医用高等数学：D2_1导数概念

1、第二章 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数导数描述函数变化快慢 微分微分描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 目录 上页 下页 返回 结束 视频 http:/ 5A07_M6GLJH1ML.html(2m-16m) 目录 上页 下页 返回 结束 一、引例一、引例 二、导数的定义二、导数的定义 三、导数的几何意义三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数五、单侧导数 第一节第一节 导数的概念

2、导数的概念 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 s O 一、一、 引例引例 1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 )(tfs 则 到 的平均速度为 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 而在 时刻的瞬时速度为 0 t lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 2 2 1 tgs 自由落体运动 0 t )( 0 tf)(tf t 目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 曲线 )(:xfyC N T 0 x M 在 M 点处的切线 x 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率tan )(

3、)( 0 xfxf 0 xx 切线 MT 的斜率 tank tanlim lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx x y )(xfy C O 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性共性: 瞬时速度 lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 切线斜率 lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 N T 0 x M x

4、x y )(xfy C O s O 0 t )( 0 tf)(tf t 目录 上页 下页 返回 结束 二、导数的定义二、导数的定义 定义定义1 . 设函数)(xfy 在点 0 x 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 存在,)(xf并称此极限为 )(xfy 记作: ; 0 xx y ; )( 0 x f ; d d 0 xxx y 0 d )(d xxx xf 即 0 xx y )( 0 x f x y x 0 lim x xfxxf x )()( lim 00 0h xfhxf h )()( lim 00 0 则称函

5、数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x处可导可导, 在点 0 x的导数导数. 目录 上页 下页 返回 结束 运动质点的位置函数 )(tfs 在 时刻的瞬时速度 0 t lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 曲线)(:xfyC 在 M 点处的切线斜率 lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx )( 0 t f )( 0 x f s O 0 t )( 0 tf)(tf t N T 0 x M x x y )(xfy C O 目录 上页 下页 返回 结束 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xx

6、x 不存在, 就说函数在点 不可导. 0 x 若,lim 0 x y x 也称)(xf在 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作:; y ;)(x f ; d d x y . d )(d x xf 注意注意:)( 0 x f 0 )( xx xf x xf d )(d 0 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 若极限 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求函数Cxf)(C 为常数) 的导数. 解解: y x CC x 0 lim0 即0)(C 例例2. 求函数)()( Nnxxf n .处的导数在ax 解解: ax afxf )()(

7、ax lim)(a f ax ax nn ax lim (lim ax 1n x 2 n xa 32 n xa) 1 n a 1 n an x xfxxf )()( 0 lim x 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明： 对一般幂函数 xy ( 为常数) 1 )( xx 例如，例如，)(x)( 2 1 x 2 1 2 1 x x2 1 x 1 )( 1 x 11 x 2 1 x ) 1 ( xx )( 4 3 x 4 7 4 3 x （以后将证明） 目录 上页 下页 返回 结束 h xhx h sin)sin( lim 0 例例3. 求函数xxfsin)(的导数. 解解: ,xh令 则 )

8、(x f h xfhxf)()( 0 lim h 0 lim h ) 2 cos(2 h x 2 sin h ) 2 cos(lim 0 h x h 2 2 sin h h xcos 即xxcos)(sin 类似可证得 xxsin)(cos h 目录 上页 下页 返回 结束 )1(ln x h 例例4. 求函数xxfln)(的导数. 解解: )(x f h xfhxf)()( 0 lim hh xhx h ln)ln( lim 0 hh 1 lim 0 )1(ln x h 即 x x 1 )(ln 0 lim h h 1 x 1x x 1 0 lim h )1(ln x h h x eln x

9、 1 x 1 目录 上页 下页 返回 结束 则令, 0 hxt 原式 h tfhtf h2 )()2( lim 0 )(lim 0 tf h )( 0 x f 是否可按下述方法作: 例例5. 证明函数xxf)( 在 x = 0 不可导. 证证: h fhf)0()0( h h 0h,1 0h,1 h fhf h )0()0( lim 0 不存在 , .0不可导在即xx 例例6. 设)( 0 x f 存在, 求极限. 2 )()( lim 00 0h hxfhxf h 解解: 原式 0 lim hh hxf 2 )( 0 )( 0 xf h hxf 2 )( 0 )( 0 xf )( 2 1 0

