数学建模证券投资基金

1、精品 料推荐2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d 中选择一项填写）：a我们的参赛报名号为（

2、如果赛区设置报名号的话）：第十组所属学校（请填写完整的全名） ：中国计量学院参赛队员(打印并签名 ) ： 1.韦磊2.丁林锋3.储江龙指导教师或指导教师组负责人(打印并签名 )：日期： 2009 年 8 月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：1精品 料推荐2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2精品 料推荐摘要在充分理解题目意思的基础上， 我们对题目进行了相关的假设。 在经过深

3、入分析后，我们将通过实证设计描述、收益率评价法对基金进行收益与风险评价，并建立了证券组合分析模型和双目标规划模型。在模型的准备阶段我们做了很多工作：（一）单个证券基金的收益和风险分析（二）证券组合的收益和风险分析方法（三）证券组合的可行域和有效边界求解（四）个人偏好与无差异曲线对于问题一，我们进行了实证设计，通过excel和 minitab 15 软件对选取的14 支基金的数据进行处理，并用采用了收益评价法对收益和风险进行了评价，得到了 05 年、 06 年的基金绩效和风险的评价。对于问题二， 我们首先使用了证券组合分析法模型， 得到了证券组合的中风险和收益的定性结论，验证了高风险、高收益，低

4、风险、低收益的理论。紧接着我们通过建立收益和风险的双目标规划模型， 采用偏好系数加权法转化为单目标， 使用 winqsb和 1stopt 软件进行求解得到了定量的组合数据。对应与不同的风险偏好系数的取值范围，得到不同的基金组合方案（见正文表5-2 ），并对模型进行了评价。在模型的改进中，我们将 14 支基金转变为 7 支基金，进行组合求解，得到结论：通过对基金进行筛选后得到的结论和原结论基本相同。在最后我们给出了模型的总体优缺点评价。关键词： 投资组合收益与风险评价偏好系数加权法双目标规划模型1精品 料推荐一、问题重述随着证券市场法规和各项基础制度建设不断完善，基金业的发展十分迅速，同时，投资

5、者数量快速增加。证券投资基金是一种实行组合投资、专业管理、利益共享、风险公担的集合投资方式， 而以证券投资基金为可选投资目标证券的证券投资基金称为复合基金 （ fund of funds） 。不同的投资方式都伴随着相应的风险和收益，因此任何投资策略实际上都是在寻找收益与风险之间的均衡。为此选择我国公开发行的契约型 -开放式 -股票型基金为可选投资目标基金。试对它们 2005 年 1 月以来的收益与风险进行评价 （根据自己的数据采集、 处理能力选取适当规模的数据，附件中也给出了部分数据） 。基于你的评价结果，根据投资者的风险收益偏好，构建复合基金之投资组合。二、问题分析考虑题目的题设和相关要求，

6、我们进行下述的分析对于问题的第一问，对可选投资目标基金的收益和风险进行评价实际上就是对契约型 - 开放式 - 股票型基金进行实证研究。在对基金的业绩进行实证研究之前，首先要进行实证设计描述。这包括样本基金的选择、基准组合的选取、无风险利率和基金周收益率的选择、 数据来源及应用软件的确定等。 实证研究时， 根据各个基金的一段时间的日累计收益值求得周收益率平均值、 周收益率标准差及其排名，然后用收益率评价法对各个基金作出评价。基于模型中的第二问， 根据投资者的风险收益偏好， 构建复合基金之投资组合。分析可知，基金组合是在于选取适当的方法选择多种基金作为投资对象， 已达到在保证预定收益的前提下使投资

