DVD在线租赁(一等奖)

1、DVD在线租赁(一等奖)在线租赁摘要本文以在线租赁方案为研究对象，在题目中所给出的调查数据的基础上，根据不同会员的需要，建立优化模型，探讨在不同情况下如何分配各种数量使得会员的满意度最大。对于问题一，基于各种的需求数量是一个随机变量，满足二项分布，并趋于正态分布，由此建立基于二项分布的随机模拟模型，利用中心极限定理，得出想看该最多的会员人数，再结合每张的平均利用率，得出在不同置信水平下，网站应准备的的张数。在置信水平为50%时，一个月内：的张数为：6260，3133,1568,785,315；三个月：的张数为：3965,1984,993,497,199。对于问题二，建立0-1规划数学模型，将1

2、00种合理地分配给1000位在线订单的会员，以使会员的满意度最大。首先，采用倒数形式将会员对各种的偏爱程度转化为满意度，由此建立目标函数：及列出其相应的约束条件，运用软件求出的最优分配方案，并列出了其中前30位会员希望看到的具体分配情况。 对于问题三，运用多目标规划模型，求解每种的购买数量及对的分配方案。由于有60%的会员每月会租赁两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，所以分阶段进行求解。第一次租赁时，建立满意度函数，得出第一目标满意度最大为1741；第二目标的购买数量为2850张；第二次租赁时，在第一次租赁的基础上考虑了月中时归还的情况，得出100种的购买总数量为3111张，并列出了部分会

3、员的分配情况。对于问题四，在的需求预测时，采用多种预测方法相结合，例如简单随机抽样、分类预测和灰色预测等，得出最终需要的信息；在的购买与分配时，在预测市场需求的基础上，结合会员满意度，运用多目标规划模型确定购买及分配方案。 关键词 满意度 0-1规划 多目标规划模型 最优分配方案一、问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周

4、到的服务。考虑如下的在线租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购租赁服务。会员对哪些有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张，这些是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张。会员看完3张之后，只需要将放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁两次，而另外的40%只租一次。

5、假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该呢？2）表2中列出了网站上100种现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（具体数据请从，如何对这些进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即）分别获得哪些。3）继续考虑表2，并假设表2中的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种的购买量，以及如何对这些进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在的需求预测

6、、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。二、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：（1）一个周期结束，所租赁出的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；（2）一个会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度；（3）会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回网站之后，才能进行第二次租赁；（4）每个会员同一种DVD只租赁一次；（5）DVD在租赁过程中无损坏；（6）会员租赁各DVD时是相互独立事件；（7）需要二次租赁的会员都是在月中归还，在月中再借。三、符号说明及名词解释

7、为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明。）符号说明每张光盘利用次数的期望第个会员租赁第种会员租到第种的概率的需求量会员总数第个会员对第张的偏爱程度第个会员对分配到的第张的满意度第种的库存量根据第二次租赁订单第个人的需求网站采购碟片的数量第二次订单中各会员相应的满意度为分阶段购买时，第种的数量会员使用的时间的天数会员使用该为天的概率四、问题分析对于问题一，共有2小问，第一问要求我们在假设该网站现有10万个会员的情况下，根据对1000个会员的调查结果来确定至少准备的的数量，并且这个最小数量能够让想看到该的会员中至少50%在一个月内能够看到该。首

8、先，根据60%的会员每月租赁两次,而另外的40%会员只租赁一次，可以求出每张光盘的平均利用率。由于问卷调查的随机性较大，所以引入置信水平这个概念，计算在各个置信水平下，观看该的人数最大值，并用之除以每张光盘的平均利用率即可得到在该置信水平下第种应准备的数量，对于第二小问，求解保证在3个月内至少95%的会员能够看到该DVD的数量，运用同样的方法，只需变换每张光盘的平均利用率。对于问题二，要求将100种合理地分配给1000位在线订单的会员，并使得会员的满意度最大。本问题类似于指派问题，因此运用0-1规划模型，决策变量为第个会员是否租到第种，题目中只给出了会员对每种的偏爱程度，所以将会员对的偏爱程度

9、转化为满意度，构造满意度函数，列出约束条件，并求解该目标函数的最大值。对于问题三，分析题目所给的条件，我们首先要明确作为经营管理人员，不仅要使得会员满意度达到最大值，还要使网站的经营成本最小，这是一个多目标规划问题。又由于一个月存在租赁一次和两次的会员，所以进行分阶段求解。第一阶段在月初，利用表2的数据，随机抽取950人，并尽量满足他们的订单中偏好程度为1,2,3的，由此得出第一阶段购买方案；第二次租赁在月中进行，此时要在第一阶段的基础上，考虑60%会员归还的数量。对于问题四，将对的需求预测、购买及分配问题进行研究。对于的需求预测，我们采取随机调查问卷、分类预测、关联预测、灰色预测等多种预测模

