第一轮一元二次不等式及其解法详细过程

1、(见学生用书第1页)1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模 型.2 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二考纲传真次函数、一元二次方程的联系.3 会解一元二次不等式对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图1一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式A = b2 4acA 0A = 0A 0)的图象一兀二次方程ax2 + bx + c= 0(a0)的根有两相异实根X1, X2(X12)有两相等实根bX匸X2 亦没有实数根ax2 + bx+ c0(a0)的解集x| XX2x| X丰x1Rax2 + bx+ c0)的解集x| X1X 0( a 0)的求解过程3. 简单的分式不等式

2、f (x)(1) 0? f(x) g(x) 0；g ( x )f (x)r口 goW 0? f(x) g(x) W0 且 g(x)丰0.ax2 + bx+少0( a0)对一切x R恒成立的条件是什么?【提示】a0且b2 4ac 0的解集是()1A. ( 2, 1)B. (1 ,+ )1C.(汽 1) U (2 ,+ ) D . (a, 2)U (1 ,+ )2【解析】 T2X x 1 = (x 1)(2 x+ 1) 0,1x 1 或 XV1 故原不等式的解集为(a, 2)u (1 ,+a).【答案】 Dx 一 12 不等式-一1 w 0的解集为()2x + 11亠1A. ( 2 1 B . x

3、|x 1 或 xv 1亠1C. 2 1 D . x|x 1 或 xw 2【解析】原不等式等价于(x 1)(2 x + 1) v 0 或 x 1 = 0.1原不等式的解集为(一2 1.【答案】 Aa的取3. (2012 福建高考)已知关于x的不等式x2 ax+ 2a0在R上恒成立，则实数值范围是.【解析】/ x2 ax + 2a0在R上恒成立，2-A = a 一 4X2 a0,. 0a0的解集是（一2, -3），则a+ b的值是2 1 1【解析】由已知得方程ax + bx+ 2= 0的两根为一-,3.b_11a=2+ 3 则2 1 1a=( 2)x 3a = 12,解得 b=-2, a+ b=-

4、 14.【答案】14(见学生用书第2页)一兀二次不等式的解法解下列不等式2(1) 3 + 2x- x 0;2(2) x + 32x；x(3) w 1.x 1【思路点拨】（1）先把二次项系数化为正数，再用因式分解法；（2）用配方法或用判别式法求解；（3）移项通分，转化为一元二次不等式求解.【尝试解答】（1）原不等式化为x2 2x 3 0,.= 4 12= 8V 0，又因二次项系数为正数,不等式x2+ 32x的解集为Rw 1?x 12xx 11w0 ?x+ 1wx 1(x 1)( x+ 1) wo 且 XM 1.原不等式的解集为1, 1).1熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基

5、础，可结合一元次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解.2解一元二次不等式的步骤：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法；(3)写出不等式的解集.解下列不等式：2(1) 2x 5x+ 3 0;2(2) K x + 2x K2;22【解】 T 2x 5x + 30,.2x+ 5x 3v0,(2x 1)( x + 3) v 0,1原不等式的解集为x| 3v xv 2 2x + 2x 1一1,(2)这是一个双向不等式，可转化为不等式组2x + 2x K 2,x + 2x 0,即2x2+ 2x 3 0.由得x0或x w 2;由得一3w x w 1.故得所

6、求不等式的解集为x| 3W xa(a R)的解集.【思路点拨】先求方程12x2 ax= a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集2 2 2 2【尝试解答】/ 12x axa , 12x ax a 0,即(4 x+ a)(3 x a) 0，令(4x + a)(3 x a) = 0,aa得: x1 = 4，x2=3a a、aa a0时，一；v，解集为x| xv 或x ;4 343 a= 0 时，x 0,解集为x|x R且 xh0；a aaa av0时，一-，解集为x| xv或x .4 334aa综上所述：当a 0时，不等式的解集为x| xv ;或x-;43当a = 0时，不等式的解集为x| x R

7、且xh0;当av 0时，不等式的解集为x|x v吕或x a .,解含参数的一元二次不等式的步骤(1) 二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2) 判断方程实根的个数，讨论判别式A与0的关系.(3) 确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.解关于x的不等式x2(a+ 1) x + av 0.【解】原不等式可化为(x a)( x 1) v 0.当a 1时，原不等式的解集为(1 , a);当a= 1时，原不等式的解集为空集；当av 1时，原不等式的解集为(a, 1).三个二次的关系

