材料力学简明教材 (1)

1、1-1 材料力学的任务1几个术语构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图1-1a所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，斜杆CD都是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件分为：杆件、板和壳、块体. 杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图1-3a所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图1-3a、b；变截面直杆，如图1-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图1-3b。板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图1-4a和

2、b所示。块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件，如图1-4c所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是指杆件。 变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，如图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，受力后将由原来的位置弯曲到AB位置，即产生了变形。 小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理”。如图1-1a所示桥式起重机主架，变形后简图如图1-1b所示，截面最大垂直位移f一般仅为跨度l的l/15001/700，B支撑的水平位移则更微小，

3、在求解支承反力RA、RB时，不考虑这些微小变形的影响。 2对构件的三项基本要求强度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗断裂破坏的能力。例如储气罐不应爆破；机器中的齿轮轴不应断裂等。刚度：构件在外载作用下，具有足够的抵抗变形的能力。如机床主轴不应变形过大，否则影响加工精度。稳定性：某些构件在特定外载，如压力作用下，具有足够的保持其原有平衡状态的能力。例如千斤顶的螺杆，内燃机的挺杆等。构件的强度、刚度和稳定性问题是材料力学所要研究的主要内容。3材料力学的任务1）研究构件的强度、刚度和稳定性；2）研究材料的力学性能；3）为合理解决工程构件设计中安全与经济之间的矛盾提供力学方面的依据。构件的强度、刚度和

4、稳定性问题均与所用材料的力学性能有关，因此实验研究和理论分析是完成材料力学的任务所必需的手段。 1-2 变形固体及其基本假设在外力作用下，一切固体都将发生变形，故称为变形固体，而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形固体。由于变形固体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设：1连续性假设：认为整个物体所占空间内毫无空隙地充满物质。2均匀性假设：认为物体内的任何部分，其力学性能相同。3各向同性假设：认为物体内在各个不同方向上的力学性能相同。1-3 外力及其分类外力是外部物体对构件的作用力，包括外

5、加载荷和约束反力。1. 按外力的作用方式分为：体积力和表面力1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。2）表面力：作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于物体表面的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的压力等。2. 按外力的性质分为：静载荷和动载荷1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很不显著，称为静载荷。2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为构件具有较大加速度、受交变载荷和冲击载荷三种情况。交变载荷是随时间作周期性变化的载荷；冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化所引起的载

6、荷。 1-4内力、截面法和应力的概念1内力由于构件变形，其内部各部分材料之间因相对位置发生改变，从而引起相邻部分材料间因力图恢复原有形状而产生的相互作用力，称为内力。注意：材料力学中的内力，是指外力作用下材料反抗变形而引起的内力的变化量，也就是“附加内力”，它与构件所受外力密切相关。2截面法假想用截面把构件分成两部分，以显示并确定内力的方法。如图1-5所示：（1）截面的两侧必定出现大小相等，方向相反的内力；（2）被假想截开的任一部分上的内力必定与外力相平衡。例1-1 钻床如图1-6a所示，在载荷P作用下，试确定截面mm上的内力。解：（1）沿mm截面假想地将钻床分成两部分。取mm截面以上部分进行

7、研究（图1-6b），并以截面的形心O为原点。选取坐标系如图所示。（2）为保持上部的平衡，mm截面上必然有通过点O的内力N和绕点O的力偶矩M。（3）由平衡条件 因此用截面法求内力可归纳为四个字：1）截：欲求某一截面的内力，沿该截面将构件假想地截成两部分。2）取：取其中任意部分为研究对象，而弃去另一部分。3）代：用作用于截面上的内力，代替弃去部分对留下部分的作用力。4）平：建立留下部分的平衡条件，由外力确定未知的内力。3应力参照图1-7，围绕K点取微小面积 。根据均匀连续假设， 上必存在分布内力，设它的合力为 ， 与 的比值为是一个矢量，代表在 范围内，单位面积上的内力的平均集度，称为平均应力。当