10、型相结合的方法，得出经营者所需的需求信息。对于的购买及分配，我们假设每位会员每次可以租赁数量为1-3，每月可租赁次数不限，且对于选择过的不会再次选择，构建双目标函数，列出约束条件，建立了具有普遍适用性的模型。五、模型的建立与求解经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。5.1问题一的模型建立与求解5.1.1一个月时题目中共给出了5种的种类，求解保证至少50的人一个月内看到各种需要准备的最小张数，接下来以的计算为例，根据题目已知条件，可以分析出计算公式如下： （1）因此，要求出应准备的数量，即求出愿意观看的人数、能看到人数的比例和每张的平均利用率这三个量，步

11、骤如下：1、每张光盘的利用次数期望分析题目可知，60%的会员每月租赁两次,而另外的40 %会员只租赁一次,把每月租赁2次的会员叫做类会员，把每月租赁1次的会员叫做类会员，每个会员能到租到是一种等概率事件，假设光盘第一次被每月租两次的会员租,则光盘一个月能利用两次,即可被两个会员租到,被只租一次的会员租的光盘一个月只能利用一次。可得到:每个光盘在一个月能利用次数的期望为:2、概率计算 根据题目已知条件，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数，由此可以得出第张被租的概率，见表1：表1 对1000个会员调查的部分结果名称愿意观看的人数200100502510第张被租的概率0.20

12、.10.050.0250.01由于一般用样本均值代替总体均值，所以10万个会员中的需求概率可以用1000个会员中的需求概率来代替，即。3、愿意观看的人数 对于每个光盘，是否被租赁是随机的，且只有两种情况，租赁或不租赁，因此设随机变量表示第个会员租赁第种，则显然，随机变量服从两点分布，；，其中为会员租到第种的概率，又由于会员之间是否租赁第种是相互独立的，所以的需求数量是满足二项分布的。所以是服从参数的二项分布，记为。于是, (即有个会员想看,个会员不想看)的概率为:其中是每个会员想看的概率,为0.2，是网站会员总数,。若每个会员同时看到，则网址至少准备5万张，来应付这种概率极其小的极端情况，对于

13、网站来说，也存在着极大的资源浪费，由于抽样调查的随机性，不能确认是否能完全针对10万个会员的喜好，所以保证一个月内看到的会员至少在50%，只能在一定置信水平上办到，计算在置信水平下保证希望看到该的总会员人数上限。当置信水平为0.5时：由中心极限定理1：样本看的会员人数是从总体中随机抽选出来的，而样本容量为10万，已足够大，所以样本的平均值就以总体的平均值为中心呈正态分布，记为：其中为随机变量的数学期望，为标准方差，由此得出：运用2编程（见附录一）得到。在3个未知量都求解出来后，运用公式（1），可以得出在置信水平为50%时，应准备的数量为6260。运用此方法，变换每种的需求概率可以算出的数量分别

14、为：3133,1568,785,315。为了使结果更全面，本文计算了在不同置信水平的情况下，5种应准备的数量，结果见表2：表2 保证至少50的人一个月内看到该DVD需要准备的张数置信水平50%62603133156878531560%62713141157478931870%62383150158179432180%63013163159080132590%63153174159880732999%634231941613817335可以看出,当置信水平为50%时，解出的与2万很接近。事实上, 2万是均值，概率模型可以看出, 这个数值只能达到50%的置信水平。于是,只要比2万稍微大一点(增加1

15、% ), 就可以使得置信水平从50%上升到90%。所以, 应该准备6315张, 比起确定性模型中的6250, 多准备65张是值得的, 而却没必要准备更多的。而随着的增大,与均值相对越来越接近, 当时,用概率模型和确定性模型得出的结论是一样的。5.1.2三个月时要求保证三个月内至少95%的会员能够看到该。通过转化问题，将每张光盘的数学期望计算成4.8，把问题看转化成一个月让95%的会员能够看到该。同样运用公式（1），其他两个未知量的计算方法一样，最后得出在不同置信水平下，5种应该准备的数量，见表3：表3 保证至少95%的人三月内看到该DVD需要准备的张数置信水平50%39651984993497

16、19960%3971198999750020170%39791995100150320380%39902003100750720690%40002010101251120899%4017202310215182125.2问题二的模型建立与求解网站要将100种合理的分配给1000位在线订单的会员，并保证使得会员的满意度最大，在接受到订单时，网站管理人员需要考虑的是各种类的偏爱程度以及该种类的现有数量；而对于会员来说，满意度主要与两方面有关：收到的时间和对各的偏好程度。如图1所示：图1 满意度的构成满意度应由偏爱程度和收到的时间二者相乘而的，但此处仅考虑某一次的分配，并且在制定方案后，网站同时将寄

