数形结合例题选集

1、数形结合一、在一些命题证明中的应用举例:1、证明勾股定理：4 （0.5ab）（ a b）2 a2 b2 c2解析：上图中，四个小三角形（阴影部分）的面积加上中间小正方形的面积等于 大正方形的面积，化简后得到勾股定理 a2 b2 c2。2、证明乘法公式（平方差与完全平方）：（a b）2 a2 b2 2ab解析：在上图中，利用正方形和小正方形面积的转化， 能更进一步理解平方差公 式与完全平方公式的运算过程以及公式的本质问题。3、证明基本不等式：解析：如上图所示，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，长度为 ， 根据直角三角形的相似关系，可以得到直角三角形斜边上的高的长度为.ab，显 然在直角三角形

2、中，斜边上的中线的长度会大于等于高，利用这样简洁明了的几 何图解，对基本不等式的理解也就更加简单了。4、证明正(余)弦定理：解析:(1)如上图所示， ABC的面积S即丄，同理可得旦si nB si nCsinA根据圆的性质(等弧对等角)1a2bsi nB1a2c ；sinC D, si nAbsi nCsi nD综上，得正弦定理:asi nAbsi nB2R。 si nCbsinC csinB ；，即一a2R ；2Rsi nA(c cosB)2 b2( a c cosB)2 ；整理可得余弦定理：a2 c2 b2cosB;同理得出cosA cosC的余弦疋理。2ac(2)根据勾股定理AC2 CE

3、2,即 c2AB2 BE25、证明结论 tanx x sinx，x (0, )解析：如上图所示，根据y=tanx、y=x、y=sinx在x （0, ）上的图像可看出2tanxxsinx, x （0）。当然，实际考试作图不可能如此精确，那么转化到右 图的单位圆中，当x （0，2）时，角的终边始终在第一象限内，根据三角函数线 可知，蓝线表示正弦线，红线表示正切线，再根据弧长公式I R x 1 x，即图中黑色弧线的长度表示x,显而易见。红线长度 弧线长度 蓝线长度，即tanxxsinx, x （0,，）。6证明两角差的余弦公式：积定义，证明更加简洁。如左图，co（OA OB (cos，sin ) (

4、cos，sin ) oA oB11cos cossin sin解析：如上图所示，根据三角比的定义及单位圆的定义可知单位圆上的点的坐标表示。左图中，AB2(coscos )2(sinsin )2，将B点旋转至（1，0）处（右图所示）。此时，AB2cos ()12sin (）2，因为线段AB的长度没有发生变化，即（coscos )2(sinsin)2 cos ()12 sin ()2，化简:cos（） cos cos sin sin。当然也可以用向量的方法证明，利用向量数量二、在考试中的具体应用：1、与函数的综合运用，主要体现在求零点、交点、解的个数及参数范围等方面： 例1 ( 14奉贤)已知定义

5、在R上的函数y=f(x)对任意x都满足f (x+2) =-f (x)，当-1 x 1时，f f x) x3,若函数g (x) f (x) loga x只有四个零点，贝U a 的取值范围是 1 1答案：f1 /)(3,55 3解析：根据已知条件，f (x)的周期为4,先画f (x) 个周期图像，当1 x3 时，f (x 2) (x 2)2 -f (x)，f (x) -(x 2)2，由此画出-1，3)的图像， 此为一个周期，图像如下，g (x) f (x) logax只有四个零点即f(x)与y=loga x只有四个交点，需分类讨论：(1)当0a1时，有两个界值，如下图所示:3此时3个交点，代入(-

6、3，1)，解得a=3评注：数形结合体型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于 把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质及函数图像的变换。log2x ,0 x 4例2 ( 14闵行)f (x)2 270，若a、b、c、d互不相同，且fx2 8x ， x 433(a)=f (b) =f( c)=f( d)，贝U abed 的取值范围是 答案：(32，35)解析：根据题意，如下图所示，ab=1，abcd=cd=c (12 c) 12 c2，4c0时，y=f (x)单调递减且无最值； 方程f (x) =kx+b (k 0) 一定有解； 如果方程f (x) =k有解，则解的个数一定是偶数