7、风险最小或者在控制风险的前提下试投资收益最大化的目标， 避免投资过程的随意性。 在此模型中， 我们可以通过采取两种方法对投资组合进行构建分析。 首先我们采用证券组合分析方法， 求出所选基金组合的可行域和有效边界，再依据投资者个人偏好，选出不同的无差异曲线，则最满意的有效组合， 即为无差异曲线簇与有效边界的切点所表示的组合。 这样我们就可以得到相应的定性分析。 我们再依据方法二， 我们制定相应双目标规划模型，再根据投资者不同偏好， 我们得到偏好系数加权， 将双目标转变为单目标，定量地求出不同偏好的投资组合。 这样就可以定性分析， 定量求解得到投资基金组合。三、模型假设和符号说明3.1 模型假设1

8、. 在基金的绩效分析中不考虑非系统风险。2. 投资收益按周平均收益率多少来表示，风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映，因此，我们用标准差来表示风险的大小。3. 由于选择契约型 - 开放式 - 股票型基金为投资目标基金，在买卖基金时不考虑基金的申购费，赎回费用，基金转换费等一系列费用。4. 在计算基金的投资收益时，收益只计周净值的增减，不考虑基金分红所带来2精品 料推荐的影响。5. 投 者只能按照市 价格 入或 出基金，且 种 期的 行 不会 基金的价格 生影响。6. 基金所在的市 是无障碍的，基金的交易数量不限，投 者可根据其 力在市 上按市 价格 任一种基金。3.2 符号

9、明m ：投 者 有的全部 金； r ：基金 合的 收益；c ：基金 合的 ；si ：供投 者 的基金；vi ：基金 si 的平均收益率；qi ： 基金si 的 失率；wsi ：投 于基金i 的比例；z ：基金 合的 收益；四、模型准备4.1 个 券基金的收益和 1（ 1） 收益及其度量任何一 投 的 果都可以用收益率来衡量，通常收益率的 算公式收入支出收益率 =100%支出投 期限一般用年 表示；如果期限不是整数， 年。在股票投 中，投 收益等于期内股票 利收益和差价收益之和，其收益率的 算公式 ： 利期末市价 期初市价 r100%期初市价 通常情况下， 收益率受 多不确定因素的影响， 因而是

10、是一个随机 量。 我 可假定收益率服从某种概率分布，即已知每一收益出 的概率，用下表：表 4-1 不同收益率 的概率）r1r2r3r4rn收益率（ %概率 pip1p2p3p4pn数学中求期望收益率或收平均数的公式如下：ne(r )ri pii 13精品 料推荐在 中，我 常使用 史数据来估 期望收益率，假 券的月或年 收益率 rt （ t=1， 2， 3,n），那么估 期望收益率的 算公式 ：1nrrtn t 1（ 2） 及其度量如果投 者以期望收益率 依据 行决策， 那么他必 意 到他正冒着得不到期望收益率的 。 收益率与期望收益率会有偏差， 期望收益率是使可能的 与 的平均偏差达到最小的

11、点估 。 可能的收益率越分散， 它 与期望收益率的偏差程度就越大， 投 者承担的 也就越大。 因而 的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数学上， 种偏离程度由收益率的 准差来 来度量。 如果偏离程度用 | rie(r ) |来度量， 种偏离程度被称 “ 准差” ， 着 。nri e(r ) 2 pi2 ( r )i1式中： pi 可能收益率 生的概率； 准差。同 ，在 中，我 也可以使用 史数据来估 准差：假 券的月或年 收益率 rt （t=1，2，3,n），那么估 方差的公式 ：s21n2(rt r ) ，n 1 i 1当 n 很大 ，也可以使用下述的公差 算公式 :s21

12、 n (rtr ) 2n i 14.2 券 合的收益和 我 用期望收益率和方差来 量 一 券的收益率和 ， 一个 券 合由一定数量的 一 券构成， 每一只 券占一定的比例， 我 也可以将 券 合 为 一只 券构成。，那么， 券的收益率和 也可用期望收益率和 也可以用期望收益率和方差来 量。 不 ， 券 合的期望收益率和方差可以通 由构成的 一 券的期望收益率和方差来表达。（ 1） 两种 券 合的收益和 有两种 券 a 和 b，某投 者将一笔 金一以xa 的比例投 于 券a，以xb 的比例投 于 券 b，且 x a xb 1 ，成 投 者 有一个 券 合 p。如果到期 ， 券 a 的收益率 ra