17、往所有会员，因此各会员收到的时间相等，满意度就仅由会员对的偏爱程度的差异所决定。在这里，我们规定当会员接收到偏爱程度最高的3张时，满意度最大，这类似于指派问题，因此在本问题中运用0-1规划模型，决策变量为第个会员是否租到第种，则会员的满意度由两部分组成，首先网站管理人员要使会员接收到的为会员在线订单中的；其次，网站管理人员要将会员偏爱程度较高的订单优先发送，所以满意度函数为：其中为第个会员对分配到的第张DVD的满意度，分析题目中的表2，对于1000位会员，其对100种的偏爱程度（其中表示第个会员对第张的偏爱程度）大约分为10个等级，用数字1,210表示，数字0表示对应的当前不在会员的在线订单中

18、。的数字越大，表示偏爱程度越小，会员得到该时的满意度越小，因此本文通过会员对每种的偏爱程度来体现满意度，为了方便计算，使数值越大，满意度越大，所以定义偏爱程度与满意度关系如下：由此得到会员的满意度矩阵为：约束条件：1）网站分发给会员每种的数量，不能超过现有的库存量；2)又网站从社会效益的角度考虑，通过会员的总满意度来决定分配方案，为了最大限度地不使网站的顾客流失，所以尽量保证会员都接收到3张。由以上2个约束条件，可以得到满意度的函数为：运用3编程（见附录二）可以得到前30位会员获得的情况，见表4表4 前30位会员获得的情况123123841985584976416247516732508041

19、607871841266686116668456189195366455053826813855573135712981955378100374176556085969815963662268952314150587821789683437235289263055136685376298从表4中我们可以清楚的看到这30个会员中每个会员所分配的光盘种类，并且使他们获得最大的满意度。5.3问题三的模型建立与求解作为网站经营管理人员，要全方位考虑问题，不仅要使得会员满意度达到最大值，还要使得网站的经营成本最小，也就是使光盘的购买数量最少，这是一个多目标规划问题，题目中要求使1个月内95%的会员看到他

20、想看的，其中有60%的会员每月会租赁DVD两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，显然本问题是一个多阶段决策问题，需要分阶段进行求解，因此我们假设一个月会有两次订单，分别在月初和月中，网站分2次进行购买：5.3.1第一阶段购买 当会员进行第一次租赁时，首先利用表2的数据给出第一阶段购买方案。对于网站经营管理人员，提早知道了这1000个会员的订单要求，要使1个月内95%的会员看到他想看的，并且光盘购买数量要最少，所以网站经营人员会随机抽取950人，并尽量满足他们的订单中偏好程度为1,2,3的，而另外50人，由于要是经营成本最小，所以分配到的数量为0。会员的这种分配类型可用0-1变量表示，并规定其

21、取值为：将第种的购买数量记为，结合问题二可以确定目标函数为：，约束条件：1），为了然满意的会员完全满意，只能忽略5%不满意的会员，因此会员只会分到0或3张；2）为了资源利用率达到最大化，所以会员订购的第种的总数量为该种类的库存量；3）要使总成本最小，所以网站只保证950人分配到3张。所以，最后得出多目标函数为：，由于双目标规划难以在中实现，因此我们将总购买量最小这一目标放到约束条件中，得到这一约束条件。运用编程（见附录二），得到第一目标满意度最大为1741.67；第二目标的购买数量为2850张，经统计整理，100种的最优购买数量见表5：表5 100种的最优购买数量种类购买数量1-2021,34

22、,26,38,20,27,29,33,30,24,29,31,33,30,26,38,27,24,29,3721-4033,28,34,22,28,27,26,19,23,40,26,33,30,29,37,34,20,23,24,2741-6049,34,24,34,34,25,31,23,29,32,39,26,32,26,28,31,30,28,34,3361-8026,31,29,32,31,29,27,31,31,28,35,34,22,30,26,22,20,28,29,2681-10027,15,21,18,30,20,34,22,24,23,37,27,23,21,37,24,

23、35,30,17,32由表5我们可以知道每种应准备的张数，且总张数为2850张。由于1000位会员的分配情况较复杂，且数据量太大，在此本文只列出其中部分会员（会员到会员）的具体分配情况，见表6：表6 会员到会员的具体分配情况123123882986849764244475167450804160787184167848611666845618916195345536582681385557157199298195537810041767955608596994195963226895273122425821789683482234352304455138588137625.3.2第二阶段购买

24、假设第一次在月初时对进行购买并分配，第二次在月中将有60%的会员返还并进行二次租赁，题中没有给出60%的人第二次租赁的订单，我们将利用题目中的表2，随机选取600（）位会员的在线订单，作为第二次租赁订单。为了方便求解，本文选取前600位会员作为第二次租赁的会员。这600位会员在第一次租赁时，网站已经将会员偏爱程度较高的优先分配，由于会员2次租赁中，不会重复租赁同一种，所以在第二次订单中他们偏爱程度编号为1，2，3的的需求应记为0（否则，因为目标函数是满意度最大，所以最后得出的还是偏爱程度编号为1，2，3的的需求），此时，这60%的会员的最大满意度由2部分组成：部分会员在第一次租赁要求已满足的基

