流体力学-流体静力学[稻谷书苑]

1、 INDEX 流体静压强及其特征 流体平衡微分方程 重力作用下的液体压强分布规律 流体的相对平衡 液体作用在平面上的总压力解析法图解法 液体作用在曲面上的总压力二维曲面 流体静压强及其特征 “静”绝对静止、相对静止 A P p A 0 0 lim 1.静压强定义 平衡状态 2.静压强特征 a.静压强方向沿作用面的内法线方向 N/m2（Pa） 反证法 0F 0)cos(0 xnxx FxnPPF 质量力 x F y F z F 表面力 证明：取微小四面体O-ABC x P y P z P n P b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关 0 6 1 2 1 dxdydzX)xncos(ABCpd

2、ydzp nx dydz 2 1 0 3 1 dxXpp nx 0dx nx pp nzyx pppp )z , y, x(fp 与方位无关 与位置有关 dz z p dy y p dx x p dp p的全微分 流体平衡微分方程 左 P 右 P dxdydzXFx 1.流体平衡微分方程 由泰勒展开，取前两项： 质量力： 0F 0 x FPP 右左 dydzdx x p p 2 1 dydzdx x p p 2 1 用dx、dy、dz除以上式，并化简得 同理 0 1 x p X 0 1 y p Y 0 1 z p Z 欧拉平衡微分方程（1755）0 1 pf （1） （2） （3） 0 2 1

3、 2 1 dxdydzXdydzdx x p pdydzdx x p p 2.力的势函数 (4) 对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得 dpdz z p dy y p dx x p ZdzYdyXdx ）（ y Z z Y x Y y X z X x Z 力作功与路径无关的充分必要条件 必存在势函数U，力是有势力 将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加 dz z U dy y U dx x U dU （4）式可写为： dpdUdz z U dy y U dx x U X x U Y y U Z z U 力与势函数的关系 将上式积分，可得流体静压强分布规律 3.等

4、压面：dp=0 （4）式可写为： 0ZdzYdyXdx l dfl df 0 等压面性质： 等压面就是等势面 等压面与质量力垂直 广义平衡下的等压面方程 gZ gdzZdzdp cgzp积分 写成水头形式： 1.压强分布规律 单位m单位重量能量 cz g p z g p 2 2 1 1 重力作用下的液体压强分布规律 或写成cgzpgzp 2211 单位Pa 物理意义：能量守恒 p/g压强水头z位置水头 压强分布规律的最常用公式： ghpzzgpp 000 帕斯卡原理 （压强的传递性） 00 gzpgzp 适用范围： 1.重力场、不可压缩的流体 2.同种、连续、静止 2.压强的表示方法 a.绝对

5、压强pab 以绝对真空为零点压强 pa当地大气压强 maaab ppghpp pa A h b.相对压强（计算压强、表压）pm c.真空度pv 以当地大气压强为零点压强 pghppp aabm abav ppp 注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成 真空的程度，读正值！ pv 3.压强单位 工程大气压（at） =0.9807105Pa=735.5mmHg=10mH2O =1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤） 标准大气压（atm） =1.013105Pa=760mmHg=10.33mH2O 换算： 1kPa=103Pa1bar=105Pa 4.测压计 例 求pA（A处是水，密度为

6、，测 压计内是密度为的水银） 解：作等压面 ghgapA gahpA 例 求pA（A处是密度为的空气，测压计内是密度为的 水） 解：ghpA气柱高度不计 一端与测点相连，一端与大气相连 5.压差计 例 求p（若管内是水，密度为，压差计内是密度为 的水银） 解：作等压面 hgphgp 21 hgppp 21 h 1 2 两端分别与测点相连 例 求p （管内是密度为的空气，压差计内是密度为 的水） 解：hgpp 21 hgppp 21 h 1 2 6.微压计 sin 1 glghp n h l sin 1 （放大倍数） ZdzYdyXdxdp aX a pp,z ,x00 1.等加速直线运动流体的

7、平衡 在自由面： 相对压强： 边界条件： 等压面是倾斜平面 xzp p gdzadxdp ab a 00 gzaxpp aab gzaxp x g a z0p o g a x z 流体的相对平衡 a 重力（g） 惯性力（a） 由 gZ,Y 0（惯性力） 例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时， B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水 静压强 解：gzaxp a=0.98m/s2，x=1.5m，z=1m，代入 OmH. g p 2 151 注意坐标的正负号 a o B z x 例一盛有液体的容器，沿与水平面成角的斜坡以等加速 度a向下运动，容器内的液体在图示的新