13、 ， 券 b 的收益率 rb ， 券 合 p 的收益率 r p4精品 料推荐为：r pra xaxb rb证券组合中的权数可以是负，比如ra 0，则表示该组合卖空了证券a，并就爱你个 所得 的资金连 同自由资 金买 入证 券b， 因为 xaxb1 ，故 有，xb1xa1。投资者在进行投资决策时并不知道r a 和 rb 的确切值，因而 r a 、 rb 应为随机变量，对其分布的简化描述是它们的期望值和方差。投资组合p 的期望收益率 e( rp ) 和收益率的方差2p 为：e(r p ) e(r a ) xaxb e( rb )222222x a xba b abpx a axb b式中：ab 相

14、关系数；a bab 协方差，记为 cov(a,b)选择不同的组合权数，可以得到包含证券a 和证券 b 的不同的证券组合，从而得到不同的期望收益率和方差。 投资者可以根据自己的对收益率和方差 （风险）的偏好，选择自己最满意的组合。（ 2） 多种证券组合的收益和风险设有 n 种证券，记为a1、a 2、 a 3、.、 a n ,证券组合、 、 、）p=（ x1 x2 x3 . x n表示将资金允许分别以权数、 、 、x1 x 2 x3 . x n ，投资于 a1、a2、a3、.、a n 。如果允、许卖空，则权数可以为负的， 负的权数表示卖空证券占总资金的比例。 正如两种证券的投资组合情形一样， 证券

15、组合的收益率等于各单个证券的收益率的加权平均。即：设 ai 的收益率为 ri (i1,2,3,., n ) ，则证券组合、 、 、p=（ x1 x2、 x3 . x n ）的收益率为：nr p x1r1x2r2 . xn rnxi rii 1推导可得到证券组合 p 的期望收益率和方差为 :ne(rp )=xi e(ri )i15精品 料推荐nnnn2xi xj cov( xi , x j )xi x j ij ijpi 1i 1i 1i 1式中：2p 证券组合 p 的方差ij ri 和r j的相关系数；4.3 证券组合 2 的可行域和有效边界（ 1）证券组合的可行域首先考虑两种组合的可行域。

16、如果用前述两个数字特征期望收益率和标准差来描述一种证券， 那么任意一种证券都可用在期望收益率为纵坐标和标准差为横坐标的坐标系中的一点来表示； 相应地，任何一个证券组合也可以由组合的权数变化而变化，其轨迹将是经过 a 和 b 的组合线。可见组合线实际上在期望收益率和标准差的坐标系中描述了证券 a 和 b 的所有可能的组合。由前面的两种证券组合的收益和风险的两个公式和xaxb1 ，a，b 的证券组合p 的组合线由下述的方程确定：e(r p )e(ra ) xa(1xa )e(r b )222(1 xa )222xa (1 xa ) a b abpxa ab给定证券 a、b 的期望收益率和方差， 证

17、券 a 和证券 b 的不同的关联性将决定a、b 的不同形状的组合线。完全正相关下的组合线。在完全正相关下，ab =1，方程可变为 :e(r p )e(r a ) xa(1x a )e( rb )p| xaa(1xa )b |假定不允许卖空，0x a 、 x b 1 ，则e(r p )e(ra ) xa(1xa )e(r b )p xa a (1 xa ) b因为 e (rp ) 与 xa 是线性关系，而 p 与 xa 是线性关系，所以， p 与 e( r p ) 也是线性关系。因此得到证券 a 和 b 的构成的组合线是连接两点的直线。6精品 料推荐图 4-1ab =1 时的组合线完全负相关的组