8、 趋于零时， 的大小和方向都将趋于一定极限，得到称为K点处的（全）应力。通常把应力 分解成垂直于截面的分量 和切于截面的分量 ， 称为正应力， 称为剪应力。应力即单位面积上的内力，表示某微截面积 处内力的密集程度。应力的国际单位为N/m2，且1N/m2 =1Pa（帕斯卡），1GPa=1GN/m2 =109Pa， 1MN/m2=1MPa=106 N/m2=106Pa。在工程上，也用kg(f)/cm2为应力单位，它与国际单位的换算关系为1 kg/cm2=0.1MPa。1-5变形与应变对于构件上任“一点” 材料的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，它们分别由线应变和角应变来度量。1线应变 通常用正

9、微六面体（下称微单元体）来代表构件上某“一点”。如图1-8，微单元体的棱边边长为 ，变形后其边长和棱边的夹角都发生了变化。变形前平行于x轴的线段MN原长为 ，变形后M和N分别移到M和N， 的长度为 ，这里于是表示线段MN每单位长度的平均伸长或缩短，称为平均线应变，若使 趋近于零，则有一点线应变称为M点沿x方向的线应变或正应变，或简称为应变。线应变，即单位长度上的变形量，为无量纲量，其物理意义是构件上一点沿某一方向线变形量的大小。2角应变 如图1-6，正交线段MN和ML经变形后，分别是 和 。变形前后其角度的变化是 ，当N和L趋近于M时，上述角度变化的极限值是称为M点在xy平面内的剪应变或角应变

10、。剪应变，即微单元体两棱角直角的改变量，为无量纲量。 例1-2 图1-9a所示为一矩形截面薄板受均布力p作用，已知边长l=400mm，受力后沿x方向均匀伸长l=0.05mm。试求板中a点沿x方向的正应变。解：由于矩形截面薄板沿x方向均匀受力，可认为板内各点沿x方向具有正应力与正应变，且处处相同，所以平均应变即a点沿x方向的正应变。，x方向例1-3 图1-9b所示为一嵌于四连杆机构内的薄方板，b=250mm。若在p 力作用下CD杆下移b=0.025，试求薄板中a点的剪应变。解：由于薄方板变形受四连杆机构的制约，可认为板中各点均产生剪应变，且处处相同。 1-6杆件的基本变形形式杆件受力有各种情况，

11、相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的基本变形只有以下四种： 1拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形（图1-10）。2剪切：变形形式是由大小相等、方向相反、相互平行的一对力引起的，表现为受剪杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动。如连接件中的螺栓和销钉受力后的变形（图1-11）。3扭转：变形形式是由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的一对力偶引起的，表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形（图1-12）。4弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，

12、或由作用于包含杆轴的纵向平面内的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。如单梁吊车的横梁受力后的变形（图1-13）。杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。 2-1轴向拉伸与压缩杆件及实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，计算简图如图2-1。轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。实例如图2-2所示用于连接的螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-

13、5所示巷道支护的立柱。通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：1. 受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。2. 变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。2-2横截面上的内力和应力1内力在图2-6所示受轴向拉力P的杆件上作任一横截面mm，取左段部分，并以内力的合力 代替右段对左段的作用力。由平衡条件 ，得 由于 （拉力），则 合力 的方向正确。因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N表示。若取右段部分，同理 ，知 ,得图中 的方向也是正确的。材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定

14、，而不是由平衡坐标方程决定。习惯上将轴力N的正负号规定为：拉伸时，轴力N为正；压缩时，轴力N为负。2轴力图轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。例2-1 求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。 解：（1）计算各段内力AC段：作截面11，取左段部分（图b）。由 得kN （拉力）CB段：作截面22，取左段部分（图c），并假设 方向如图所示。由 得则: kN （压力） 的方向应与图中所示方向相反。 （2）绘轴力图 选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。由图2-7可知CB段的轴力值最大，即 kN。注意两个问题：

15、1）求内力时，外力不能沿作用线随意移动（如P2沿轴线移动）。因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过C点），因为工程实际上并不存在几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内。3轴向拉（压）杆横截面上的应力1）由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。为了求得应力分布规律，先研究杆件变形，为此提出平面假设。平面假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。根据平面假设得知，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横截

