直线和圆基础习题和经典习题加答案

1、知识网络】 综合复习和应用直线和圆的基础知识，解决对称问题、轨迹问题、最值问题，以及直 线与圆和其他数学知识的综合问题，提高分析问题和解决问题能力 典型例题】 例1 (1)直线x+ y=1与圆x2+ y2 - 2ay=0(a 0)没有公共点，则a的取值范围是 () A.( 0, 2 - 1 )BC 2 - 1 , - 2 + 1) C.( - 2 - 1 , - 2 - 1)D ( 0, - 2 + 1 (2) 圆(x- 1)2+ (y + ”，3)2=1的切线方程中有一个是() A. x y=0B. x+ y=0C. x=0 D . y=0 (3) a=b堤直线 y=x，2与圆(x-a)2

2、(y b)2 =2相切”的() A.充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充分必要条件D .既不充分又不必要条件 (4) 已知直线5x+ 12y + a=0与圆x2 + y2- 2x=0相切，则a的值为. (5) 过点(1, 2 )的直线I将圆(x-2)2 + y2=4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小 时，直线I的斜率k=. 例2设圆上点A (2, 3)关于直线x+ 2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x-y + 1=0 相交的弦长为2-，2 ,求圆的方程. 专业word可编辑 例3已知直角坐标平面上点 Q (2 , 0)和圆C: x2 + y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于

3、入(入为).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 例4已知与曲线 C: x2+ y2 2x 2y +仁0相切的直线I叫x轴，y轴于A, B两点， |OA|=a,|OB|=b(a 2,b 2). (1)求证： (a 2)(b 2)=2 ; (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)求厶AOB面积的最小值. 课内练习】 5 1 .过坐标原点且与圆 x2 + y2 4x + 2y + 一 =0相切的直线的方程为() 2 1 1 A. y= 3x 或 y= xB. y=3x 或 y= x 3 3 1 1 C. y= 3x 或 y= xD. y=3x 或 y= x 33 2 .圆(x 2)2 + y2

4、=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 () A. (x+ 2)2+ y2=5B. x2 + (y 2)2=5 C.(x 2)2 + (y 2)2=5D. x2 + (y+ 2)2=5 3 .对曲线|x| |y|=1围成的图形，下列叙述不正确的是() A .关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点轴对称 D .关于y=x轴对称 4 .直线1仁y=kx + 1与圆x2 + y2+ kx y 4=0的两个交点关于直线S : y+ x=0对称，那 么这两个交点中有一个是() A.( 1, 2) B.( 1, 2) C.( 3, 2) D.( 2, 3) 5 .若直线 y=kx + 2与圆(x 2

5、)2 + (y 3)2=1有两个不同的交点，贝U k的取值范围 是. 6 .已知直线 ax + by + c = 0与圆 O: x2 + y2 = 1相交于 A、B两点，且|AB| =、. 3 ,则 OA OB =. 7 .直线1仁y= 2x + 4关于点M (2, 3)的对称直线方程是 . 8 .求直线11： x+ y 4=0关于直线1: 4y + 3x 仁0对称的直线 b的方程. 9 .已知圆 C: x2 + y2 + 2x 4y + 3=0 (1) 若C的切线在x轴，y轴上的截距的绝对值相等，求此切线方程； (2) 从圆C外一点P( xi,yi)向圆引一条切线，切点为M , 0为原点，且

6、有|PM|=|PO|， 求使|PM|最小的P点的坐标. 10 .由动点P引圆x2 + y2=10的两条切线 PA, PB,直线PA, PB的斜率分别为 匕山. (1)若ki + k2+ kik2= 1,求动点P的轨迹方程; (2)若点P在直线x+ y=m 上,且PA丄PB，求实数m的取值范围. 11 . 5直线与圆的综合应用 1 .设直线过点 (0 , a),其斜率为1,且与圆x2 + y2=2相切，则a的值为() A. 2 B. 2 C.22D.4 2 .将直线2x y+入=0,沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆/+y2+2x 4y=0相切， 则实数入的值为 A. 3 或 7B. 2 或