18、合线。在完全负相关情况下，ab =-1e(r p )e(ra ) xa(1xa )e(r b )p x2a ap | xa a22(1 xa )222xa (1 xa ) a b abb(1xa )b |此时，p 与 e( rp ) 是分段线性关系，组合线如下图图 4-2ab =-1 时的组合线从图我们可以看出，在完全负相关的情况下，按适当比例买入证券a 和证券 b可以形成一个无风险组合， 得到一个稳定的收益率。 这个适当比例可以通过令p为 0 得到：baxa, xbabab7精品 料推荐因为上式中两者都是大于0 的，所以必须同时买入证券a 和 b。这样就能得到的无风险收益率为：e(r p )

19、b e(ra )a e(rb )ab组合线的一般情形，在不完全相关情形下，即0ab 1，这时的组合线是一条双曲线。相关系数决定结合线自爱a 和 b 之间的弯曲程度。随着ab 的变化，分别呈现不同的线型，如下图我们得到不同的ab 下的线型。图 4-3 相关系数不同的证券组合再次我们考虑多种证券组合的可行域。 一般而言当有多种证券构成证券组合式，组合可行域是所有合法证券组合构成的e坐标系中的一个区域，其形状如下两图8精品 料推荐图 4-4 不允许卖空时组合的可行域图 4-5 允许卖空时组合的可行域相应的求解可行域的公式具体如下：ne( rp )xi e( ri )i 1n2222xi x j i

20、j ijpxiii 1i ij nnxi1i 1因此，可行域的形状依赖于可供选择的单个证券的特征e( ri )和i 以及它们收益率之间的相互关系ij ，还依赖于投资组合中权数的约束。(2) 证券组合的有效边界大量事实表明， 投资者普遍喜好期望收益率而厌恶风险， 因而人们在投资决策时希望期望收益率越大越好， 风险越小越好。 这种态度反映在证券组合的选择上可由下属规则来描述：（ i）如果两种证券组合具有相同的收益率方差和不同的期望收益率，即22ab ，而 e(r a )e(r b ) ，且 e(r a )e (rb ) ，那么投资者选择期望收益率高的组合，即 a。（ ii）如果两种证券组合具有相同

21、的期望收益率和不同的收益率方差，即e(ra )2222a。e( rb ) ，而 ab ，且ab ，那么他选择方差较小的组合，即这种选择原则，我们称为投资者的共同偏好规则。人们在所有可行的投资组合中进行选择， 如果证券组合的特征由期望收益率和收益率方差来表示，则投资者需要在 e 坐标系的可行域中寻找最好的点，但不可能在可行域中找到一点被所有投资者都认为是最好的。 按照投资者的共同9精品 料推荐偏好规则，可以排除那些被所有投资者都认为差的组合， 我们把排除后余下的这些组合称为“有效证券组合” 。根据有效证券组合的定义，有效组合不止 1 个，描述在可行域的图形中， 如图粗线实线部分， 它是可行域的上

22、边界部分， 我们称它为“有效边界”。a 点是一个特殊的位置，它是上边界和下边界的交汇点，这一点所代表的组合在所有组合中方差最小，因而被称作“最小方差组合” 。图 4-6有效边界4.4 个人偏好与无差异曲线一个特定的投资者， 任意给定一个证券组合， 根据他对风险的态度， 可以得到乙烯类满意程度相同的（无差异）证券组合，这些组合恰好在e坐标系上形成一条曲线，我们将这条曲线视为该投资者的一条无差异曲线。偏好不同的投资者， 他们的无差异曲线的形状也不同。 尽管如此，对于追求收益又厌恶风险的投资者而言，他们的无差异曲线都具有如下六个特点：（ 1） 无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线。（ 2） 每个投资者

23、的无差异曲线形成密布整个平面又互不相交的曲线簌。（ 3） 同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同。（ 4） 不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。（ 5） 无差异曲线的位置较高，其上的投资组合带来的满意程度就越高。（ 6） 无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱。10精品 料推荐图 4-7 投资者的无差异曲线图 4-7 中，某投资者认为经过 a 的那一条曲线上的所有证券组合给他的满意程度均相同，因而组合 b 与 a 无差异；组合 c 比 a、 b、 d 所在无差异曲线上的任何组合都好，因为 c 所在的无差异曲线的位置高于 a、b、d 所在的无差异曲线。