16、面上各点正应力也相同，即 等于常量。2）由静力平衡条件确定 的大小由于 ，所以积分得 则: （2-1） 式中： 横截面上的正应力 ； 横截面上的轴力； 横截面面积正应力 的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。对于图2-9所示斜度不大的变截面直杆，在考虑杆自重（容重 ）引起的正应力时，也可应用（2-1）式 （2-2）。 其中 ，若不考虑自重，则例2-2 旋转式吊车的三角架如图2-10所示，已知AB杆由2根截面面积为cm2的角钢制成，kN，。求AB杆横截面上的应力。解：（1）计算AB杆内力取节点A为研究对象，由平衡条件，得 则 kN（拉力） （2）计算AB杆应力 MPa例2-3 起吊钢索如图2-

17、11所示，截面积分别为cm2，cm2，m，kN，材料单位体积重量N/cm3，试考虑自重绘制轴力图，并求。解：（1）计算轴力AB段：取1-1截面 BC段：取2-2截面3-1剪切及其实用计算1工程上的剪切件通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点： 1）受力特点杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 2）变形特点两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。(见动画：受剪切作用的轴栓)。因此剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在

18、构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。2剪应力及剪切实用计算剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为 （3-1）式中：剪力；剪切面积; 名义剪切力。剪切强度条件可表示为： （3-2） 式中：构件许用剪切应力。剪切面为圆形时，其剪切面积为：对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为，其剪切面积为：。例3-1 电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a。插销材料为20#钢，直径。挂钩及被联接的板件的厚度分别为和。牵引力。试校核插销的剪切强度。解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿mm和nn两

19、个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出插销横截面上的剪应力为故插销满足剪切强度要求。例3-2 如图3-8所示冲床，kN，冲头MPa，冲剪钢板 MPa，设计冲头的最小直径值及钢板厚度最大值。解：（1）按冲头压缩强度计算所以 cm （2）按钢板剪切强度计算 所以 cm。3-2挤压及其实用计算挤压：联接和被联接件接触面相互压紧的现象，如图3-5就是铆钉孔被压成长圆孔的情况。有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作用线平面上的投影。挤压时，以表示挤压面上传递的力，表示挤压面积，则挤压应力为 （3-3）式中：材料的许用挤压应力，一般对于圆截面：，如图3-6c所示。 对于平键：，如

20、图3-7所示。 例3-3 截面为正方形的两木杆的榫接头如图所示。已知木材的顺纹许用挤压应力，顺纹许用剪切应力，顺纹许用拉应力。若P=40kN，作用于正方形形心，试设计b、a及。解：1.顺纹挤压强度条件为 2. 顺纹剪切强度条件为 （a） （b）3. 顺纹拉伸强度条件为 （c）联立（a）、（b）、（c）式，解得 例3-42.5挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm,=70mm，圆头半径R14mm（图310）。键的许用切应力87MPa，轮毂的许用挤压应力取100MPa，试校核键连接的强度。解：（1）校核剪切强度键

21、的受力情况如图310c所示，此时剪切面上的剪力（图310d）为 对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图310e），故剪切面面积为所以，平键的工作切应力 满足剪切强度条件。（2）校核挤压强度与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为 P12100N。挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为，则挤压面面积（图310f)为 故轮毂的工作挤压应力为也满足挤压强度条件。所以,此键安全。4-1 扭转及其工程实例工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点：1受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内

22、作用一对大小相等，方向相反的外力偶扭转力偶。其相应内力分量称为扭矩。2变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。 4-2 扭矩和扭矩图1外力偶矩如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n由下列关系计算得到的。(4-1a)如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义。角速度与转速n（单位为转/分，即r/min）。关系为（单位为弧度/秒，rad/s）。由于1kW=1000Nm/s，千瓦的功率相当于每秒钟作功，单位为Nm；而外力偶在1秒钟内所作的功为 /60 （Nm）由于二者作的功

23、应该相等，则有 /60由此便得（4-1）式。式中：传递功率（千瓦，kW） 转速（r/min）如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5 Nm/s，则有（Nm） (4-1b)式中：传递功率（马力，PS）转速（r/min）2扭矩 求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转内力扭矩。如图4-4所示圆轴，由，从而可得AA截面上扭矩T ， 称为截面AA上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。例4-1 传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为。试画出轴的扭矩图。

