XX年材料阅读题及答案

1、XX年材料阅读题及答案重庆中考材料阅读题分类讲练类型1代数型新定义问题例1【20XX重庆A】对任意一个三位数 n，如果n满足 各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相 异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可 以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n).例如n= 123，对调百位与十位上的数字得 到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为 213 + 321 + 132 =666 , 666 + 111 = 6,所以，F(123) = 6.(1) 计算：F(243) , F(617);

2、(2) 若s , t都是“相异数”，其中s = 100x + 32, t = 150 + y(1 x 9, 1y 9, x, yF(s)都是正整数)，规定：k =.当F(s) + F(t) = 18时，求k 的最大值.F(t)针对训练1 .对于一个两位正整数 xy(O y x 9,且x、y为正 整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做的2222“平方差数”.例如：对数 62来说，6 + 2 = 40, 6-2 =32，所以40和32就分别是62的“平方和数”与“平方 差数”.(1) 75 的“平方和数”是 ，5可以是的“平方差数”；

3、若一个数的“平方和数”为10,它的“平方差数”为8,则这个数是.(2) 求证：当x 9, y 8时，t的2倍减去t的“平方 差数”再减去99所得结果也是另一个数的“平方差数”.(3) 将数t的十位上的数与个位上的数交换得到数 t , 若t与t的“平方和数”之和等于 t 与t 的“平方差数” 之和，求t.2. 将一个三位正整数 n各数位上的数字重新排列后 (含 n本身).得到新三位数abc(a v c)，在所有重新排列中，当 |a + c 2b|最小时，我们称abc是n的“调和优选数”，并2规定F(n) = b ac.例如215可以重新排列为125、152、 215，因为 |1 + 5 2X 2

4、| = 2, |1 + 2 2X 5| = 7, |2 + 5 2 X 1| = 5,且2 v 5v 7,所以125是215的“调和优选数”。2F(215) = 2 1 X 5= 1. (1)F(236)=;(2)如果在正整数 n三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数；(3) 设三位自然数 t = 100x + 60+ y(1 x 9, 1 y 9, x, y为自然数)，交换其个位上的数字与百位上的数字得到 数t .若t - t = 693，那么我们称t为“和顺数”.求所 有“和顺数”中F(t)的最大值.3. 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法

5、.对于任何一种进制X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位.十进制是逢十进一， 十六进制是逢十六进一， 二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一.为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成(a)X.0类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数(1111)X 中，右起第一位上的1表示1 X X。123第二位上的1表示1 X X,第三位上的1表示1 X X,第 四位上的1表示1 X X.故(1111)X32103210=1 X X+ 1 X X+ 1 X X+ 1 X X,即：(1111)X 转化为十进 制表示的数为X+ X+ X+ X.如：32103210(1111)2 =

6、 1 X 2 + 1 X 2 + 1 X 2 + 1 X 2= 15, (1111)5 = 1X 5 + 1 X 5 + 1 X 5+ 1 X 5= 156.根据材料，完成以下问题：把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：(101011)2 =; (302)4 =; (257)7 =(2) 若一个五进制三位数(a4b)5与八进制三位数(ba4)8 之和能被13整除(1 a 5, 1 b5，且a、b均为整数)， 求a的值；(3) 若一个六进制数与一个八进制数之和为666,则称这两个数互为“如意数”，试判断 (mm1)6与(nn5)8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理.4. 我

7、们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解： n= px q(p , q是正整数，且p6-2q34-3,所以3X 4是12的最佳分解，所以 F(12) = . 4(1) 如果一个正整数 m是另外一个正整数 n的平方，我们称正整数 m是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m,总有F(m) = 1.(2) 如果一个两位正整数 t , t = 10x + y(1 x y 9, x,y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；(3)在所得的“吉祥数”中，求 F(t)的最大值.类型2函数型新定义问题2例2已

8、知一个大于1的正整数t可以分解成t = ac + b 的形式(其中a2 X 3-2 X 1 1 X 3- 1 X 2，所以 2X 3+ 1 是7的“等比中项分解”，P(7)2 = . 3(1) 若一个正整数q= m+ n,其中 m n为正整数，则称 q为“伪完全平方数”，证明：1对任意一个“伪完全平方数”q都有P (q)=.2(2) 若一个两位数 s = 10x + y(1 yx2b 3c, x2 = 1,求点P(,)与原点O的距离OP 的取值范围.aa4 .若一个整数能表示成 a+ b(a , b是整数)的形式，则 称这个数为“完美数”.例如。2222225是“完美数”，因为 5= 2+ 1

