第十二章实数单元复习

1、来稿日期：2011-5-6联系：上海市甘泉外国语中学 孙振飞（上海市普陀区宜川路400号 ）电话：QQ：（天地）Email: hlsunzhenfei第十二章实数实数单元复习上海市甘泉外国语中学 孙振飞实数实数的分类实数的运算有理数无理数用数轴上的点表示实数运算法则及运算性质近似数及近似计算数的开方分数指数幂有理数指数幂运算性质一、知识系统二、题型举例（一）实数分类例1（1）下列说法正确有 （填序号）无限小数都是无理数；带根号的数是无理数；有理数都是有限小数；实数不是有理数就是无理数；两个无理数的和与积都是无理数；有理数与无理数分别平方后不可能相同（2）把下列各数填入相应的集合内：7，0.32

2、， ，0，0，有理数集合: ；无理数集合: ；正实数集合: ；非正整数集合: 分析：有理数和无理数统称为实数，实数也可以按正负性分为正实数、零和负实数；无理数是无限不循环小数，无限小数中循环小数则是有理数；带根号的数不一定无理数，比如是有理数；两个无理数的和与积均可以为有理数，如、第（1）问答案为、第（2）问7，0.32， ，0；，0.，；0.32， ，0；7，0（二）相反数、绝对值、实数大小比较例2（1）的相反数是，它的绝对值是（2）设，那么a、b的大小关系是分析：数a的相反数为a，一个式子的相反数就是将其每一项均改变符号；正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0第（1）

3、问答案分别为、比较两个实数的大小方法较多：近似值法、数轴法、差值法、平方法等等，第（2）题可以采用平方法，()210，(3)2，故3，即ab（三）实数与数轴上点的对应关系例3（1）所有和数轴上的点一一对应的数组成 （ ）A整数 B有理数 C无理数 D实数（2）请将图1数轴上各点与下列实数对应起来：3，、1.5、；图1求A、B两点之间的距离分析：实数与数轴上的点具有一一对应的关系：任何一个实数均可以在数轴上找到它的位置，反过来，数轴上任何一个点均代表一个实数故第（1）问选D第（2）问的依据各数的正负性以及、这三个无理数的近似值，较容易确定出点A、B、C、D、E表示的数分别为1.5、3、；第问是求

4、数轴上两点之间的距离，应该用右边点表示的数减去左边点表示的数，得AB1.5（四）平方根、立方根概念例4（1）数64的立方根是，平方根是，算术平方根是（2）平方根等于它的本身的数是（3）算术平方根等于它的本身的数是（4）立方根等于它的本身的数是（5）32的五次方根是 ，64的六次方根是 分析：一个正数有两个互为相反数的平方根，其正的平方根也叫算术平方根，负数没有平方根；而一个数的立方根只有一个，其正负性与原数的正负性是一致的；奇数次方根与立方根类似，偶数次方根与平方根类似；0的任何方根均为0答案如下：（1）4，8；（2）0；（3）0和1；（4）0和；（5）2，（五）分数指数幂、科学计数法、近似数

5、例5（1） ，表示成幂的形式是_， （2）近似数9.60105有 个有效数字，精确到 位（3）计算： （4）利用幂的运算性质计算（结果写成幂的形式）分析：第（1）问，ap(p是正整数)，即负整数指数幂运算结果为其正整数幂的倒数，具体计算时可依据“底倒指反”来处理，如16由可知，写成幂的形式为，有效数字是指从该数左边第一个不为零的数字开始数，有几个数（包括后面的0）就有几个有效数字，故第（2）题有三个有效数字，而精确度的确定还受到系数后面所乘的10的幂的制约，本题中数字9表示的是十万位，故系数中的数字0表示千位第（3）题是幂的运算性质的具体运用：、；第（4）题则要先将方根转化为分数指数幂，然后再

6、用幂的性质进行计算第（3）题，解：第（4）题，解：（六）实数计算例6计算：（1）；（2）；（3）（精确到0 01）；（4）分析：实数的计算首先是要准确掌握基本的运算法则和性质，其次要按照运算由高级到低级的顺序进行先后计算，当然可以运用运算律改变运算顺序以达到简便计算的效果，另外，还要注意题目结果精确度的要求解：（1）原式510；（2）原式；（3）原式21.4142.2362100.22828111821.9461.95；（4）原式211三、同步练习1下列实数 , , , , 中是无理数的有（）A1个 B2个 C3个 D4个2下列说法：（1）无理数一定是无限小数；（2）带根号的数一定是无理数；（