24、五、模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解5.1.1实证设计 3 描述5.1.1.1样本基金的选择。首先，实证研究对象为契约型 - 开放式 - 股票型基金。 其次，本文选取的股票型开放式基金均成立于2004 年之前，运行时间较长，数据信息充分，业绩具有可比性。按照上述要求， 符合选取条件的样本基金共有14 只，即华夏大盘精选、华安创新、大成价值增长、富国天益价值、易方达策略成长、易方达上证50、易方达积极成长、泰达荷银成长、泰达荷银周期、泰达荷银行业精选、长城久泰中标 300、金鹰成份股优选、景顺长城优选股票、景顺长城内需增长。为使所做的评价更具合理性， 样本基金的评价期根据我国股票市场的

25、不同行情分为以下两个时期：第一个时期设定为2005 年 1 月 1 日至 2005 年 12 月 31 日，共计 48 周数据，这一时期我国股票市场由于各种原因总体处于低迷行情；第二个时期从2006 年 1 月 1 日至 2006 年 12 月 31 日，共计 49 周数据，这一时期我国股票市场处于上升行情。5.1.1.2基准组合的选取。实证研究方法采用的是单因素模型，需要确立一个业绩研究的基准市场组合。从投资者的投资利益出发， 选择单一市场指数更有利于其投资基金的收益与市场收益的比较。 因此，实证研究的基准组合采用上证综合指数作为基准。 对于上证指数基准组合的周收益率的计算公式如下：基准组合

26、周收益率 =（周末收盘指数 -周初收盘指数） /周初收盘指数11精品 料推荐5.1.1.3无风险利率的计算。由于我国银行储蓄占居民金融资产的比例较大， 因此采用银行定期存款年利率作为无风险利率。 2005 年我国银行定期存款年利率为 2.25%，扣除 20% 的利息所得税后，再按照一年 52 周折算为周利率。同理， 2006 年无风险利率也如此计算，但 2006 年 8 月 19 日我国银行定期存款年利率从 2.25%上调为 2.52%，因此，对该年的无风险利率需要进行权数为 2/3 和 1/3 的加权调整。5.1.1.4基金周收益率的计算。由于基金单位分红金额数据不易得到， 但是分红对基金的

27、业绩研究又是一个很重要的因素，不能被忽略。因此，为了使基金的业绩研究更具客观性，采用基金累计净值代替公式分子中的基金单位净值数据， 从而充分考虑了分红因素的重要性。基金周收益率数据样本值的计算公式为：基金周收益率 =（周末单位累计净值 - 周初单位累计净值） / 周初单位净值 5.1.1.5 数据来源及应用软件的确定。本文所采用的基金日净值数据均来题目附件， 上证综合指数数据来自于中国基金网，处理数据的工具软件为 excel 2003 和minitab 15 （计算周收益率的标准差）。5.1.2收益率评价法的实证研究根据所选样本基金的数据值及所采用的数据处理规则， 对14只股票型开放式基金的周

28、收益率计算及排名如表 1所示。表 5-1 14 只股票型开放式基金的周收益率计算及排名2005 年2006 年周收益率平周收益率排周收益率平均周收益排代码简称率标准均值标准差名值名差000011华夏大盘0.0004877050.02120.0187120540.0333精选040001华安创新0.0019833640.021940.0141354850.024811090001大成价值0.0013528680.016890.013437150.027612增长100020富国天益0.0032068810.022310.0151699630.027710价值110002易方达策0.0031278

