完整版两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比

1、两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比 两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此 两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注对于不同版本的教材采 用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、 研究问题、解决问题的能力有很大的作用 下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下： 方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法 设角a的终边与单位圆的交点为Pi, / popi二 a- 角的余弦线，这里要用表示 a, 的正弦、余弦的线段来 过点P作

2、PM丄x轴，垂足为M,那么OM即为 表示OM. 过点P作PA丄opi,垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂足为B,再过点P作PC丄ab,垂足为C,那么cos扫OA, sin二 AP,并且 / pac= ZpiOx二 a,于是 OM二 OB+ BM二 0B+ CP= OAcosa+ APsina二 cosAcosa+ sin sin a. 综上所述, c： os (d=cos cos 0+ sin 盘 win 0 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解但这种推导方法对于如何能够得到解题思 路，存在一定的困难此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因

3、此 还要考虑的角度从锐角向 任意角的推广问题 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法 设 Pi (xi.yi) , P2 (X2. y2),则有 |PiP |= j(吃一西 y 十(” 一” y 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角d,O+B和亠Q，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和 P4点，单位圆与 X轴交于 Pl,则 Pi(1,0)x P2(cosa, sinov P3(cos(a+, sin(a+B)、 ! 1 - ? ,J- 上吃FPQPj 二住 + Q,且 1旬二 lIT 噓二 KI =1 矽百S卑牡.1A1 =1A1 Jgw 氓+戸)-1 +何口(氓+戸) 僅

4、一 十(giti or曲门(一 0) 2- 2cos (l： + = 2 2cos (Xcos fi- 2sin dsin ( - 0) 有关的四个点 ug(g+0)= cos afcos sinffisin /3 cos 0)= coscrcos A5+sin aAsin Q 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角 (cosdf,sin (匚皿 + 0),趣+ 0)1 fl :芮卜0)上 仇丿魚Hl巴, 巴丿，41 I巴，I 建立起等式关系, 通过将等式的 化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另

5、外 POPPOP 对于，三点在一条直线和-三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明 方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法 尸(心：沾心” sin盘)ng(cos 0) A)a+(sin aan = Q+win nsia 在厶 OPQ 中，脛OPAO0A2OP0ao3ZPO0 PQf Z11 +1-2 泅(e-0) ? co 客(d 0)= cos (Kcos A4-sin 0 说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的因为要求两角和与差的三角函数，所以构造岀和角和差角是必 须实现的构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦

6、定理、 两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用另外也同样需要考 虑匸三点在一条直线上的情况方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法 设a、B是两个任意角，把a、B两个角的一条边拼在一起，顶点为O,过B点作0B的垂线，交a另 边于A,交B另一边于G则有S0A(=S0AB+S9BC. 上 |CU|OC|sin(Q+0)=丄 ABOB +上 0C|OE| 根据三角形面积公式，有J円I 一 221111 OCsin(a=AOB+BCO 0| = |CW

7、|cosOf= |OC|cos fi 圉卜阳 win a p(7| = |Oa|sin 戸 阳知0 . |O4|0C|siti g+ 0)= PA|sm a|OC|cos 0+ pA|cos A|X7|sifi 0 sin( a+ =sin acos B+sin 比os a 根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式 (1)sin( a B=sin a+( B=sin acos(- +sin(- cos a=sin acos Bsin Bcos a； (2)cos(a+ =sin90(a+ B=sin(90- a)- B=sin(90- o)cos Bsin pcos(90-M =c

8、osacosBs in asin B (3)cos(a =cosa+(-=cosacos(-sinasin(-B=cosoccosp+sinasin B 说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联 系在 一起，体现了数形结合的特点缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样 需要将角的 范围进行拓展 (五)应用数量积推导余弦的差角公式 在平面直角坐标系xOy内，作单位圆0,以Ox为始边作角 “，3它们的终边与单位圆的交点为A, B,则 少=(cos a sin二(cos 3 sin B). CA 叮)= cowH 01 由向量数量积的概念，有一 由向量的数量积的坐标表示，有 OA OB - cos Of.sindf)* (cosO*血 0)二亡 ostTcos 0+$in Asm 0 b cost ar二八osarcos 八5+sin asinp 于是, 有 说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角