24、解：按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩 从受力情况看出，轴在BC、CA、AD三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。在BC段内，以表示截面II上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。由平衡方程，有 得 负号说明，实际扭矩转向与所设相反。在BC段内各截面上的扭矩不变，所以在这一段内扭矩图为一水平线（图4-5e）。同理，在CA段内，由图4-5c，得；在AD段内（图4-5d），；与轴力图相类似，最后画出扭矩图如图4-5e其中最大扭矩发生于CA段内，且。对上述传动轴，若把主动轮A安置于轴的一端（现为右端），则轴的扭矩图如图4-6所示。这时，轴的最大扭矩

25、。显然单从受力角度，图4-5所示轮子布局比图4-6合理。4-3薄壁圆筒的扭转当空心圆筒的壁厚t与平均直径D（即2r）之比时称为薄壁圆筒.1剪应力与剪切互等定理若在薄壁圆筒的外表面画上一系列互相平行的纵向直线和横向圆周线，将其分成一个个小方格，其中代表性的一个小方格如图4-7a所示。这时使筒在外力偶作用下扭转，扭转后相邻圆周线绕轴线相对转过一微小转角。纵线均倾斜一微小倾角从而使方格变成菱形(见图4-7b)，但圆筒沿轴线及周线的长度都没有变化。这表明，当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切于截面的剪应力，因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度剪应力不变，又根据

26、圆截面的轴对称性，横截面上的剪应力沿圆环处处相等。根据如图4-7c所示部分的平衡方程，有 ； （4-2）如图4-7d是从薄壁圆筒上取出的相应于4-7a上小方块的单元体，它的厚度为壁厚t，宽度和高度分别为，。当薄壁圆筒受扭时，此单元体分别相应于p-p,q-q圆周面的左、右侧面上有剪应力，因此在这两个侧面上有剪力，而且这两个侧面上剪力大小相等而方向相反，形成一个力偶，其力偶矩为。为了平衡这一力偶，上、下水平面上也必须有一对剪应力作用（据，也应大小相等，方向相反）。对整个单元体，必须满足，即所以 （4-3）上式表明，在一对相互垂直的微面上，垂直于交线的剪应力应大小相等，方向共同指向或背离交线。这就是

27、剪应力互等定理。图表-7d所示单元体称纯剪切单无体。2剪应变与剪切胡克定律与图4-7b中小方格（平行四边形）相对应，图4-7e中单元体的相对两侧面发生微小的相对错动，使原来互相垂直的两个棱边的夹角改变了一个微量，此直角的改变量称为剪应变或角应变。如图4-7b所示若为圆筒两端的相对扭转角，为圆筒的长度，则剪应变为 （4-4）薄圆筒扭转试验表明，在弹性范围内，剪应变与剪应力成正比，即 （4-5）式（4-5）为剪切胡克定律；称为材料剪切弹性模量，单位：GPa。对各向同性材料，弹性常数三者有关系 （4-6）3变形能与比能若从薄壁圆筒中取出受纯剪切的单元体如图4-8所示，由于变形的相对性，可设单元体左侧

28、面不动，右侧面上的剪力由零逐渐增至，右侧面因错动沿方向的位移由零增至。因此剪力所作的功为 等于单元体内储存的变形能，故剪切单元体的变形能为 （4-7）其中。以单元体的体积除得单位体积内的剪切变形能，即比能为 对图4-8所示线弹性情况，当剪应力在剪切比例极限以内时，有 （4-8a）对图4-8所示线弹性关系（比例极限以内），有对图4-7b所示受扭薄壁圆筒，由于其剪应力与剪应变均处处相同，则整个圆筒的变形能为= （48b）4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件平面假设及变形几何关系如图4-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一个个小方格，可以观察到受扭后表面变形有以

29、下规律：(1) 各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变；(2) 由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。从图4-9a取出图4-9b所示微段dx , 其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d,纵线ab倾斜小角度成为ab，而在半径()处的纵线cd根据平面假设，转过d后成为cd（其相应倾角为，见图4-9c）由于是小变形，从图4-9c可知：。于是 （a）对于半径为R的圆轴表面（见图4-9b），则为 （b） 物理关系 与受扭薄壁圆筒相同，在半