25、础上，分配到偏爱度为4,5,6的和部分第一次未租赁到的会员在第二次时获得偏爱程度为1，2，3的。记第二次订单中各会员相应的满意度为，其中表示网站是否未为会员购买第种，这样避免了会员两次租赁时的重复，如果第个会员在第一次分配到第张时，则在第二次分配中，第个会员对第张DVD的满意度为0。由此得到在第二次租赁时满意度的目标函数为：，其中，为根据第二次租赁订单第个人的需求网站采购碟片的数量，为第二次订单中会员的满意度。约束条件： 1）每个会员只能租赁0或3张；2)为了使会员满意度最大，至少保证各类的购买总数大于总需求量。综上所述可以得到在第二次阶段时，网站管理人员应购买的数量如下：， 由于双目标规划难

26、以在中实现，因此我们将总购买量最小这一目标放到约束条件中，得到这一约束条件。第一次租赁的有60%会在定期内返还，所以在本月再次出租时这部分返还的可以再次租赁。这时，为了求得最少的数量，我们必须充分利用这些，当第二次租赁的总数大于第一阶段会员还回来的总数时，网站只需在原有的第一阶段购买的的数量上，加上第二次分配需要的数与月中会员归还的数的差值；当第二阶段租赁的总数小于第一阶段会员换回来的的数量时，第二阶段就不用购买，综上所述，可以得出网站购买的各类数量：其中，表示网站在第二次租赁时，购买第张的数量。运用编程（见附录三），得出100种的购买总数量为3111张，而各种的购买数量见表7：表7 100种

27、的购买数量种类购买数量1-2030,35,34,37,31,26,30,33,35,30,27,29,27,29,26,38,35,29,33,3721-4032,29,35,29,27,28,27,24,28,40,28,33,36,28,40,33,30,27,26,3241-6049,38,26,34,37,30,31,23,30,32,39,30,30,26,30,38,33,28,31,3361-8026,32,31,42,30,40,31,33,36,41,34,33,24,33,24,21,28,29,30,3481-10029,18,26,25,33,33,33,24,23,3

28、0,38,29,31,32,38,24,33,31,24,34由表7我们可以知道每种应准备的张数，且总张数为3111张。由于1000位会员的分配情况较复杂，且数据量太大，在此本文只列出其中部分会员（会员到会员）的具体分配情况，见表8：表8 会员到会员）的具体分配情况12312311149104876562715113131329012178123496825669012213418334027666722550456682258186173135366775101770374372541672381906166828839154598638504980924647574246892633892

29、452707084985.4问题四的模型建立与求解作为一名网络的经营者，在经营过程中，主要考虑以下几个方面的问题：对进行市场需求预测；利用市场预测的结果并结合在线会员的订单，选取购买方案，进行合理分配。在这个过程中，要从经营者长远利益考虑，因而一方面减少购买所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。以下将建立相关模型，解决上述问题。5.4.1的需求预测对于市场需求的预测有很多，以下几种预测可以相互结合，得出最终需要的信息。简单随机抽样，对于本文也就是通过网站对会员进行随机问卷调查，由此可以掌握他们对各种的偏爱程度，统计每种DVD的数量概率，进而推测会员的需求信息；分类预测，由于会员在选看DV

30、D时，性别、年龄、知识水平、宗教信仰等都会影响他们的兴趣。因而，可以将DVD进行分类，同时利用会员信息预测对该感兴趣的人群数量；关联预测，一个导演会有多部片子，一个演员也会出演很多部片子，会员都会有很多自己的影迷，因而我们可以通过网站以前关于该导演的片子或该演员出演的片子感兴趣的人群预测下一部某导演或某演员的片子的市场需求；灰色预测，收集每段时间会员对不同的需求量，进而预测出下一时期的需求量。5.4.2的购买与分配利用市场需求预测的相关信息，结合会员满意度，确定购买及分配方案。一方面减少的购买量，另一方面最大化满足各会员的需求。本文假设会员人数为，种类数为，网站拥有第种的数量为，每位会员每次可以租赁的数量为0-3，一个月内会员可租赁次数不限，假设会员不会选择租赁过的。会员使用的时间为天（即从租出到归还的时间），则该在一个月内可重复使用次数为，通过网站以往数据可以得出会员使用该为天的概率，即可得到该张可重复利用的期望。因此可建立如下模型：其中，表示第个会员对分配到第张的满意度。对于不同的网络经营者，针对不同的需