线性代数 北京理工大学出版社 习题解答

1、第一章 行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性； 3. 理解阶行列式的概念和阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的阶行列式；4. 掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解.1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式：(5)

2、 2计算三阶行列式： (2) 3求解方程解 故原方程的解为4用行列式解下列方程组：(1) (2)解 (1) 故所求的方程组有唯一解：(2) ， 故所求的方程组有唯一解：6. 当取何值时，解 解得1.3 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子的项.解 利用阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个已知因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为和.又因为，所以四阶行列式中含有因子的项为和，即和.3. 已知，用行列式的定义求的系数.解 的展开式中含的项只

3、有一项：，故的系数为.4. 利用行列式的定义计算下列行列式:(2);解析 由阶行列式的定义可知:行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代数和.因为第1行只有一个非零元素1，先取，则第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取，则第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取，则第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取，那么行列式的结果为;补充练习1. 由行列式的定义写出的展开式中包含和的项.解 的展开式中含的项只有一项，而含的项有两项和，从而展开式中含的项为：.1.4 行列式的性质1. 利用行列式的性质计算下列行列式： (2) (3) 由于

4、每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.(4) 2. 证明下列等式： （2）;（3）; .证明 (2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.; (3) 由性质4，将的第1列拆开，得 ,将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取，得 ，将第1个行列式第2、3列提取，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式， ;3. 计算下列阶行列式.(1); (2);解 (1)把第列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子，提取公因子之后，再给第1行乘以加到第行，化

5、成上三角形行列式，得到行列式的值. ; (2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得 ;4. 求方程的根.解 第1行乘以加到第行，得如下行列式:再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.即可求出根:.补充练习2. 已知行列式，求行列式的值.解 =.1.5 行列式按行（列）展开1. 求行列式中元素5与2的代数余子式.解 元素5的代数余子式为 元素2的代数余子式为2. 已知四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解 由行列式按行（列）展开定理，得 3. 求下列行列式的值（2）（3）所求行

6、列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得4. 讨论当为何值时，行列式.解 所以，当，且，且时，.5. 计算阶行列式(3)按第1列展开，得上式右端的行列式再按第一行展开，得移项，得 ，递推，得 从而得把上面个等式相加，得7设四阶行列式试求的值，其中（）为行列式的第4列第行的元素的代数余子式.解 根据行列式按行（列）展开定理的推论，有即 1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法则解线性方程组（3）解：所以方程组有唯一解. 又 所以方程组的解为， ， . 2满足什么条件时，线性方程组有唯一解？解 由克莱姆法则知，当系数行列式，线性方程组有唯一解，当时， ，即当时，题设的线性方程组有唯一解.3

7、当为何值时，齐次线性方程组有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：，. 4和为何值时，齐次线性方程组有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式，由得：或.即当或时，方程组有非零解.5求二次多项式，使得，.解 由，得要求二次多项式需要求出系数，即要求出上述非齐次线性方程组的解.由其系数行列式所以可用克莱姆法则求解.由于从而，.即所求的二次多项式为.补充练习2系数满足什么条件时，四个平面相交于一点（）？解 把平面方程写成如下形式，（，），于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组有一非零解（）.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式，即四个平面相交于一

8、点的条件为3设平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），求系数.解 由平面曲线通过点（1，0），（2，-2），（3，2），（4，18），得我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数.，又，从而，.第二章 矩阵学习要求 1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念，掌握通过伴随矩阵求可逆矩阵的方法；4. 知道分块矩阵的概念及其运算规律； 5. 了解

9、矩阵等价的概念，掌握矩阵的初等变换，并能用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形掌握用初等变换求逆矩阵和矩阵方程理解初等矩阵的定义及其理论;6. 理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的相关性质，并能用初等变换求矩阵的秩; 2.1 矩阵的概念2图2.1表示了省三个城市和省三个城市相互间高等级道路的通路情况.试用矩阵表示省和省之间的通路情况. 解图2.1中两省的城市相互间的通路情况可以用矩阵表示，规定矩阵元素由上规定，省和省之间的城市通路情况可用下列形式表示： ，记为 矩阵.补充练习1. 图2.2表示某物质在四个单位之间的转移路线. 设图2.23412试用矩阵表示该物质在这四个单位之间的转移路

