向量与几何相结合!重点难点突破——伤其十指,不如断其一指

1、向量与几何相结合！重点难点突破伤其十指，不如断其一指、单选题1 .在矩形ABCD中，AB = 1, AD = 2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若八i则入+卩的最大值为（）uuu2 .在平面内，定点A, B,C, D满足DAC.D2uuvuuivuumuuvuuvuuu/uuvuuj/DBDC，DADBDBDCDADC，uuv uuuv DA DBuuv2，动点P,M满足AP. uuuv1，PMuuuv ntt MC，则ujuv2BM 的最大值是（4344937 6、. 3437 233则|?Q?e ?的最小值为()A. v2B. v3C.v5D.24 .如图，已知 ABC中,BAC

2、 900, B 300，点P在线段BC上运动，且满足uuuCPuur uur uuuCB，当 PAgPC取到最小值时,的值为（）A .-B .C.5 如图，已知等腰梯形 ABCD中，AB 2DC 4, ADBC . 5, E是DC的中点,0uurEPBp的最小值是（C.6. ABC 中，AB 5,AC10 ,uu uur AB AC25，点P是ABC内（包括边界）的2 uuuAC(uuuR），则AP的最小值是uuv 3 uuv一动点，且AP -AB5A .阿Buuu.V39uuruuuC.3D .迹27 .已知 ABC中，BC2, BABC2 .点P为BC边上的动点，贝Uuuuruur uuu

3、uuuPC PA PBPC的最小值为()325A . 2B一C.2D.4128.在直角二角形ABC中，A90AB2, AC 4，点p在ABC斜边BC的uuu uuu uuu中线AD上，贝U PB PC .AP的最大值为（）258OBC内（不含边界）9 已知O是ABC内一点，且OA OB OuV 0，点M在uuuu 若AMuuuABuuurAC，则2的取值范围是（1|B.1,22 .1C.-,1D.-,132）AB是直径,10 在半径为2的圆O的内接四边形 ABCD中,COD 120 , P 是线段CD上异于C、D的点，则PaPB的取值范围是（A. 3, 1)B. (1,3)C. 3,0)D.

4、( 3,3)11 已知 RtVABC , ABuuu uuuuiurAP xAB yAC，贝V x54A .B.43uuruur12.已知向量AB1，BCA .綁B . 23, BC 4 , CAy的最大值是(C.5, PABC外接圆上的一动点，且）6uuu uuu uuu uur 2，若 ABgBC 0 , ADQCC. 55D.-3ujur0，贝U BD的最大值为（）参考答案1. A【解析】【分析】分别以CB,CD所在的正弦为x, y轴建立平面直角坐标系,写出A, B, D点的坐标，根据圆的uun uur参数方程写出P点的坐标，代入AP ABuuuAD，解出的表达式，然后利用三角函数求最值

5、的的方法，求得的最大值.【详解】分别以CB，CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(2,1)，B(2,0)，D(0,1).点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,可设则=(0, 1),= ( 2,0),ABAD22A-j=c(*s 2, -Fsin 一 念心丿又 i + j,2I-入=sin 即 1, 尸一cos 0+ 1,2 1入 + 尸 2 sin 击 cos = 2 si n( +0)其中 tan = , ( + 卩)max= 3.答案 A【点睛】 本小题主要考查向量的坐标运算， 考查利用坐标法解平面几何的问题， 考查了数形结合的数 学思想方法两个向量相等时，它们对应的横坐标和纵坐标

6、是相等的 对于圆上点的坐标，可 以考虑用三角换元的思想，将圆上点的坐标用三角函数来表示， 最后求最值时就可以用三角 函数的值域来求解2. B【解析】【分析】根据已知可确定 D既是 ABC的垂心，也是 ABC的外心，从而可知 ABC为等边三角形,uuu uuu利用DA DB 2可求得uuvDA2 ,从而确定 ABC边长为2 3 ,进而建立平面直角坐标系；根据P点轨迹为圆可设P 3 cos ,sin ，利用M为PC中点可得M * cos , A2 2UUUV2，进而表示出Buuu ;将所求BM 整理为37 12sin利用三角函数知识可求得所求的最大值【详解】,uuv uuv uuv uuu/ uu