29、590.022120.0173548960.03766略成长110003易方达上0.0008049620.026110.0165463160.03077证 50110005易方达积0.0016610020.021370.0184669940.03764极成长162201泰达荷银0.0024209880.018930.0109392280.027713成长162202泰达荷银0.0014806760.022480.0158079990.02859周期162204泰达荷银0.00181050.024750.0196172210.03852行业精选12精品 料推荐200002长城久泰-6.14765

30、e-00.0247130.0178500380.03135中标 3005210001金鹰成份-0.001161150.0205140.0107491430.026914股优选2260101景顺长城0.0010356170.0195100.0158455260.0288优选股票260104景顺长城0.0017585260.021660.0210464450.03691内需增长基准组合-0.001380260.02940.0181297710.03554无风险周利率0.0003430.000357基于表 1，如果不考虑风险因素，将基金的周平均收益率作为评价基金业绩的基本要素，我们可以得到以下结论：

31、1. 从各只基金的比较来看： 所选样本基金年度内周平均收益率相差不大。 在2005年，富国天益价值位于第一位；在 2006年，景顺长城内需增长位于第一位。且金鹰成份股优选在 2005年和 2006年都在最后一位。2. 从各只基金与市场基准组合的比较来看： 2006年除了景顺长城内需增长、泰达荷银行业精选、华夏大盘精选、易方达积极成长 4只基金外，其他 10只基金的业绩均差于市场基准组合业绩， 这说明 2006 年大多数基金没有战胜市场； 2005 年的情况刚刚相反， 所选的 14只基金的业绩均好于市场基准组合。 理论上，我们把基金收益率的标准差作为基金组合的风险， 所选基金的收益率标准差均小平

32、市场基准组合的收益率标准差， 说明这些基金的风险小于市场指数的风险， 相对市场来讲，基金的收益更具有稳定性， 当然这也与所选的市场基准组合有关。 2005 年，所选的 14只基金的风险均小于市场指数的风险； 2006年，除了易方达策略成长、易方达积极成长、泰达荷银行业精选、景顺长城内需增长 4只基金外，其他基金的稳定性均小于市场。3. 从各只基金与无风险周利率的比较来看： 2005 年除长城久泰中标 300、金鹰成份股优选 2 只基金外，其他 12 只基金的业绩都好于存银行所获得的收益； 2006 年所选的 14 只基金的收益均要好于存银行所获得的收益。 说明各只基金的收益还比较可观。4. 从

33、各只基金年度数据比较来看： 2006 年与 2005 年各只基金同比周平均收益率相差近十倍， 而各只基金的收益率标准差相差并不大。 从另一个侧面可以反映 2006年的股市行情明显好于 2005年。5.1.3 模型的评价：整个基金绩效评估过程清晰、 求解简单，同时可以从多个角度评价基金绩效，整个评估过程基于周平均收益率和偏离周平均收益率的波动风险 ( 即标准差 ) 。但是标准差代表收益上下两个方向的波动， 并不衡量真正可能的损失风险， 并且基金的投资组合并不一定能把所有的非系统风险分散掉。 在基金绩效的评价我们未考虑非系统风险， 虽然在一定程度上模型存在误差， 但总体上模型达到了题目要求的预期效

34、果。5.1.4 模型改进方向：基于以上的基金绩效评估方法未考虑非系统风险， 基于 var 的基金绩效评价方法 raroc，是经风险修正后的绩效评估法， 这种方法能运用极端风险 var13精品 料推荐作为风险修正，能更客观、准确地反映基金的绩效，所以可以使用 var的基金绩效评价方法进行更好的评价基金的风险和收益。5.2 第二问的求解基于前面的问题分析我们可以建立下面的两个模型5.2.1模型一：证券组合分析模型（定性分析）5.2.1.1建立有效边界和可行域由问题一中的基金周收益率， 标准差的值，我们在结合模型准备中的证券组合的可行域和有效边界中关于组合线的有关推导和公式我们有:ne( rp )x