7、; y=f (x)是偶函数且有最小值。贝卩其中真命题是 答案：、解析：含绝对值、分类讨论。先画x1和0VXV1的部分，然后根据偶函数的性质 （关于y轴对称）画出左半部分，函数图像如下图所示：例5（ 14奉贤）定义在（ 当 x 1,3）时，f （x） f （3x） =3f（ x）。设关于x的函数F （x）=f，贝U x1 x2 x3 x4X5 明显错误；k=0时，解的个数为1;、正确。评注：含绝对值的数形结合题型，根据绝对值内的情况，进行分类讨论，画出函 数图像，再结合函数性质，一般是对称性或奇偶性，然后根据函数图像对各项进 行分析筛选。，）上的函数f （x）满足：x 1， x 23 x,2 x

8、 3（X） -1的零点从小到大依次记为Xi、X2、X3、X4、X5、X5 答案：50解析：结合已知条件，分析函数性质，画出函数图像，如下图所示，Xi X2 X3 X4评注：数学结合最直观，或根据函数的对称性，找到对称关系，图像就画出来了， 答案也就呼之欲出，这就是数形结合在直观呈现方面的快捷。2、与三角函数的综合运用：例1 （14十三校联考）已知f （x） =asin2x+bcos2x（a、b为常数），若对于任意5 )，则方程f (x)0在区间0,内的解为x R都有 f (x) f(12答案：x=或x 63解析：根据“若对于任意x R都有f (x) f(可知，当x=时，函数图12因为函数的最值

9、横坐标与相内的解(即在区间0，12像取最低点，再结合函数解析式可知函数周期为 邻零点之间相差-个周期，即，所以在区间0，44内的零点)为x=5，即x 或X 。12463a、评注：本题看似复杂，因为有字母 a、b,但只要理解了“三角函数的最值横坐1标与相邻零点急间相差-个周期”这样的图像性质，结合图像原理，就迎刃而解4了。例2 ( 14闸北)设a0且a 1，已知函数f (x)=ax 2sin2 x 2(x 0)至少有5个零点，贝U a的取值范围为答案：(0，1)(1，2)解析：就是求函数y 2sin2x与函数y 2 ax在x (0,)上的交点个数，分两 种情况：(2)当a1时，如下图所示，在x

10、(0,)要至少5个交点，函数y 2 ax在(1)当0a0, a0,不等式f (x)k恒成立，贝q实数k的取值范围是9 ,)x8则其中所有命题的序号是 答案：、解析：根据下图所示可知：选项是 2k，选项反比例函数图像至少要满足点评注：数形结合的思想，国家题意画图帮助理解，然后利用一些特殊点定位，图 像尽量做到精确，才能避免差错3、与解析几何的综合运用：例1 (14闸北)设曲线C: x2 y2 2 2J(x y),贝U曲线C所围封闭图形的面积为答案：8 33解析：因为图像关于x轴、y轴对称，所以可以先画第一象限的图像，第一象限 x0, y0，绝对值直接去掉，可得一段圆弧，然后关于 x轴、y轴对称翻

11、折，如 下图所示，根据题目数据，可得ABC 150，AB=2,可以先算第一象限的面积，由一个扇形与一个四边形构成，然后再乘以4,全面积为32383。评注：方程图像问题，含绝对值，所以根据象限分类讨论，根据相关性质画出方 程图像，割补法求面积。变式 由曲线x2 y2 x| |y|所围成的封闭图形的面积为 答案：2+例2（ 14金山）已知直线I : 4x-3y+6=Q抛物线C: y2 4x图像上的一个动点P到直线I与y轴的距离之和的最小值是 答案：1解析：结合题意，画出直线与抛物线的草图，找到点 P到直线I与y轴的距离之和，如下图所示，即 PH+PA=PH+PB-仁PH+PF-PH 1,PH用点到

12、直线距离公式求出来等于2,所以答案为1评注：注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，如本题中用到了“抛物线上 的点到焦点的距离等于这个点到准线的距离” 这个性质，然后结合图像进行转化。22例3( 14金山)已知有相同焦点F,、F2的椭圆 y2 1(m 1)和双曲线 y2mn=0( n 0),点P是它们的一个交点，则 S rpe()答案：D解析：法一：如下图所示，由题意得：c2 m 1 n 1, PF1 PF2 2 m，PF2PF2、拆，两式平方相减得：PFPF2m n2,所以PFjPF；(PRPF)22PF1 PF2 4m 4 4cF1F2,即 PF1 PF?,得 S 1法二：对于椭圆而言，焦