9、.再如，M= x + 2xy + 2y =(x + y) + y(x , y是整数)，所以M也是“完美数”.(1) 请你再写一个小于10的“完美数”，并判断 29是 否为“完美数”.22(2) 已知 S= x + 4y + 4x - 12y + k(x ,是整数，k 是常数)， 要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个 k值，并说明 理.(3) 如果数m n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”.5. 若将自然数中能被 3整除的数，在数轴上的对应点 称为“ 3倍点” P,取任意的一个“ 323倍点” P,到点P距离为1的点所对应的数分别记为 a, b.定义：若数K= a+ b ab,则22称

10、数K为“尼尔数”.例如：若 P所表示的数为3,则 a= 2, b= 4,那么 K= 2+ 4-2X 422=12;若P所表示的数为12,则a= 11, b= 13，那么K =13 + 11- 13X 11= 147,所以 12, 147 是“尼尔数”.(1) 请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所 有“尼尔数” 一定被 9除余3; (2)已知两个“尼尔数”的 差是189，求这两个“尼尔数”.22类型3整除问题例3我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行 这样的分解：n= p+ q(p、q是正整数，且p q)，在n的所 有这种分解中，如果 p、q两数的乘积最大，我们就称p+ q是n的

11、最佳分解.并规定在最佳分解时：F(n) = pq.例如6可以分解成1 + 5或2 + 4或3+ 3,因为1 X 51且n为整数) 位正整数K的首位后添加6得到的新数叫做 K的“顺数”， 在K的末位前添加6得到的新数叫做 K的“逆数”.若 K的“顺数”与“逆数”之差能被17整除，称K是“最佳拍档数”.比如1324的“顺数”为16324, 1324的“逆数”为13264, 1324的“顺数”与“逆数”之差为16324 - 13264 =3060, 3060- 17= 180，所以1324是“最佳拍档数”.(1) 请根据以上方法判断 31568(填“是”或“不是”)“最佳拍档数”；若一个首位是5的四

12、位“最佳拍档数” N,其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于十位数字，求所有符合条件的N的值；(2) 证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30整除.a5.若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n,使得=n，即a= bn.例如：若整数ab能被整数7整除，则一定存在整数 n,使得a = 7n.(1) 将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除.例如：将数字 1078分解为8和107, 107-8X 2= 91,因为91能被7整除，所以1078 能被7整除，请你证明任意一个三位数都

13、满足上述规律.(2) 若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k(k为正整数，1 k 5)倍，所得之和能被13整除，求当k为何值时使得原多位自然数 一定能被13整除.参考答案例 1.解：(1)F(243) = (423 + 342 + 234) + 111 = 9 , F(617) = (167 + 716+ 671) + 111 = 14. (2) / s, t 都是“相 异数”。 F(s) = (302 + 10x + 230 + x + 100x + 23) + 111 = x +5, F(t) = (510 + y + 100y + 51 + 105+ 1

14、0y) + 111 = y + 6。T F(s) + F(t) = 18, x + 5 + y + 6= x + y + 11 = 18, x + y = 7,v 1 x 9, 1 y0, 2x0,. x = y = 0.故 t = 0.2. 解：(1)F(236) =- 3(2) 证明：设这个正整数n三个数位上的数字分别为：x+ yx, , y.2x + y |a + c 2b|最小时，我们称abc是n的“调和优选数”,F(n) = b ac = 2=;422 F(n)为一个完全平方数;22(3) t = 100x + 60 + y, t = 100y + 60 + x。xy =x2 + y

15、2xyx - y2t t = 99x 99y = 693 , 99(x y) = 693, x y = 7, x = y + 7, 1 x 9, 1 y 9,. 1y + 7 9,1Wy w 2, y = 1, y = 2，或 t = 861 或 t = 962, x = 8x = 9。当t = 861时，可以重新排列为168, 186, 618.|1 + 8 2X6| = 3, |1 + 6 2X 8| = 9, |6 + 8 2X 1| =12 , 168为861的“调和优选数”。 F(861) = 6X 6 1 X 8= 28;当 t = 962 时，可以重新 排列为 269, 296,

16、 629,T|2 + 9 2X 6| = 1, |2 + 6 2X 9| =10 , |6 + 9 2X 2| = 11,二 269 为 962 的“调和优选数”， F(962) = 6X 6 2X 9 = 18.所有“和顺数”中F(t)的最大值为28.3. 解：43; 50; 140122(2)b + 4 X 5 + aX 5 + 4 + a X 8 + b X 8= 33a + 65b + 24 = 13(2a + 5b + 1) + 7a+ 11,13 整除 7a + 11。15而 1 w a w 5, 1 w b w 5 , 18 w 7a + 11 w 46, 7a + 11 =26

