,的条件密度函数 p(x y), p(y x); 4) 判断与是否相互独立； 解：1)由密度函数的性质: 1p(x, y)dxdy 1 2 dx 0 0 2 Axy2 2 dy y ” 卜 2 1 1 x p(x,y) 0 所以 所以 1 0 2x 2 3 -x 3 2 2A x 3 A x 3 dx 2 A 3 3 2）由边沿密度的计算公式，及 0或x 1时P(x, y) 0,所以 x 1时， 2 P1 (x)0 2x2 Pi(x) 所以: p(x, y) P1(

32、X) p,x) x2 xy 3 2x2 0的直观图形: P(x, y)dy dy 其它 0或y 2时, y 2时 p(x, y) P2(y) 2 xy 6 P2（y） ，此时 P2（y） P(x, y)dx 0 ； xy dx x2 Ty Pi(x) 3）由条件密度的计算公式： 当 0 y 2 时 p2（y）0， P(xy) _y 6 0 y 其它 此时条件密度存在，且 P(x, y) - 3 P2(y) 2 xy x 3 1 -y 6 0 2 6x 2xy 2 y 0 其它 其它 x 1时，P1（x）0，此时条件密度存在, 1 p(yx) p(x,y) Pi(y) xy 3 2x2 0 0

33、y 其它 .1 3x2 xy 6x2 2x 0 0 y 2 其它 A 0 y 2 0 其它 2.设(X,Y) 服从单位圆上的均匀分布, 概率密度为: f (x, y) x2 y2 1 4)显然: p(x, y) P1(x)p2(y) 所以与不独立。 考查第四章 0, 其它 试求fY|x(y | x)，并讨论x，y的独立性。 解：(X,Y) 关于X的边际密度为: fx (x) f(x,y)dy 片 0, |x| |x| 当 | x | 1 fY|x(y| x) f(x,y) fx(x) (2 )、1 x2 _1_ 2 J x2 即当| x| 1 时,有 fY|x(y |x) _1_ y取其它值 2 1x2 0, -2 14 fY|x(y|x)寫fY(y)， X,