13、点三角形的面积为 S b2ta n,对于双曲线而言焦点三2角形面积S b2cot，而这是同一个三角形，所以tancot，即，所2 2 2 2以S斤PF21。评注：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题时，很多时候要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结 合，有机分析，以静制动，以不变应万变。例4 (14金山)设双曲线nx2 ( n 1) y2 1，( n N )上动点P到定点Q (1,0)的距离三最小值是dn，贝U lim dn ()n12A.1 ; B二;C.0 ; D.122答案：B解析：双曲线方程两边同时除以n,得到x2 (1 1) y2 1，

14、当n ,丄 0，nnn即方程x2 y2 0,这就是方程的极限位 置，即求点Q (1，)到直线y x的距离，选B评注：这是一类要考虑极限位置的极限体型， 在高考中出现过类似的题目，一般 找到了极限的位置，题目就很容易解的，很多同学不会因为没有想到极限的位置，而像二想把dn用n表示出来就复杂了 。例5 (14闵行)若曲线f (x，y)0上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是()A.x2 y 10; B. x 4 y210; C.x2 y2 x x 10; D.3x2 xy1 0答案：C评注：利用数形结合的方法，考查了含绝对值曲线方程的画法， 一般根

15、据图像的 对称性，或者分区间、分象限进行分类讨论函数方程在各个象限的图像， 再结合 题意解题。4、与向量的运用：例1 （14徐汇）如下图所示，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB、AC两 边分别交于 M、N两点去，且 AM xAB,AN yAC,则x y答案：6、55,3】SC答案:13解析:法一:M、G、N三点共线，设AGAMAN , 有1 , AM xAB ,ANyACAGAMANxAB yAC1，因为G是重心，所以AG 3AB-AC,即x1 1 1 y ,1,化简显133 3x 3yxy 3解析：根据题意，a j a 2j V5的几何意义为一个点到（1,0）的距离加上这个点到（0,2

16、）的距离等于.5,如下图所示，即到A点的距离加上到E点的距离等 于、5 ,而AB 5 ,所以这个点的轨迹为线段 AB ,而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB上的点到点（-2,0）的距离的取值范围，最短距离是下图中CD的长度，用点到直线的距离公式或等面积法可求得 CD因为BC52.2, AC 3,距离的最大值为 3。评注：用代数的方法计算，因为有根号，过程很复杂，结合向量的模的几何意义, 转化成图形问题就简明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用。例3 （ 14徐汇）如下图所示，在边长为2的正六边形 ABCDEF中，动圆Q的半 径为1,圆心在线段CD （含端点）三上运动， P是

17、圆Q上及内部的动点，设向 量AP mAB nAF（ m、n R），则m n的最大值为 答案：5解析：如上图所示，AP 5（AB AF）。2评注：本题结合动态图像考查了向量的分解， 要求能够理解题意，本题也可建系 分析5、与其他知识点的综合运用：例1 （14浦东）用S集合S中的元素的个数，设A、B、C为集合，称（A，B，C）有序三元组。如果集合A、B、C满足ABB C A C1,且 ABC，则称有序三元组（A、B、C）为一最小相交，由集 合1 ,2,3,4的子集构成的所有有序三元组中，最小相交的有序三元组的个数为 答案：96解析：设A、B、C为1,2,3,4的三个子集，如下图所示，因为A B C

18、,所以S不含任何元素，因为卜 B| |B C A C 1,所以M, M2，M3中个各有一个元素，将1,2,3,4中的元素排入，有C；P； P：种方法，由题意得，还剩下的 一个元素，可排在P、Q、R，也可不排入，共有1 P3 4种方法，由分步原理得 4P：96。评注：本题要注意分步原理与分类原理的综合运用， 抽象出解题模型，从而使问 题得到解决，当然也可以用列举法，1,2,3,4有15个非空子集，显然A、B、C中A为含有1个或者4个元素的子集不符合题 意，A为含有2个或者3个元素的子集， 列举即可求解。对于新定义题型，要善于将陌生问题化为熟悉模型，注重基本原 理的运用。例 2 (14十三校联考)集合S (x, y, z) |x、y、z N 且x y z、y z x、z x y恰有一个成立，若(x, y, z) SK( z, w, x) S，则下列