10、 x f )( 2 1 0 x f )( 0 x f )( 2 )( 0 h hxf )( 0 xf 目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 导数的几何意义导数的几何意义 曲线)(xfy 在点),( 00 yx的切线斜率为 )(tan 0 x f 若 ,0)( 0 x f 曲线过上升; 若,0)( 0 x f曲线过下降; x y O 0 x ),( 00 yx 若,0)( 0 x f切线与 x 轴平行,称为驻点驻点; ),( 00 yx ),( 00 yx 0 x 若 ,)( 0 x f切线与 x 轴垂直 . 曲线在点处的),( 00 yx 切线方程切线方程:)( 000 xxxfyy 法线方

11、程法线方程: )( )( 1 0 0 0 xx xf yy )0)( 0 x f ,)( 0 时 x f x y O )(xfy C T 0 x M x y 0 x O 目录 上页 下页 返回 结束 x y O1 1 1 1 例例7. 问曲线 3 xy 哪一点有铅直切线 ? 哪一点处 的切线与直线1 3 1 xy平行 ? 写出其切线方程. 解解:)( 3 xy 3 2 3 1 x, 1 3 1 32 x , 0 x y 0 x 令, 3 11 3 1 32 x 得,1x对应 ,1y 则在点(1,1) , (1,1) 处与直线1 3 1 xy 平行的切线方程分别为 ),1(1 3 1 xy) 1

12、(1 3 1 xy 即 023 yx 故在原点 (0 , 0) 有铅直切线 目录 上页 下页 返回 结束 处可导在点xxf)( 四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 定理定理1. 处连续在点xxf)( 证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim 0 xf x y x 存在 , 因此必有 ,)( xf x y 其中0lim 0 x 故xxxfy)( 0 x 0 所以函数)(xfy 在点 x 连续 . 注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导. 反例反例:xy xy 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 即 x y O 目录 上页 下页 返回 结束 在

13、点 0 x的某个右右 邻域内 五、五、 单侧导数单侧导数 )(xfy 若极限 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 则称此极限值为)(xf在 处的右右 导数导数, 0 x记作 )( 0 xf 即 )( 0 xf x xfxxf x )()( lim 00 0 (左) (左左) )0( x)0( x )( 0 xf 0 x 例如例如,xxf)(在 x = 0 处有 ,1)0( f1)0( f 定义定义2 . 设函数 有定义, 存在, x y O xy 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 函数在点 0 x)(xfy ,)()( 00 存在与xfxf 且 )( 0

14、 xf. )( 0 xf )( 0 x f 存在 )( 0 xf)( 0 xf 简写为 在点处右右 导数存在 0 x定理定理3. 函数)(xf )(xf在点 0 x必 右右 连续. (左左) (左左) 若函数 )(xf )(af)(bf与 都存在 , 则称 )(xf 显然: )(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf 在开区间 内可导,),(ba 在闭区间 上可导.,ba 可导的充分必要条件 是 且 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 6. 判断可导性 不连续, 一

15、定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. ) (C ) ( x ) (sin x ) (cosx axf)( 0 2. axfxf )()( 00 ) (lnx ;0 ; 1 x ;cosx;sin x x 1 增量比的极限; 切线的斜率; 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数)(xf 0 x)( 0 x f )(x f 区别:)(x f 是函数 ,)( 0 x f 是数值; 联系: 0 )( xx xf)( 0 x f 注意注意: 有什么区别与联系 ? )()( 00 xfxf ？ 与导函数 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设)

16、( 0 x f 存在 , 则 ._ )()( lim 00 0 h xfhxf h 3. 已知 ,)0(,0)0( 0 kff则 ._ )( lim 0 x xf x )( 0 x f 0 k 4. 若),(x时, 恒有,)( 2 xxf问)(xf 是否在 0 x 可导? 解解:由题设0)0(f 0 )0()( x fxf x0 由夹逼准则 0 )0()( lim 0 x fxf x 0 故)(xf在0 x 可导, 且 0)0( f 目录 上页 下页 返回 结束 5. 设 0, 0,sin )( xxa xx xf, 问 a 取何值时,)(x f 在 ),(都存在 , 并求出. )(x f 解

17、解: 显然该函数在 x = 0 连续 . )0(f 0 0sin lim 0 x x x 1 )0(f 0 0 lim 0 x xa x a 故1a时,1)0( f 此时)(x f 在),( 都存在, )(xf 0,cosxx 0,1x 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P86 2 , 6, 7, 16(2) , 17,18 , 第二节 牛顿牛顿(1642 1727) 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671 年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版). 他 还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 . 莱布尼兹莱布尼兹(1646 1716) 德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在学艺杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 . 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 解解: 因为 1. 设)(x f 存在, 且, 1 2 )1 () 1 ( lim 0 x xff x 求).1 ( f x xff x 2 )1 () 1 ( li