7、8C. 0 或 10D. 1 或 11 3 .从原点向圆x2 + y2 12y+ 27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为() A.nB. 2 nC. 4 n D.6 n 1 1 4 .若三点 A ( 2 , 2), B (a,0), C (0 , b) (a, b均不为 0)共线，贝U的值等 a b 于. 5 .设直线ax y + 3=0与圆(x 1)2 + (y 2)2=4有两个不同的交点 A, B,且弦AB的长为 2“，3 ,则a等于. 7 6 .光线经过点 A (1 , _ ),经直线I: x+ y+仁0反射，反射线经过点B ( 1 , 1). 4 (1) 求入射线所在的方程

8、； (2) 求反射点的坐标. 7 .在 ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x 2y +仁0, /A平分线所在直线方程为 y=0,若B点的坐标为(1 , 2),求点A和点C的坐标. y 口 O 8 .过圆O: x2 + y2=4与y轴正半轴的交点 A作这个圆的切线I, M为I上任意一点，过M 作圆O的另一条切线，切点为Q，当点M在直线I上移动时，求厶MAQ垂心H的轨迹方 程. B组 1 .已知两定点A (- 2 , 0), B ( 1, 0),如果动点P满足|PA|=2|PB| ,则点P的轨迹所包 围的图形的面积等于() A.n B. 4 n C. 8 n D. 9 n 2 .和x轴相切，且

9、与圆x2 + y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是() A. x2=2y + 1 B. x2= 2y + 1C. x2=2y 1 D. x2=2|y| + 1 3 .设直线的方程是 Ax B0 ,从1, 2 , 3, 4, 5这五个数中每次取两个不同的数作为 A、 B的值，则所得不同直线的条数是() A. 20 B. 19 C. 18 D. 16 4 .设直线2x 3y 0和圆X2 y2 -2x - 3 = 0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分 线方程是. 5 .已知圆 M ：( x+ cos 6+(y sin 2=1 ,直线I: y=kx ,下面四个命题 A .对任意实数k和直线I和圆M都相切

10、； B. 对任意实数k和直线I和圆M有公共点； C. 对任意实数6,必存在实数k,使得直线l和圆M相切； D .对任意实数k,必存在实数6,使得直线I和圆M相切. 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号). 6 .已知点A, B的坐标为(一3, 0),( 3, 0), C为线段AB上的任意一点，P, Q是分 别以AC, BC为直径的两圆01, 02的外公切线的切点，求PQ中点的轨迹方程. 7 .已知 ABC的顶点A ( 1 , 4),且/B和/C的平分线分别为Ibt: y+仁0,1 ck:x+ y + 仁0,求BC边所在直线的方程. 8 .设a,b,c,都是整数，过圆x2 + y2= (

11、3a + 1)2外一点P (b3 b,c3 c)向圆引两条切线，试 证明：过这两切点的直线上的任意一点都不是格点(纵横坐标均为整数的点). 11 . 5直线与圆的综合应用 典型例题】 例1(1 ) A .提示：用点到直线的距离公式. (2) C.提示：依据圆心和半径判断. (3) A.提示：将直线与圆相切转化成关于ab的等量关系. (4) 18或8 .提示：用点到直线的距离公式，注意去绝对值符号时的两种可能情况. （5）子.提示：过圆心（ 2, 0）与点（1，“ 2 ）的直线m的斜率是2 ,要使劣 弧所对圆心角最小，只需直线 l与直线m垂直. 例2、设圆的方程为（x a）2 + （y b）2=

12、r2，点A （2, 3）关于直线x+ 2y=0的对称点仍在圆 上，说明圆心在直线 x+ 2y=0上，a + 2b=0 ,又（2 a）2+ （3 b）2=r2,而圆与直线 x y + 仁0相交的弦长为2 2, 故r2 （ a 一+1 ）2=2,依据上述方程解得 b 1= 3 ai=6或 ri2=52 b2= 7 a2=14 22=244 所求圆的方程为 (x 6)2+ (y + 3)2=52 ,或(x 14)2+ (y + 7)2=224 . 例 3、设切点为 N ,则 |MN|2=|MO| 2 |ON|2=|MO| 2 1 ,设 M ( x,y),则 Jx2 +y2 _1 =(x_2)2 +y

