利用轴对称求最短距离问题

1、For personal use only in study and research; not for commercialuse利用轴对称求最短距离问题基本题引入：如图（1）,要在公路道a上修建一个加油站，有A,B两人要去加油站加 油。加油站修在公路道的什么地方，可使两人到加油站的总路程最短？使AM与 BM的和最小。设 A是A的对称点，本问题也就是要使A M与BM的和最小。在连接A B的线中，线段 A B最短。因此，线段 A B与直线a的交点C的位置即为所求。如图3,为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线 a上另外任取一点 N,连接ANBN A No因为直线a是 A A的对称轴，点 M

2、,N在a上，所以 AM= A M,AN= A N。 AM+BM= A M+BM= A B在厶A BN中，/ A B A N+BN AM+B AN+BN即 AM+BMt小。点评：经过复习学生恍然大悟、 面露微笑，不一会不少学生就利用轴对称知识将上一道中考题解决了。思路如下： BC= 9 （定值）， PBC的周长最小，就是 PB+ PC最小.由 题意可知，点 C关于直线DE的对称点是点 A,显然当P、A B三点共线时PB+ PA最小此 时 DP= DE PB+ PA= AB.由/ ADM/ FAE / DFA=Z ACB= 90,得厶 DAFA ABC. EF/ BC,1 159得 AE= BE=

3、AB=,EF=./ AF：BC= AD：AB,即卩 6 : 9 = AD：15. / AD= 10. Rt ADF2 229 2525中，AD= 10, AF= 6,. DF= 8. / DE= DF+ FE= 8+ =一 . 当 x = 时， PBC的周长222最小，y值略。数学新课程标准告诉我们： 教师要充分关注学生的学习过程， 遵循学生认知规律， 合理 组织教学内容，建立科学的训练系统。使学生不仅获得数学基础知识、基本技能，更要获得数学思想和观念，形成良好的数学思维品质。 同时每年的中考题也千变万化， 为了提高学生 的应对能力，除了进行专题训练外，还要多归纳多总结，将一类问题集中呈现给学

4、生。一、两条直线间的对称题目1如图，在旷野上，一个人骑马从A出发，他欲将马引到河 a1饮水后再到a2饮水，然后返回 A地，问他应该怎样走才能使总路程最短。点评：这道题学生拿到时往往无从下手。 但只要把握轴对称的性质就能迎刃而解了。作法：过点A作a1的对称点A,作a2的对称点A,连接A A交a1、a2于B、C,连接BC. 所经过路线如图5: A-B-C-A,所走的总路程为 A A。A 第1题图第2题图二、三角形中的对称题目2 如图,在厶ABC中,AC=BC=2, / ACB=90 ,D是BC边上的中点，E是AB边上的一 动点，则EC+ED勺最小值是点评：本题只要把点 C、D看成基本题中的A、E两

5、镇，把线段AB看成燃气管道a,问题就可以迎刃而解了，本题只是改变了题目背景，所考察的知识点并没有改变。三、四边形中的对称题目3 如图，正方形 ABCD的边长为8, M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN勺最小值为多少?点评：此题也是运用到正方形是轴对称图形这一特殊性质，点D关于直线AC的对称点正好是点B,最小值为 MB= 10。第3题图DMCB四、圆中的对称题目4已知：如图，已知点 A是O O上的一个六等分点，点 B是弧AN的中点，点P是 半径ON上的动点，若O O的半径长为1，求AP+BP的最小值。点评：这道题也运用了圆的对称性这一特殊性质。点B的对称点B在圆上，AB交ON于

6、点 p,由/ AON= 60 , / B ON= 30,/ AOB = 90,半径长为 1 可得 AB=返。当点P运动到点p时，此时AP+BP有最小值为 2B 第5题图1EJH* f fB/CAFG第5题图2五、立体图形中的对称题目5如图1是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A处，它想吃到盒内表面对侧中点 B处的食物，已知盒高h= 10cm,底面圆的周长为 32cm, A距离下底面 3cm.请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为_cm 点评：如图2,此题是一道立体图形问题需要转化成平面问题来解决，将圆柱的侧面展开得矩形EFGH作出点B关于EH的对称点B,作AC丄GH

7、于点C,连接A B。在Rt A BC中，AC= 16, B C= 12,求得A B = 20,则蚂蚁爬行的最短路程为20cm。通过变式训练既解决了一类问题， 又归纳出了最本质的东西， 以后学生再碰到类似问题 时学生就不会不知所措。同时变式训练培养了学生思维的积极性和深刻性，发展了学生的应变能力。综上所述，引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。更重要的是，变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生 分析问题、解决问题的能力。题目6长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长

8、方体的顶点 A出发，沿长方体的表面爬 到对角顶点Ci处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？析：展开图如图所示，、25 ： . 29 ：37路线1即为所求。2ACS3 =v25；Bi长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最 长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。由学生引申总结以下1 4:1、已知：如图，A B两点在直线l的同侧，点 A与A关于直线丨对称，连结 A B交丨于P 点，若AB=a,（ 1 ）求AP+PB（2）若点M是直线丨上异于P点的任意一点，求证：AM MB AP PB .2、已知：（1）A B两点在直线在丨上求作一点丨的同侧，试分别画出符合条

9、件的点使得AM - BM最小；A ” B(2)在丨上求作一点使得AM - BM最大；A .i,B(3)在丨上求作一点使得AM+BMR 小。3、如图，AD为/ BAC的平分线，DEL AB于E, DF丄AC于F,那么点E、F是否关于 AD对称?若对称，请说明理由。D4、已知：如图，点 p1, p2分别是P点关于/ ABC的两边BA BC的对称点，连接 pp2，分别交BA BC边于E、D点，若p1 p2 =m(1) 求厶PDE的周长；Pl(2) 若M是BA边上异于 E的一点，N是BC边上异于 D的一点，求证： PMN的周长 PDE的周长。轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变

10、位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。以此作为模型我们可以解决下列求最小值的问题。5. 如图，菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , E是AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是。分析：首先分解此图形，构建如图5模型，因为E、B在直线AC的同侧，要在 AC上找一点P,使PE+PB最小，关键是找出点 B或E关于AC的对称点。如图6,由菱形的对称性 可知点B和D关于AC对称，连结 DE此时DE即为PE+PB勺最小值，由/ BAD=60 , AB=AD AE=BE知,DE 3 22故PE+PB的最小值为. 3。仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For pers

11、onal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschzugcommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zvcfeen verwendet werden.Pour l e tu