30、径为处截出厚为d的薄圆筒（图4-9b），用一对相距dy而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面体）如图4-9c此为受纯剪切单元体。由剪切胡克定理和式（a）得 （c）这表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离成正比，即当；当，取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图4-10。3静力平衡关系在图4-11所示平衡对象的横截面内，有，扭矩，由力偶矩平衡条件，得令 （4-9）此处d/dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为m4或cm4。则 或 （4-10）。 将（4-10）式代回（c）式，得 （

31、4-11）则在圆截面边缘上，为最大值时，得最大剪应力为 （4-12）此处 （4-13）称为抗扭截面系数，单位为m3或cm3。由此得圆轴扭转强度条件 （4-14）注意到此处许用剪应力不同于剪切件计算中的剪切许用应力。它由危险剪应力除以安全系数n得到，与拉伸时相类似：s b 由相应材料的扭转破坏试验获得，大量试验数据表明，它与相同材料的拉伸强度指标有如下统计关系：塑性材料 ；脆性材料 4. 、计算对实心圆轴 对空心圆轴 （4-15） （4-16）例4-2 AB轴传递的功率为，转速。如图4-12所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知，。试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力。解：（1）

32、计算扭矩 轴所受的外力偶矩为由截面法（2）计算极惯性矩 AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为 （3）计算应力 AC段轴在横截面边缘处的剪应力为 CB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为 4-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10）所以（rad） （4-17）式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。越大，则扭转角越小。让，为单位长度相对扭角，则有（rad/m）扭转的刚度条件： （rad/m） （4-18） 或 （/m） （4-19）例4-3 如图4-13的传动轴，r/min，马力，马力，马力，已知MPa，/m，GPa。

33、求：确定AB和BC段直径。解： 1）计算外力偶矩（Nm） （Nm） （Nm） 作扭矩图，如图4-13b所示。2）计算直径 AB段：由强度条件， （mm）由刚度条件（mm） 取 mmBC段：同理，由扭转强度条件得 mm 由扭转刚度条件得 mm 取mm例4-4 如图4-14所示等直圆杆，已知KNm，试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为，（1）由静力平衡方程得 ； （a）此题属于一次超静定。（2）由变形协调方程（可解除B端约束），用变形叠加法有 （b）（3）物理方程 ， （c）由式（c），（b）得 即 并考虑到（a）， 结果 假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图4-14c所示。4-6 圆柱形密圈螺旋弹

34、簧的应力和变形计算螺旋弹簧如图4-15a所示。当螺旋角时，可近似认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。1弹簧丝横截面上的应力如图4-15b以簧丝的任意横截面取出密圈弹簧的上部分为研究对象，根据平衡方程，横截面上剪力，扭矩。由引起的剪应力，而且认为均匀分布于横截面上（图4-15c）；若将簧丝的受力视为直杆的纯扭转，由引起的最大剪应力（图4-15d）所以在簧丝横截面内侧A点有（4-20） 其中 （4-21）当，略去剪应力所引起的误差，可用近似式 （4-22）对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步

35、理论分析和修正系数k的选取可见有关参考书。密圈弹簧丝的强度条件是：（4-23）式中：弹簧丝材料的许用剪应力2. 弹簧的变形设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为，这是弹簧的整体的压缩（或拉伸）变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功。簧丝横截面上，距圆心为的任意点的扭转剪应力为（a）如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能是（b）弹簧的变形能应为 （c）此处，其中，弹簧丝总长为，n为弹簧有效圈数。于是积分式（c）得 （d）由，则得到 （4-24）式中是弹簧圈的平均半径。若引入记号，则式（4-24）可写成 （4-25）代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与成反

36、比，越大则越小。例4-5 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径，簧丝直径，有效圈数。弹簧工作时受KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力（略去弹簧曲率的影响）解：由变形公式求最大压缩量考虑剪切力时 不考虑剪力影响时，相差5.9% 。由于 ，还应考虑曲率影响，此处从略。4-7 非圆截面杆的扭转问题 工程上受扭转的杆件除常见的圆轴外，还有其他形状的截面，下面简要介绍矩形截面，如图4-17a。 杆件受扭转力偶作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生“翘曲”（图4-17b）。扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没