17、或39.解得a=(舍去)或4。8(3) (mm1)6 + (nn5)8=1 + 6m+ 36m+ 5+ 8n+ 64n = 6 + 42m+ 72n.若互为“如意数”，则 6+ 42m+ 72n = 666,7m+ 12n=110，此时m必为偶数。经检验，当 m= 2, n= 8时，7m+ 12n= 110,二这两个 数为85和581.24. (1)证明：对任意一个完全平方数 m,设m= a(a为正 整数),/ |a a| = 0,. ax a是m的最佳分解， 二对任意 一个完全平方数 m,总有F(m) = 1.(2) 设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t ，贝U t = 10y +

18、 x,v t 是“吉祥数”。t t = (10y + x) (10x + y) = 9(y x) = 36,y=x + 4, v 1 x y,. 513378459451337593所有“吉祥数”中，F(t)的最大值是.5aa例2解：(1)证明：I a 0.222又 q= n =m+ n, 令 n= b, m= a= c。则此时be ba最小为0。2故mmr n是q的“等比中项分解”。n + ml P(q) = . 22(2)题意，得 2(10y + x) + 14(10x + y) = 8k + 4(k 为整 数), 即：142x + 34y = 8k + 4. /. 8(18x + 4y)

19、 + 2y 2x 4 = 8k, 2(y x 2)是8的倍数，二y x 2是4的倍数. 又 1 yx5 且 x, y 均为自然数， / 6y x 2 2,y x 2 = 4, x = y + 2 , s = 31 , 42, 53.be ba = b(c a)，且 a, b, c 为正整数，a,. P(s)max =.21612216针对训练1. 222. 解：(1)1 + 2(x - y) + (x - y) = (x - y+ 1);22(2) 令 A= a+ b,则原式变为 A(A-4) + 4= A-4A+ 4 = (A - 2)。2故(a + b)(a + b 4) + 4= (a

20、+ b- 2);2(3) 证明：(n + 1)(n + 2)(n + 3n) + 12=(n + 3n)(n + 1)(n + 2) + 122=(n + 3n)(n + 3n + 2) + 1222=(n + 3n) + 2(n + 3n) + 122=(n + 3n + 1) ,/ n 为正整数，2 n+ 3n+ 1也为正整数。2代数式(n + 1)(n + 2)(n + 3n) + 1的值一定是某一个 整数的平方.11113. 解：T1 , 2, 3的倒数分别为1,且1.232311 +工1,1, 2, 3不可以构成“和谐三数组”.23kkkkkk) , R(t + 3,)，且，构成“和

21、谐三数组”.tt + 1t + 3tt + 1t + 3tt + 1t + 3若=+ ,得 2t + 4= t , 得 t = 4;kkkt + 1tt + 3若=+ ,得 2t + 3 = t + 1,得 t = 2;kkkt + 3tt + 1 若=+，得 2t + 1 = t + 3,得 t = 2.kkk综上，t的值为4或2或2.(2) M(t , ) , N(t + 1。(3) 证明：I a, b, c均不为0,. x1 , x2, x3都不为0,令 y = 2bx + 2c = 0,贝U x1 =。y = 2bx + 2c, 2 联立整理得：ax + bx + c = 0. 2 y

22、 = ax + 3bx + 3c。cbca11x2 + x3bab1 . + = = =,x2x3x2 x3accx1 A,B,C三点的横坐标x1 ,x2,x3构成“和谐三数组”. x2 = 1，. a + b+ c = 0，. c = a b.a 2b。 a2b3c,. a2b3( a b)，且 a0，整理得5b 3a。3b1bcb 0。a5222 x2 + x3 = , x2 x3 = o31313122当一vmv时，OP随m的增大而减小，当时，OP有最大值，当 m=时，5252521OP2有最小值；21111122当一vma m 0时，OP随m的增大而增大，当m=时， OP有最小值，当

23、m=时，2222250P2有最大值。21210252/. OP& OP 1,a OP且 OP 1.2222224. 解：(1)(答案不唯一)0, 1, 2, 4, 8, 9均可.因为29= 5+ 2,所以29是“完美数”；ba(2)当 k = 13 时，S= x + 4y + 4x 12y + 13= x + 4x + 4+ 4y 12y + 9= (x + 2) + (2y 23) , x, y是整数， x + 2, 2y 3也是整数，二S是 一个“完美数”.2222(3) v m与 n 都是“完美数”，二设 m= a+ b, n = c + d(a , b, c, d 都是整数)，贝 mn

24、= (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 22222222 = ac + 2abcd + bd+ bc 2abcd + ad22=(ac + bd) + (bc ad). / a, b, c, d 是整数。 ac + bd与bc ad都是整数，二mn也是“完美数”.5. 解：(1)6不是“尼尔数”；39是“尼尔数”； 设a =3n + 1, b= 3n 1(其中 n 为自然数),K = (3n + 1)2 + (3n 1)2 (3n + 1)(3n 1)222=2X 9n+ 2X 1 (9n 1) = 9n + 3, 所有“尼尔数”一定被