7、v uuV/口由DA DB DB DC DA DC得：D为 ABC的垂心uuv 由DAuuv DBuuivDC得：D为ABC的外心 ABC为等边三角形ADC ADB BDC120o ABC边长为2.3则可建立如下图所示的平面直角坐标系:1可知P点轨迹是以A为圆心,uuv 由AP1为半径的圆，可设cos ,sinurnur又PMMcD，可知M为PC中点3 sin2uuuv BM3 3 cos 3 sin2 ， 2uuuv 2BM27 6、,3 coscos246si nsi n2437 6sin6、, 3 cos437 12sin -34.uiuv 249当 sin1 时，BM3max 4本题正

8、确选项：B【点睛】本题考查向量模长的最值求解问题，涉及到三角形 四心”的向量表示法；关键是能够通过所给的数量积和模长关系确定三角形为等边三角形，且确定动点的轨迹所满足的方程，进而通过参数方程的方式将问题转化为三角函数最值的求解问题，属于较难题3. D【解析】【分析】依据题目条件，首先可以判断出点？的位置，然后，根据向量模的计算公式，求出|?的代数式，由函数知识即可求出最值。【详解】由于|?= |?= 2，说明点在?的垂直平分线上，当？是？?的中点时，|?取最小值，最小值为J2,此时?与?的夹角为45 , ?与？?的夹角为45 ,?与?的夹角为 90 ,21?= ? ? 2?=? 4?+ 4(?

9、氏？的最小值是 4,即|?的最小值是2故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量有关知识，重点是利用数量积求向量的模。4. D【解析】【分析】LUVULLV以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系，计算 P点坐标，得到PAPC的式子得到答案【详解】 以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系不妨设AC 1则 A 0,0 , C 0,1 P、3 ,1uuv uuv2PA PC 、3 ,1? ,3 ,=41当二-时取最小值8故答案选D【点睛】本题考查了向量的计算，函数的最值，建立直角坐标系可以简化运算5. A【解析】【分析】计算cosB，设BP x，把EPUJIV UJVEC CP代入得

10、出关于X的函数，根据x的范围得出最小值.【详解】由等腰梯形的知识可知 cosB 5 ,5设 BP x，则 CP 、-5 x ,uuv uuvUJIVuuv uuv uuv uuvuuv ujv(乜)(、5 x)?x ( 1) x256、5EP BP(ECCP)?BP EC BPCP BPx ,5Q0x話,当x3 ;5,uuv uuv由/白曰.居时，EP BP取得最小值955 .故选：A.【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.6. C【解析】【分析】由题干条件和向量点积公式得到三角形的边长，再根据向量加法的平行四边形法则得到P所在的轨迹，进而得到结果【详解】uuu uuir1依题意

11、ABAC 5 10cosA 25cos AA由余弦定理得BC 5 3，故233ABC为直角三角形设AD AB，过D作DP7/AC,交BC于P，过P作EP7/AB，5uuv 3 uuv 2 uuu/交AC于E 由于AP -AB - AC(R)，根据向量加法运算的平行四边形法则可知，55uuruuuP点位于线段DP 上，由图可知AP最短时为AD，所以AD 3故选C.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题通过向量的运算，将问

12、题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题7. D【解析】【分析】 以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得B 1 ,0 ,C1,0，设P a , 0 ,Ax ,y , 运用向量的坐标表示，求得点 A的轨迹，进而得到关于 a的二次函数，可得最小值.【详解】以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系, 可得 B 1 ,0 ,C 1,0，设 P a ,0 , A x, y ,uur uuu由 BA BC 2，可得 x 1 ,