37、有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下（图14-7c）：1）边缘各点的剪应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。2）发生在矩形长边中点处，大小为： ， （4-26）次大剪应力发生在短边中点，大小为，四个角点处剪应力。3）杆件两端相对扭转角 ，（4-27）。其中系数与有关，可查表（见有关参考书）。注意到：对非圆截面扭转，平面假设不再成立。上面计算公式是将弹性力学的分析结果写成圆轴公式形式。 当时，截面成为狭长矩形，此时，若以表示狭长矩形的短边长度，则式（4-26）化为（4-28）其中，此时长边上应力趋于均匀，如图4-17d所示。在工程实际结构中受扭构件某些横截面的翘曲要受到约束（

38、如支承处，加载面处等）。此扭转为约束扭转，其特点是轴向纤维的长度发生改变，导致横截面上除扭转剪应力外还出现正应力。对非圆截面杆件约束扭转提示：（1）对薄壁截面（如型钢）将引起较大的正应力。有关内容可参“开口薄壁杆件约束扭转”专题；（2）对实心截面杆件（如矩形，椭圆形）正应力一般很小可以略去，仍按自由扭转处理。例4-6 某柴油机曲轴的曲柄截面可以认为是矩形的，如图4-18。在实用计算中，其扭转剪应力近似地按矩形截面杆受扭计算。若，已知曲柄所受扭矩为，试求这一矩形截面上的最大剪应力。解：由截面的尺寸求得查表，并利用插入法，求出于是得：4-8 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横截面的其他

39、两个尺寸（高和宽）。若杆件截面壁厚中线是一条不封闭的折线或曲线，如图4-19a，则称为开口薄壁杆件。若为封闭的则称为闭口薄壁杆件 （图4-19b）1开口薄壁杆件的自由扭转可把截面视为一个狭长矩形（图4-20a）或几个狭长矩形的组合（图4-20b）。应力和变形计算可引用狭长矩形截面杆的结果。最后计算公式仍用（4-28），只是，意义作适当改变。 （1）截面可展成一个狭长矩形的，其中h为截面展开为狭长矩形时的中线长度，如图4-20b，。（2）截面可视为n个狭长矩形组成的。可按横截面投影形状保持不变（刚周界）假设，即根据各矩形的扭转角（）和整个横截面扭角相同，而整个截面的扭矩T等于各矩形截面承受的分扭

40、矩之和（），得到： （4-29） 说明：发生在壁最厚的矩形长边上。对于各种型钢，考虑圆角和壁厚不均匀影响，对要乘以修正系数，对角钢，槽钢，工字钢。2闭口薄壁杆件受扭闭口薄壁杆件如图4-21所示对横截面上剪应力的假设：（1）沿周边的切线方向作用；（2）沿壁厚均匀分布。当壁厚变化时，则剪流有（常量）根据截面内剪应力组成扭矩的条件：此处（积分代表截面中线所围面积）于是有（4-30）利用功能原理，对杆长为的整杆可写出扭转力偶m所做的功，变形能。由可求得 （4-31a）若壁厚不变，则，有 （4-31b）。其中s为截面中线的周长。例4-7 图4-22，所示为开口与闭口圆环薄壁杆件，试比较二者的自由扭转剪应

41、力和扭角。设两杆材料相同，并具有相同的长度，平均半径r和壁厚。解：（1）开口，（）（2）闭口， （）， （）（3）比较，可见开口薄壁杆件的应力和变形都远大于同样情况下的闭口薄壁杆件。5-1弯曲及其工程实例图5-1为工程中常见的桥式起重机大梁和火车轮轴，它们都是受弯构件。弯曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线的轴线变为曲线的变形。通常将承受弯曲变形的杆件称为梁。对称弯曲：梁的每一个横截面至少有一根对称轴，这些对称轴构成对称面。所有外力都作用在其对称面内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于这个对称面内的一条曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲，如图5-2所示。 对称弯曲是弯曲问题中最常见的情况。