25、9除余3.22(2)设这两个“尼尔数”分别为9m 3, 9n + 3。22其中 m n 为整数，则(9m + 3) - (9n + 3) = 189, m2- n2= 21. (m + n)(m n) = 1 x 21 或 3X 7. m + n= 21, m+ n = 7, m= 11, m= 5,.或解得或 m n= 1m- n= 3.n = 10n= 2.22当 m= 11, n = 10 时，9m+ 3= 9x 11 + 3= 1092, 229n + 3 = 9 x 10+ 3 = 903.22当 m= 5, n = 2 时，9m+ 3 = 9x 5 + 3= 228, 229n +

26、 3 = 9 x 2+ 3 = 39.答：这两个“尼尔数”分别是 1092和903或228和39.类型3.整除问题例 3.解：(1)11 = 1+ 10= 2+ 9= 3+ 8= 4+ 7 = 5 + 6, 且 1 x 102 x 93x 84x 75x 6,所以 F(11) = 5x 6= 30. 设此数为1bc,题可得10 + b = 2m+ 1，得：10+ b为奇数，所以b为奇数；100 + 10b+ c = 3n+ 2，得：1 + b + c + 1 是 3 的倍数；21 + b+ c + 1 = k.(其中m, n, k为整数)又因为 1 b 9, 1 c 9,所以 4 1 + b+

27、 c + 120,所以1 + b+ c + 1只能等于9，即b+ c = 7.所以当b= 1时， c = 6,此数为116.当b= 3时，c = 4,此数为134; 当b =5时，c = 2,此数为152;当b= 7时，c = 0,此数为170; 当b= 9时，舍去；所以 F(t)max = F(170) = 85 X 85= 7225.针对训练222221. 解：(1) 四位数123k是一个“精巧数”，1230+ k是4的倍数； 即1230 + k = 4n。当 n= 308 时，k = 2;当 n = 309 时，k = 6, k = 2 或6；(2) v 2ab是“精巧数”， a为偶数，

28、且2+ a + b是3 的倍数， av 10, bv 10, 2 + a + bv 22,v各位数字之和为一个完全平方数。2- 2+ a+ b= 3= 9。当 a= 0 时，b= 7;当 a= 2 时，b= 5;当 a= 4 时，b=3;当a= 6时，b= 1,所有满足条件的三位“精巧数”有：207, 225, 243, 261.2. 解：(1)证明：设这个四位“两头蛇数”为1ab1，题意，得 1ab1 - 3ab = 1001 + 100a + 10b- 30a- 3b= 1001 +70a + 7b = 7（143 + 10a + b）.a、b 为整数， 143 + 10a+ b 为整数。

29、一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两位数的3倍能被7整除.（2） 16的真因数有：1, 2, 4, 8, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. 15= 1 + 3+ 11,a 16 的“亲和数”为 33.1x4y1设这个五位“两头蛇数”为1x4y1，题意，得为整数。3310x + 10y + 6 315 + 30x + 为整数，故 10x + 10y + 6= 66。33 x + y = 6. 0x9, 0y 9,且 x, y 为整数，xy , x = 0, x= 1, x = 2,或或 y = 6y = 5y = 4。这个五位“两头蛇数”为：10461或11451或12441.20

30、xy1720XX17+ 100xyxy + 43. 解：（3） = = 6061 + 3xy +。333333故xy + 4为33的倍数，因为10 xy 99,所以14 xy + 4 103, 即卩 xy + 4= 33, 66, 99, 所以 xy = 29, 62, 95, 即x = 2, y = 9 x = 6, y = 2或x = 9, y = 5.4. 解：是；设 N= 5xy(8 y)，其中 OW y x 9, y 8, x, y 为整 数。则N的“顺数”为：56xy(8 y)小 的“逆数”为：5xy6(8 y)。56xy 5xy6题意，得17为整数。7 + x 5y 为整数，I

31、OW y 1 , 1 Wx W 9, OW y W 9, x, y 为整数。m+ 2m+ 1贝K的“顺数”为：x6Ay = 1Ox + 6X 10 + 10A+ y, K 的“逆数”为：xA6y = 10m 2x + 100A+ 60+ y, x6Ay - xA6y =60(10m- 1) - 90A。 x6Ay - xA6y能被30整除，即结论成立.5. 解：(1)证明：设某三位数百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z， 则原三位数为：100x + 10y + z。根据题意，存在整数 n,使得10x + y 2z = 7n,10x+ y = 2z + 7n。 100x + 10y + z = 10(10x + y) + z = 10(2z + 7n) + z = 21z + 70n,100x + 10y + z21z + 7