医用高等数学：D1_6极限存在准则

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则 第六节 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系 定理定理1. Axf xx )(lim 0 : n x, 0 xxn有定义, ),( 0 nxxnAxf n n )(lim 为确定起见 , 仅讨论的情形. 0 xx 有 )( n xf x n x 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.

2、Axf xx )(lim 0 : n x)(, 0nn xfxx 有定义, )( 0 nxxn且 设,)(lim 0 Axf xx 即,0,0当 ,0 0 时xx有.)( Axf : n x)(, 0nn xfxx 有定义 , 且, )( 0 nxxn 对上述 ,Nn 时, 有,0 0 xxn 于是当 Nn 时.)( Axf n 故Axf n n )(lim 可用反证法证明. (略) .)(limAxf n n 有 证：证： 当 x y A ,N “ ” “ ” 0 x O 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.Axf xx )(lim 0 : n x)(, 0nn xfxx 有定义 ,

3、)( 0 nxxn且.)(limAxf n n 有 说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法法1 找一个数列: n x, 0 xxn, )( 0 nxxn且 不存在 .)(lim n n xf 使 法法2 找两个趋于 0 x的不同数列 n x及, n x 使 )(lim n n xf )(lim n n xf )(x )( n x 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明 xx 1 sinlim 0 不存在 . 证证: 取两个趋于 0 的数列 2 1 n xn及 2 2 1 n xn 有 n nx 1 sinlim n n x 1 sinlim 由定理 1 知 x x 1 sin

4、lim 0 不存在 . ),2, 1(n 02sinlim n n 1)2sin(lim 2 n n 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则 定理定理2.,),( 0 时当xUx Axhxg xxxx )(lim)(lim 00 , )()(xhxg)(xf Axf xx )(lim 0 )0( Xx )(x)(x )(x 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 目录 上页 下页 返回 结束 1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、二、 两个重要极限两个重要极限 1 sin lim. 1 0 x x x 证证: 当 即xsin 2

5、1 x 2 1 xtan 2 1 亦即 )0(tansin 2 xxxx ),0( 2 x时， )0( 2 x , 1coslim 0 x x 1 sin lim 0 x x x 显然有 AOB 的面积AOD的面积 xx x cos 1 sin 1 故有 注注 注 O B A x 1 D C 目录 上页 下页 返回 结束 0 sin 1.lim1 x x x 对公式 0 0 （1）分子、分母含有三角函数且在自变量指定的变化趋 势下是“ ” 型。 （2）公式中的“ ”可以是趋向于零的代数式。x （3）注意三角函数有关公式的应用。 说明利用复合函数求极限的运算法则 此结论可推广到此结论可推广到 (

6、 )0 sin ( ) lim1 ( ) x x x , ( )0 xaxa条件是时，其中 可为有限值，也可为 sin ( ) lim ( )0,lim1 ( ) xaxa x x x 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求. tan lim 0 x x x 解解: x x x tan lim 0 xx x xcos 1sin lim 0 x x x sin lim 0 x xcos 1 lim 0 1 例例3. 求 . arcsin lim 0 x x x 解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此 原式 t t tsin lim 0 1 lim 0 t t tsin 1 目录

7、 上页 下页 返回 结束 2 0 sin lim x 2 x 2 x 2 1 n n n R 2 cos sin lim R n 例例4. 求. cos1 lim 2 0 x x x 解解: 原式 = 2 2 2 0 sin2 lim x x x 2 1 2 1 2 1 例例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: .lim 2 RAn n 证证: n n A lim n nn n RnA 2 cossin 2 R 说明说明: 计算中注意利用1 )( )(sin lim 0)( x x x 目录 上页 下页 返回 结束 2.e)1(lim 1 x x x 证证: 当0 x时, 设, 1nxn

8、 则 x x) 1 ( 1 1 1) 1 ( n n n n )1 ( 1 1 n n n )1 (lim 1 1 lim n 1 1 1 )1 ( n n 1 1 1 n e 1 1) 1 (lim n n n 1)1(lim 11 ）（ n n n n e e)1(lim 1 x x x (P5354) 目录 上页 下页 返回 结束 当x, ) 1( tx则,t从而有 x x x )1 (lim 1 ) 1( 1 1 )1 (lim t t t ) 1( 1) (lim t t t t 1 1) 1 (lim t t t )1 ()1(lim 11 t t t t e 故e)1 (lim

9、1 x x x 说明说明: 此极限也可写为e)1 (lim 1 0 z z z 时, 令 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求.)1 (lim 1 x x x 解解: 令,xt则 x x x )1 (lim 1 t t t )1 (lim 1 1 lim t t t )1 ( 1 e 1 说明说明 ：若利用, e)1 (lim )( )( 1 )( x x x 则 原式 11 1 e)1 (lim x x x 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求 1 lim() 1 x x x x 解一解一: 1 lim() 1 x x x x 1 22 lim(1)(1) 11 x x xx 1

10、 2 2 22 lim(1)lim(1) 11 x xx xx 22 1ee 2 lim(1) 1 x x x 解二解二 1 (1) lim 1 (1) x x x x x 原式 2 1 e e e 目录 上页 下页 返回 结束 思考题 无穷小商的极限有几种情况，请举例 等价无穷小的概念 目录 上页 下页 返回 结束 的不同数列 内容小结内容小结 1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则 法法1 找一个数列: n x, 0 xxn)( 0 nxxn且 使)(lim n n xf 法法2 找两个趋于 0 x n x及 , n x 使 )(lim n n xf )(lim n n xf 不存在 . 函数极限存在的夹逼准则 目录 上页 下页 返回 结束 2. 两个重要极限 1 sin lim) 1 ( 0 e) 1 1(lim)2( 或e)1(lim 1 0 注注: 代表相同的表达式 目