13、y 2,0 2x 22，即x2, y 0,uuur uur uuu uuu 则 PC PA PB PC1 a ,0x a 1 a 1 a, y 0 01 a x 3a21 a 2 3a 3a a 225121当a 1时，uuuuuuuuuPCPAPB63 auuiuPC的最小值为2512本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属 于中档题.8. C【解析】【分析】uuu uiur由已知条件，可以建立以AB,AC的方向为x,y轴的正方向的直角坐标系，求出A,B,C三 点的坐标，由于AD是斜边BC的中线，可以求出D点坐标，设点P的坐标，点P在AD 上,uuuu

14、uu所以设AP AD (01)，求出点P的坐标，根据平面向量的数量积的坐标表示求出uuuuuu uuuuuuuuuruuu(PBPC) AP的表达式，利用二次函数求最值的方法，求出(PBPC)AP的最大值.【详解】uuu uult因为 A 90，所以以AB, AC的方向为x, y轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：円Buuuluur设 APAD(01)(x,y)(1,2)uuu所以 P( ,2 ), pb(2,2uujr),pc (uuuuuuuu(PB PC) AP (22,44)(,2 )所以 A(0,0), B(2,0), C(0,4),D(1,2), P(x, y),x ,y 2

15、,4 2 ),10 21010(-)25，所以当2 21 uur2 时，(PBuuuPC)uuu5AP的最大值为一，故本题选2C.【点睛】 本题考查了平面向量数量积的坐标表示、二次函数的最值，考查了数形结合、构造函数法,uuu求出(PBuuu UJU,亠PC) AP的坐标表达式，是解题的关键9. B【解析】【分析】根据uOA uOb cOc 0可知。为ABC的重心；根据点M在OBC内，判断出当M与O重合时，2 最小；当M与C重合时，2的值最大，因不含边界，所以取开区间即可。【详解】 因为o是abc内一点，且OA OV OCV 0所以0为 ABC的重心M在OBC内（不含边界）且当M与O重合时，2

16、最小，此时UUUUUUUUUUT 21UUUUUUT1 UUU1 UUITAMABAC -ABACAB AC323311所以 一，即 2133当M与C重合时，2最大，此时uuuu uurAM AC所以 0,1，即 22因为M在 OBC内且不含边界所以取开区间，即21,2所以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题。10. C【解析】【分析】UUV 觀ULW UULT ULU LUU UJU UJIDULU UUV将PA, PB分别表示为pa PO OA，PB PO OB，即可整理PA PB得：PA PB PO24，求出O到CD的距离d 1，可得1 OP 2，问

17、题得解。【详解】依据题意，作出如下图象：uuuumruurr iuuujuuuPAPO OA,PBPOOB.因为AB是圆直径且圆半径为r =2 ,uur 所以OAuuu OBr0urn uur uuuuuruuruurruuu 2uuruuruuruur uur所以PA PB POOAPOOBPOPOOAOBOA OB4，UUU2PO在ODC中,由余弦定理可得:CD2OC2OD22OCOD2cos3解得：CD 2 3 .设O到CD的距离为d，则Socd.2sin3CD解得：d 1 ,又P是线段CD上异于C、D的点,所以1 OP 2.uuur 2所以 PO 43,0 .故选：C【点睛】本题主要考

18、查了向量的加法及数量积运算,考查了余弦定理、转化思想及等面积法求高,查计算能力，属于中档题。【解析】【分析】552込，2sin ，求出点A, B, C的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到5 .x y sin6【详解】1，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案2解：以AC的中点为原点，以 AC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,则厶ABC外接圆的方程为x2 y2(-)2，2设P的坐标为55 .cos , sin22si nA-AB 35，BDABs inA12AD AB cosA壬355597ODAO AD过点B作BD垂直x轴,2510957 1210，555一 A2，0，C 2,0uuiv9 12uuu/5,0 ,uuv55 5 AB,ACAPcossin5 522 2uuivuuvuuv APxAByAC555 .912y 5,095y,12-cos-sinx 一，xx2225555-559=5 .12一 cosx 5y,-sinx ,2252513 .125 .- ycossin,xsin2822412 .15 .1，其中sin34 xycos sinsin,cos2326255当sin1时，x .目 r . Mr.514y有 最人值