8、的状态下达到平衡， 液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律 解：cosaX gaZsin dzgadxadp zxp 000 sincos gzazaxpsincos 注意：坐标的方向及原点的位置 ZdzXdxdp 2.匀速圆周运动流体的平衡 z r o g 2r ZdzRdrdp rR 2 gZ 边界条件： 000 a pp,z ,r rzp gdzrdrdp 00 2 0 gz r p 2 22 在自由面：旋转抛物面 g r z 2 22 0p 注意：坐标原点在旋 转后自由面的最底点 由 （惯性力） 相对平衡实验演示 应用（1）：离心铸造机 中心开孔 例浇铸生铁车轮的砂型，已知h=

9、180mm，D=600mm，铁 水密度=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂 型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？ 解：PaghpM 4 1024. 1 当砂型旋转 gzrp MM 2/ 22 srn/202 压强增大约100倍 ghrM2/ 22 Pa 6 1025. 1 应用（2）：离心泵（边缘开口） z o 边界条件：当r=R，p=pa=0 r R zp gdzrdrdp 0 2 0 gz Rr p 22 2222 在r=0处， 压力最低真空抽吸作用 gz R p 2 22 应用（3）：清除杂质（容器敞开） 杂质m1，流体m 杂质受力： mg（浮力）

10、m1g（自重） m12r（惯性离心力） m2r（向心力） m1=m不可清除 m1m斜下 例1一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓 连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以 转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力 解：盖板任一点承受的压强为 2 22r p 任一微小圆环受力 rdrppdAdP2 整个盖板受力（即螺栓承受的拉力） gV g R g R rdr r dPP R 44 2 2 4242 0 22 注意：就是压力体的体积V g R 4 42 例2在D=30cm，高H=50cm的圆柱形容器中盛水， h=30cm，当容器绕中心轴等角速度转动时，求使水 恰好上升到H时的转数 解：O点的位

11、置 g R z.zhH z 2 20 22 由上题可知 zR g R 2 42 4 H h o z z m z g R z2 . 0 2 4 22 m g R zz4 . 0 2 2 22 s/rad.972 rpmn17860 2 结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最 低水位的正中间 H h o z z 解得： 例3一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm 转动，求筒内溢出的水量 解： 2 60 2 n 180 2 22 . g R z 利用例2结论 溢出的水量体积 32 02560 2 1 m.RzV rad/s m z 1.解析法 a.总压力 流体作用在平面上的总

12、压力 解析法图解法 pdAdP ghdA dAgysin A ydAgdPPsin AyydA c A 受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩） 注意：h与y的区别 ApAghAyg ccc sin b.压力中心 dPydM 力矩合成 D PydPydMM DC AyghghdAy DC AyydAyy sinsin DC AyydAy 2 Ay I Ay dAy y C x C D 2 dAyI x 2 受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩） 平行轴定理 AyII CCx 2 Ay AyI y C CC D 2 C C C C y Ay I y 常见图形的yC和IC 图形名称 矩形 三角形 C

13、y C I 2 h 3 12 h b h 3 2 3 36 h b 梯形 圆 半圆 ba bah 2 3 ba babah 223 4 36 2 d 4 64 d d 3 2 4 2 1152 649 d 例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开 22m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时， 求作用于此盖板的水静压力及作用点 解：设想打开封闭容器 液面上升高度为 m g PP a 4 807. 9 07.9837.137 0 60 p0 1m 2m o 4m y myC6 . 611 60sin 4 43 33. 1 3 4 12 mh b IC C

14、C C CD ym Ay I yy 65. 605. 06 . 6 46 . 6 33. 1 6 . 6 mhC73. 560sin114 kNAghP C 225 60 o 4m y yC yD C D 2.图解法 依据ghpp 0 PApAghhAgbhghSbV CC 2 1 2 1 作用点：V的形心处2h/3 p0 p0 或ghp 作压强分布图 用分割法求作用点：对AA 求矩 矩形面积三角形面积梯形面积llyD 2 1 3 2 点算起从AyD 例：T为何值，才可将闸门打开？ （1）用分割法求P大小，作用点为D； （2）对A点求矩 TTlADP l Gcoscos 2 G l A T P D 或 Ah J Ay J y c c c D sin （从形心C处算起） C 流体作用在曲面上的总压力 二维曲面 1.总压力的大小和方向 （1）水平方向的作用力 zx ghdAghdAdPdPcoscos zCzC A zxx ApAghhdAgdPP z 大小、作用点与作用 在平面上的压力相同 Px Ax Az （2）垂直方向的作用力 xz ghdA