3.1.1 直线的倾斜角与斜率

1、精选ppt1 3.1.1 直线的倾斜角与斜率 精选ppt2 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何 表示呢？表示呢？ x y O l P（x，y） 为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索 确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方 法把这些几何要素表示出来法把这些几何要素表示出来 精选ppt3 对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线 l ，它的，它的 位置由哪些条件确定？位置由哪些条件确定？ x y O l 精选ppt4 我们知道，

2、两点确定一条直线一点能确定我们知道，两点确定一条直线一点能确定 一条直线的位置吗？已知直线一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点经过点P，直线，直线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？ x y O l l l P 精选ppt5 过一点过一点P可以作无数条直线可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ， 它们都经过点它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线（组成一个直线束），这些直线 区别在哪里呢？区别在哪里呢？ x y O l l l P 精选ppt6 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述 直线的倾斜程度呢？直线的倾斜程度呢？ x y O l

3、l l P 精选ppt7 当直线当直线 l 与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，轴作为基准， x轴正向与直线轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角 叫做叫做直直 线线 l 的倾斜角的倾斜角（angle of inclination） x y O l 当直线当直线l与与x轴平行或重合时，规轴平行或重合时，规 定它的倾斜角为定它的倾斜角为 . 直线的倾斜角直线的倾斜角 的取值范围为：的取值范围为： .1800 0 精选ppt8 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，平面直角坐标系中每一条

4、直线都有确定的倾斜角， 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角， 度相同的直线其倾斜角相同度相同的直线其倾斜角相同 倾斜程倾斜程 x y O l ll 已知直线上的一个点不能已知直线上的一个点不能 确定一条直线的位置；同样已确定一条直线的位置；同样已 知直线的倾斜角知直线的倾斜角也不能确定也不能确定 一条直线的位置一条直线的位置 但是，但是，直线上的一个直线上的一个点点和和 这条直线的这条直线的倾斜角倾斜角可以唯一确可以唯一确 定一条直线定一条直线 精选ppt9 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是：何要素是： 直线上的

5、一个直线上的一个定点定点以及它的以及它的倾斜角倾斜角， 二者二者 缺一不可缺一不可 x y O l P 精选ppt10 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？ 前进量前进量 升升 高高 量量 前前进进量量 升升高高量量 坡坡度度（比比） 精选ppt11 前进前进 升升 高高 例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者更比较，前者更 陡一些，因为坡度（比）陡一些，因为坡度（比）. 2 2 2 3 前前进进量量 升升高高量量 坡坡度度（比比） 精选ppt12 通常用小写字母通常用小写字母k表示，即表示，即 tan k 一条直线的倾斜角的正切值叫

6、做这一条直线的倾斜角的正切值叫做这 条条直线的斜率直线的斜率（slope）. 倾斜角是倾斜角是 的直线有斜率吗？的直线有斜率吗？ 90 倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率不存在的直线的斜率不存在 90 )90( 如果使用如果使用“倾斜角倾斜角”这个概念，那么这里的这个概念，那么这里的“坡坡 度（比）度（比）”实际就是实际就是“倾斜角倾斜角的正切的正切” 精选ppt13 如：倾斜角如：倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率 45 . 145tan k 当当 为锐角时，为锐角时， .tan)180tan( 如：倾斜角为如：倾斜角为 时，由时，由 135 145tan135tan k 即这条直线的斜率为即

7、这条直线的斜率为 . 1 倾斜角倾斜角不是不是90的直线都有斜率，并且倾的直线都有斜率，并且倾 斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜 率表示直线的倾斜程度率表示直线的倾斜程度 精选ppt14 已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？ 给定两点给定两点P1 （ x1 ，y1），）， P2 （ x2 ，y2），）， 并且并且 x1 x2，如何计算直线，如何计算直线P1 P2的斜率的斜率k 精选ppt15 当当 为锐角时，为锐角时， ., 212121 yyxxPQP 在直角在直角 中中QPP 21 12 12

8、1 2 21 | | tantan xx yy QP QP PQP 设直线设直线P1 P2的倾斜角为的倾斜角为 （ 90 ），当），当直线直线P1 P2的的 方向（即从方向（即从P1指向指向P2的方向）的方向） 向上时，过点向上时，过点P1作作 x 轴的平行轴的平行 线，过点线，过点P2作作 y 轴的平行线，轴的平行线， 两线相交于点两线相交于点 Q，于是点，于是点Q的坐的坐 标为（标为（ x2，y1 ） 精选ppt16 tan)180tan(tan 当当 为钝角时，为钝角时， ,180 21P QP , 21 xx . 21 yy 在直角在直角 中中QPP 21 12 12 21 12 1

9、2 | | tan xx yy xx yy QP QP .tan 12 12 xx yy 精选ppt17 同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有 12P P .tan 12 12 xx yy 精选ppt18 1已知直线上两点已知直线上两点 ，运用，运用 上述公式计算直线上述公式计算直线 斜率时，与斜率时，与 两点坐标的顺两点坐标的顺 序有关吗？序有关吗？ ),(),( 222111 yxPyxP AB 21,P P 无关无关 2当直线平行于当直线平行于y 轴，或与轴，或与y 轴重合时，上述斜轴重合时，上述斜 率公式还适用吗？为什么？率公式还适用吗？为什么？ 不适用不适用 精选p

10、pt19 当直线当直线 与与 轴平行或重合时，上述式子还成轴平行或重合时，上述式子还成 立吗？为什么？立吗？为什么？ 12 PPx 经过两点经过两点 的直线的的直线的 斜率公式为：斜率公式为： )(,(),( 21222111 xxyxPyxP .tan 12 12 xx yy 成立成立 精选ppt20 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求，求 直线直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角的斜率，并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角是锐角还是钝角 ),2 , 3(A),1 , 4( B)1, 0( C 解：直线解：直线AB的斜率的斜率 ; 7 1 34 21 AB k ; 2 1

11、4 2 )4(0 11 BC k 直线直线BC的斜率的斜率 直线直线CA的斜率的斜率; 1 3 3 30 21 CA k 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均的倾斜角均 为锐角；由为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角 0 AB k0 CA k 0 BC k 精选ppt21 例例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率 分别为分别为1，-1，2及及-3的直线的直线 及及 321 ,lll 4 l , 0 0 1 1 1 x y 即即 . 11 yx 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的 坐标是坐标是 ，根据斜率公式，根据斜率公式 有有: 1 l ),( 11 yx 1 A 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过过 原点及原点及 的直线即为的直线即为 1 1 x1 1 y 1 A)1 , 1( )1 , 1( 1 A