8、已知关于X的不等式X2+ ax + bv 0的解集(一1, 2)，试求关于X的不等式ax2 + x + bv 0的解集.【思路点拨】不等式解集的端点值是相应方程的根.21 a + b = 0,【尝试解答】由于x2+ ax + bv 0的解集是(一1, 2)，所以解得4+ 2a+ b= 0,a=- 1,b=- 2.故不等式即为一x2 + x- 2v 0,1 v 0,A = 1 8 = 7 v 02不等式ax + x + bv 0的解集为R,(1) 给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根.(2) 三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法.ax若关于x

9、的不等式 =v 1的解集是x| x v 1或x 2，求实数a的取值范围.x I ” ax【解】尸v1?a1 ) x p 1x1v 0? ( a 1)x + 1( x 1) v 0,由原不等式的解集是x I x| x v 1 或 x2,a 1 v 0,m1知 1? a=厅.=2 2 a 1实数a的取值范围是11-不等式恒成立问题2 . .若不等式mx mx- 1 v 0对一切实数x恒成立，求实数 m的取值范围.【思路点拨】分0与两种情况讨论，当时，用判别式法求解.2【尝试解答】要使mx m 1 v 0对一切实数x恒成立，若m= 0，显然1 v 0 ；故实数m的取值范围是（4, 0.,1. 不等式

10、ax2 + bx + c 0的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a= 0时，b= 0, c 0； a 0,2当a0时，不等式ax2 + bx+ cv 0的解是全体实数（或恒成立）的条件是当a= 0时,Av 0;av 0,b= 0, cv 0；当 a0 时，A v 0.2解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.2对任意a 1, 1不等式x + （a 4）x+ 4 2a0恒成立，则实数x的取值范围是2【解析】 设f（a） = （x 2）a+ x 4x + 4，则原问题可转化为一次函数 （或常数函数）f（a）在区间1,1上恒正时x应满足的

11、条件，故应有f ( 1) 0, f (1 ) 0.x 5x+ 6 0, 即 x2 3x+ 20,化为(X 2)( x 3) 0,(x 1)( x 2) 0.解之，得x v 1或x 3.【答案】x v 1或x 3一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看（看二次项系数的符号），二算（计算判别式,判断方程根的情况），三写（写出不等式的解集）.两点联想不等式ax2 + bx+ c0（或ax2 + bx + cv 0）（ aO）的求解，善于联想：（1）二次函数y夕.2.=ax + bx+ c的图象与x轴的交点， 方程ax + bx + c= O(az0的根，运用好“三个二次”间的关系.三个防范1.二次

12、项系数中含有参数时， 参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况.2解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若 不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.3 不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述.(见学生用书第3页)从近两年的高考试题来看， 一元二次不等式的解法、 含参数不等式的解法以及二次函数、 一元二次方程、一元二次不等式的综合应用等问题是高考的热点.常与集合、函数、导数等知识交汇命题，主要考查分析问题、解决问题的能力、推理论证能力及转化与化归的思想.思想方法之一巧用一元二次不等式求代数式的最值(2011 浙江高考)设x,

13、y为实数，若4x2+ y2+ xy = 1,则2x+ y的最大值是 .【解析】 法一 设 2x + y= t , y = t 2x，代入 4x2+ y2+ xy = 1,整理得 6x2 - 3tx2222 10+1 1 = 0.关于x的方程有实根，因此 A = ( 3t) 4X 6X (t 1) 0,解得一 t (2x+ y)2 |. S22 5 2)=8(2x+y),(2x+ y)2w I，|w 2x + yw8【答案】2 .105易错提示：(1)换元后，不会从关于 x的一元二次方程有实数解入手解决问题，致使思 维受阻.(2)不会利用化归与转化思想化未知为已知，致使解题时无从下手，盲目作答.防范措施：(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式A之间的关系，关于x的一元二次不等式有实根的充要条件是其对应的判别式非负. 遇到一个问题，要注意寻找结论和已知间的关系，化已知为未知或化未知为已知.1 21. （2012 天津高考）设 x R,则“ xy 是 “2 x + x 10” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D 既不充分也不必要条件2 1【解析】2x + x 10的解集为x| x2或x2?