13、2 ,整理得(入2 1)( x2 + y2) 4 入 x(4+ 4 力=0 5 当入=1时，表示直线x=； 4 当入工1时，方程化为（x-22）2y2打？ 2 ,它表示圆心在（二,0）,半径为 人-1（人-1）扎-1 古普的-个圆 例4、（ 1）设出直线方程的截距式，用点到直线的距离等于 1 ,化减即得； 1 (2)设 AB 中点 M(x,y),则 a=2x,b=2y,代入(a 2)(b 2)=2 ,得(x 1)(y 1)= (x 1,y 2 1)； 由 (a 2)(b 2)=2 得 ab + 2=2(a + b) 4 ab，解得 一，ab 2 + 2(- ab 10 恒成立，/ mc2,或

14、m v 2 5 m 的取值范围是2“，10 , 2 5 U(2： 5 , 2 10 11 . 5直线与圆的综合应用 A组 1 . B .提示：用点到直线的距离公式或用法. 2 . A .提示：先求出向左平移后直线的方程，再用点到直线的距离公式 . 3 . B .提示：考虑切线的斜率及劣弧所对圆心角. 1 4 . 一 .提示：由三点共线得两两连线斜率相等，2a + 2b=ab ,两边同除以ab即可. 2 5 . 0 .提示：依据半径、弦长、弦心距的关系求解. 2 1 6 . ( 1)入射线所在直线的方程是：5x 4y + 2=0 ; ( 2 )反射点(一，一).提 3 3 示：用入射角等于反射角

15、原理. 7 .点A既在BC边上的高所在的直线上，又在/A的平分线所在直线上，由 f x2y+1=0 c得 A ( 1 , 0) y= -kAB=1 又ZA的平分线所在直线方程为y=0 kc= 1 AC边所在的直线方程为y= ( x+ 1) 又 kBc= 2, BC边所在的直线方程为y 2= 2 (x 1) 联列得C的坐标为(5 , 6) 8 .设所求轨迹上的任意一点H (x,y),圆上的切点Q (xo,yo) / QH丄 l,AH 丄 MQ, AH/ OQ,AQ /又QOA|=|OQ|，四边形 AOQH 为菱形. x=x,y o=y 2 . 点 Q ( xo,yo)在圆上,xo2+ yo2=4

16、 H点的轨迹方程是：x2+( y 2) 2=4 ( x丰0). B组 1 . B.提示：直接将动点坐标代如等式，求得点的轨迹是一个以(2 , 0)为圆心，2为半 径的圆. 2 . D .提示：设圆心(x,y),则 .x2 y2 =|y| 1 3 . C.提示：考虑斜率不相等的情况. 4 . 3x-2y-3=0 .提示：弦的垂直平分线过圆心. | -kcos： - sin v | .1k2 |sin(v ) | 5 . B, D.提示：圆心到直线的距离 d=|sin( ;:)| w 1. 6 .作 MCI AB交PQ于M ,贝U MC是两圆的公切线.|MC|=|MQ|=|MP| , M 为PQ的中 3 + x 3 + x 点.设M (x,y),则点C, O1, O2的坐标分别为(x,0),(,0),(,0) 2 2 连OiM , O2M ,由平面几何知识知 ZOiMO 2=90 . |OM|2+ |O2M|2=|O 1O2I2,代入坐标化简得:x2 + 4y2=9( - 3 xv 3) 7 . T BT,C分别是ZB和ZC的平分线，点A关于BT,CK的对称点A,必在BC所在直线 上，所以BC的方程是x+ 2y - 3=0 . 111 8 .线段OP的中点坐标为(一 (b3 b)