矩阵的奇异值分解及数值实现_第1页
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1、矩阵的奇异值分解及数值实现1. 引言矩阵的奇异值分解是数学研究中一种重要的方法 , 除了其理 论价值外 ,在工程领域中的应用也很普遍。例如 : 在最优化问题、 特征值问题、广义逆矩阵计算、高质量的统计计算、信号和图像 处理、系统辨识、滤波器设计、谱估计、时间序列分析、控制理 论和酉不变范数理论等领域 , 奇异值分解都占有极其重要的作用 同时它在求线性方程组的数组时也经常使用。 它的核心在于在求 出矩阵的有效秩的同时不改变矩阵的有关度量特性 , 这对统计和 检测数据的处理有很重要的作用。 但矩阵奇异值分解的严重不足 之处在于速度慢、计算量和存储量相当大 , 并且到现在仍然没有 计算矩阵的奇异值分

2、解的快速算法。 因此研究奇异值分解的快速 算法 ,在理论上和工程实际中都有重要意义。2. 矩阵的奇异值分解在数值分析中 ,矩阵的奇异值分解具有相当重要的作用 , 因 此在求矩阵的奇异值分解时 , 必须掌握矩阵的奇异值分解的理论 及相关概念。2.1 矩阵的奇异值相关定义定义2.1.1对于任一个mn阶复(实)矩阵A,设AH(AT)为A的 共轭转置矩阵，则AHA的 n个特征值的非负平方根称为 A的奇异 值,也就是A共有n个奇异值，且全部0。AHA是一个半正定矩阵,所以它的特征值0。设 A?HYCmn(r0),AHA的特征值为？d1?%d夢?%dr?%dr+1=- =?%dn=0则称？li=(i=1,

3、2,n)为 A的奇异值。从定义可以看出以下性质:(1) mn 矩阵 的奇异值的个数等于列数 ;(2) AHA和AAH的非零特征值相同,A的非零奇异值的个数等于 r?%ZnkA。定义2。1。2设A为复数域C上的n阶矩阵,如果存在数？d?HY(和非零的n维向量x,使得Ax=?%dx就称？d是矩阵A 的特征值,x是A的属于(或对应于)特征值？d的特征向量。定义 2。1。3 设 mn矩阵 A?HYCmn,r?%ZnkA=r(r0),则 AHA 和AAH的特征值都是非负实数。3. 矩阵奇异值分解的性质既然矩阵奇异值分解在计算中有如此重要的作用 , 当然它就 具有一些重要的性质 , 并且这些性质的应用也相当广泛。性质3.1 A的奇异值由A惟一确定，但酉矩阵U和V不惟一， 故矩阵A的奇异值分解一般不惟一。性质 3.2 奇异值分解可以计算出矩阵的条件数。设A?HYCmn且存在可逆矩阵P使得P- 1AP=di?%Zg(?%d1 ,？dn),则称？UP-1?U| PII 为矩阵 A关 于特征值问题的条件数 , 记为 k(P) 。性质 3.3

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