10、线.解 图2.2中物质在四个单位间的转移情况可用一个矩阵表示： .2若有线性变换，试写出该线性变换的矩阵.解 该线性替换的矩阵为阶单位矩阵：.3某一城市在2000年的城市和郊区人口数量分别为和，一年后约有5%的城市人口移居郊区（其他95%留在城市），而2%的郊区人口移居城市（其他98%留在郊区）.假设2001年的城市和郊区人口数量分别为和，请用线性方程组表示2001年该市的城市和郊区人口分配情况，并写出相应的移民矩阵.解 根据题意，可写出下列方程组 该方程组的系数即构成了移民矩阵，即 记为.2.2 矩阵的运算1.设，计算和.解 2、计算（4） （5） 5.设矩阵为某公司在第一季度生产的四种产品

11、、的产量表： 一月二月三月 ，矩阵为这四种产品的生产成本的各种费用： 原材料 人工 杂费 ，求该公司第一季度各月生产这四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费.解 记该公司第一季度各月所需费用为矩阵 原材料 人工 杂费一月二月三月那么 是一月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费 是二月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费 是三月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费根据矩阵乘法定义，有 .所以 一月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费各为450000、31100和16900；二月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为430000、38700和21200；三

12、月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为270000、18100和10760. 补充练习2.设，计算.解 本题的求解方法是：先根据方阵的幂的定义，具体计算，并从中找出的规律. 找到规律后，用数学归纳法证明该规律. 由以上的各次幂的计算结果可推断以下用数学归纳法证明的幂的规律：当时，显然成立；设当时，成立，于是则有当时， 故由归纳法得 成立. 3.计算（3）此题有两种求解法：方法一：先求矩阵乘积再转置. 故有 方法二：利用矩阵转置运算规律.故有 4.设, ，求.解 此题有两种求解方法：方法一： 方法二：先求矩阵乘积，再作转置.5.设列矩阵，满足，为阶单位阵，证明（1）矩阵是对称阵；（2）.证明（

13、1） 根据对称阵的定义，所以矩阵是对称阵（2）方法一： .由已知，所以 方法二： 由于矩阵乘积是一个阶方阵，而任一阶方阵与阶单位阵是可交换的 即 ，所以 由已知，所以 2.3可逆矩阵1. 求矩阵的逆矩阵.解 因为,故可逆. 又由于, ,. 所以，；，.2. 设方阵满足，证明可逆，并求可逆矩阵.证即.3. 求解下列矩阵方程的：（1）设矩阵,；(2) .解（1）. 又, , ,，即.(2) 因为. 又由于5.用逆矩阵方法求解下列方程（1） 解 方程可写为：设 , 所以可逆.又, ,.6. 设是三阶矩阵，,求解,可逆. 又因为.7. 设, 求.解可逆，且. 又,所以可得.由得 以及 . 又. 则可逆且.补充练习1. 设矩阵,，求.解方法1：得. 而,故可逆，且所以.，又,故可知可逆，且.方法2：则得到 （1）可得 因为,所以,可逆将（1）式两边同时右乘，得到，进而 .2. 已知的伴随矩阵为 且,求矩阵解 首先由来确定（ 由 )可知,故, 由 ，可得: .求解该矩阵方程有两种方法：方法1：先求出. 由,可知，-1可逆. .方法2：，得即.因. 得故 ，所以可逆， 因此 由此可得 2.4分块矩阵1.,，求解 把按以下方式分块为, 其中，.又设, 其中,.则.2. 设矩阵，求和.解 令 ,其中,.所以.又,.所以，.3. 设