35、i e( ri )i 1n2222xi x j i j ijpxiii 1i i jnnxi1i 1其中： e(rp ) ：基金组合投资的期望收益率e( ri ) :单支基金的收益率xi :第 i 支基金的所占比例i :第 i 支的收益率风险ij ：第 i 支基金和第 j 支基金的相关系数在此基础上我们可以求出问题一中的 14 支基金所形成的可行域的图形（图中的拐点处的数字为基金的代码） 。如下图：14精品 料推荐图 5-1 不允许卖空时的 14 支基金所形成的可行域上图是在基金不允许卖空的情况下求得的，在允许卖空的情况下有下面的图:图 5-2 允许卖空时的可行域由于投资者可以根据自己的意愿买

36、卖任意一支基金， 因此，可建立起允许卖15精品 料推荐空时组合的可行域 ,同上图。则相应的有效边界为:图 5-3 有效边界5.2.1.2 再次讨论投资者的偏好问题由于投资者个人的偏好不一，首先看几个不同偏好的投资者的无差异曲线，如下面四副图图 5-4图 5-5图 5-6图 5-716精品 料推荐图 5-4 的投资者对风险毫不在意，只关心期望收益率；图5-5 的投资者只关心风险，风险越小越好，对期望收益率毫无不在意；图5-6 和图 5-7 表明一般的风险态度，图 5-6 的投资者比图 5-7 的投资者相对保守一些， 相同的风险状态下，前者对风险的增加要求更加的风险补偿， 反映在无差异曲线上， 前

37、者的无差异曲线更陡峭一些。特定投资者可以在有效组合中选择他自己最满意的组合，这种选择依赖于他的偏好，投资者的偏好通过他的无差异曲线来反映。对于图5-4 的对风险不在意的投资者来说， 他的最满意的点为有效边界上期望收益率的最高点（图 5-8），对于图 5-5 只对收益率不在乎的投资者，他的最满意点在风险最小的点（图5-9）。图 5-8图 5-9对于图 5-6 和图 5-7，使他最满意的有效组合，它恰恰是无差异曲线簇与有效边界的切点所表示的组合。 由于前者的无差异曲线更陡一些， 因此前者的切点（最满意点） 反应在有效边界是比后者的更低一些， 即图 5-10 中的最优解 1，最优解 2。17精品 料

38、推荐图 5-10 投资者不同保守程度的最满意点因此这也反映了证券投资的高风险、高收益，低风险、低收益的理论，对于不同收益偏好的投资者，他们风险与收益的关系的直观图即是如上图所示。5.2.2模型二 : 双目标规划模型 4 （定量分析）5.2.2.1模型建立该问题研究的是在投资总金额一定的情况下， 依据上面关于各只基金的评价，选择哪只基金进行投资，投资多少使收益最大、风险最小。实际上，该问题就是一个双目标规划问题， 求解各只基金的投资比例。 因此，该问题的决策变量就是各只基金投资额占总投资的比例，即投资于基金si 的比例 wi 。对于规划问题，核心就是要找出目标函数和约束条件。5.2.2.1.1目

39、标函数的建立对于该问题， 目标是非常明确的， 即：追求投资组合的收益最大和风险最小。投资组合的总收益r等于各只基金的投资收益的总和与投资总资金的差值，即14max r(vi1) mw imi1其中 : m ：投资者拥有的全部资金；vi ：基金 si 的平均收益率 ; wi ：投资于基金 si 的比例；投资组合的总风险c 等于各只基金的风险损失的总和，即：14min cqi wi mi1其中： m ：投资者拥有的全部资金；qi ：购买基金 si 的风险损失率；wi ：投资于基金 si 的比例；5.2.2.1.2约束条件的搜寻该问题的约束条件就是要求所有基金的投资额占总投资比例 wi 之和等于1，且 wi 0 ，即：14w i1i1wi0通过上面对目标函数和约束条件的求解，可建立如下的双目标规划模型：18精品 料推荐14max r( vi 1) mw i mi114min cq i wi mi 114wi1s.t . i 1wi05.2.2.1