7、3）无限小数是无理数；（4）不带根号的数是有理数其中正确的说法的个数是（ ）A0 B1 C2 D33下列说法不正确的是（ ）A1的立方根是1； B1的立方是1； C1是1的平方根； D1的平方根是14下列式子中正确的是（ ）A B C D5_，把写成幂的形式为 6近似数0.618是精确到 位，近似数7.20万是精确到 位7近似数5.10105有 个有效数字，数精确到百位是 8的相反数为，绝对值为9比较下列各组数的大小:0.1， 7 （用“”、“”、“”）10已知，则 ， 11估算的值是在（ ）A5和6之间 B6和7之间 C7和8之间 D8和9之间12某老师在讲实数这一节时，画了如图2所示的图形

8、，即以数轴单位长，作为边作一个正方形，再以O为圆心，以正方形的对角线长为半径作弧与数轴交于两点A、B图2（1）A、B表示数 ；（2）作这样图说明： 13在数轴上表示2的点与表示点之间的距离为 14计算：（1）； （2） ；（3）； （4）；（5）（保留三个有效数字）； （6）(结果可用幂的形式表示)四、能力渗透1若，则x 分析：由，易知x有两个值，为，对于本题，要将42x看成整体，得42x或，解得x或2若的整数部分为a，小数部分为b，则ab 分析：由56，可知a5，则b5，ab5（5）103一个正数x的平方根是与，求x的值分析：正数有两个平方根，它们互为相反数，所以0，解得a2，即平方根为，从

9、而x494已知，求18 xy的平方根分析：与均为非负数，而它们的和又为0，故每个数只能为0，即3x10，32y0，得x，y，18 xy18（）9，其平方根为5已知x、y都是实数，且，求的平方根分析：由的非负性可得，可知x2，得y4，结果为图36如图3，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）A1 B1 C2 D2图4分析：因为点B关于点A的对称点为C，所以ACAB，设点A表示的数为x，则1x1，得x2，选C7如图4，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4、2，求阴影部分的面积分析：本题需将阴影部分的两个长方形通过平移拼成一个大的长方形，其一边长等

10、于小正方形的边长，与之相邻的边长为大正方形的边长与小正方形边长之差，即2，所以面积为（2）22五、错误辨析1实数，中，分数的个数是（）A0B1C2D3分析：对分数是有理数的实质没有准确理解，只看一个数的形式，误选为D其实，均为无理数，正确答案为B2若，则分析：不少同学受思维定势的影响，得2x15，造成漏解的现象正确解法是2x1，2或33的平方根是 分析：误认为求16的平方根，错解为正确处理应分为两步：第一步求得4，第二步是求4的平方根，结果为4下列说法中，错误的是（ ）A2的平方根是 B是2的平方根C是2的一个平方根 D2的平方根是分析：搞不清平方根的定义与性质，感觉四个答案均正确，A、D判断

11、的依据是平方根的性质，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故D是错误的，应选D；而B、C判断的依据则是平方根的定义，()2与()2均为2，所以和均是2的平方根，B、C都是正确的5 分析：本题常出现三类错误：一是误认为是正数，结果错得；二是在改相反数时，变号不彻底，错得；三是有部分同学对取近似值3.14进行计算，得出近似结果为0.14正确答案为36 分析：不少同学误认为“负负得正”，错解为2或正确答案为六、生活与数学1要使人造地球卫星绕地球运转，必须使它的速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，第一宇宙速度的计算公式为，第二宇宙速度的计算公式为，求第一、第二宇宙速度（取10，保留两个有效数字）图52某种牙膏上部圆的直径为3cm，下部底边的长为48cm，如图5，现要制作长方形的牙膏盒，牙膏盒上面是正方形在手工课上，小明，小毛，小丽和小芳4位同学分别制作的牙膏盒高度都一样高，且符合要求不同的是上面正方形的边长，如下表：（1)这4位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗？（2)若你是这种牙膏厂的厂长，从节省材料又方便取放牙膏的角度来看，你认为谁的制作更优秀？参考答案：三、同步练习1B2B3D4A5，6千分位，百位73，3.6361058 ，9，1037.77，0.0813