42、5-2静定梁的基本形式静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定。静定梁的基本形式有：简支梁：一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁，如图5-3a所示。悬臂梁：一端为固定端，另一端为自由端的梁，如图5-3b所示。外伸梁：简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁，如图5-3c所示。 5-3梁的内力剪力和弯矩如图5-4a所示的简支梁，其两端的支座反力 、可由梁的静力平衡方程求得。用假想截面将梁分为两部分，并以左段为研究对象（图5-4b）。由于梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡状态。据此，截面II上将产生内力，这些内力将与外力 、，在梁的左段构成平衡力系。由平衡方程，则 ；这一与横截

43、面相切的内力 称为横截面II上的剪力，它是与横截面相切的分布内力系的合力。根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力对截面II的形心 取矩，其力矩总和应为零，即，则 ；这一内力偶矩称为横截面II上的弯矩。它是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。剪力和弯矩均为梁横截面上的内力，它们可以通过梁的局部平衡来确定。剪力、弯矩的正负号规定：使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负，如图5-5所示；使梁的下部产生拉伸而上部产生压缩的弯矩规定为正，反之为负，如图5-6所示。 5-4 剪力图和弯矩图一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，将剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况用图形表示出来，这种图形分

44、别称为剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图的基本方法有二种：1剪力、弯矩方程法若以横坐标 表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩可以表示为的函数，即上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。根据剪力方程和弯矩方程即可画出剪力图和弯矩图。画剪力图和弯矩图时，首先要建立 和 坐标。一般取梁的左端作为 坐标的原点，坐标和 坐标向上为正。然后根据截荷情况分段列出和 方程。由截面法和平衡条件可知，在集中力、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。分段点截面也称控制截面。求出分段点处横截面上剪力和弯矩的数值（包括正负号），并将这些数

45、值标在 、坐标中相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。最后注明和的数值。2微分关系法考察图5-7a所示承受任意载荷的梁。从梁上受分布载荷的段内截取 微段，其受力如图5-7b所示。作用在微段上的分布载荷可以认为是均布的，并设向上为正。微段两侧截面上的内力均设为正方向。若 截面上的内力为、，则截面上的内力为、。因为梁整体是平衡的，微段也应处于平衡。根据平衡条件和，得到略去其中的高阶微量后得到（5-1）； (5-2）利用式（5-1）和（5-2）可进一步得出 （5-3）。式（5-1）、（5-2）和（5-3）是剪力、弯矩和分布载荷集度 之间的平衡微分关系，它表明：剪力图上某处的斜率等

46、于梁在该处的分布载荷集度。弯矩图上某处的斜率等于梁在该处的剪力。弯矩图上某处的斜率变化率等于梁在该处的分布载荷集度。根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。例如：若某段梁上无分布载荷，即，则该段梁的剪力为常量，剪力图为平行于轴的直线；而弯矩为 的一次函数，弯矩图为斜直线。若某段梁上的分布载荷（常量），则该段梁的剪力为 的一次函数，剪力图为斜直线；而为 的二次函数，弯矩图为抛物线。在本书规定的坐标中，当 （ 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 （向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。若某截面的剪力，根据，该截面的弯矩为极值。利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确

47、外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：1求支座反力；2分段确定剪力图和弯矩图的形状；3求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；4确定和。5-5 平面刚架和曲杆的内力图杆系结构若在结点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。各杆连接处称为刚结点。刚架变形时，刚结点处各杆轴线之间的夹角保持不变。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，还有轴力。作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力

48、和轴力的正负号仍与前述规定相同。曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。6-1纯弯曲正应力梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横弯曲。剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力和正应力。实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。因此，我们先讨论Q = 0，M = 常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。图6-1所示梁的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。1变形关系平面假设考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上

49、与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征： （1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设也称平面假设。此外，还假设：梁的各棕向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生

50、伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。 下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。考察梁上相距为dx的微段（图6-4a），其变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为，其纵向正应变为（a）式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。2物理关系根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之

51、间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律 于是有 （b）式中、均为常数，上式表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d所示。式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层的曲率半径 以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。3静力关系弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z的微面积dA上有作用力。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩My和Mz： （c）； （d）； （e）在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩，而轴力 和 皆为零。将式（b）代入式（c），因为

52、，故有 ， 其中称为截面对z轴的静矩。因为，故有。这表明中性轴z通过截面形心。将式（b）代入式（d），有， 其中称为截面对y、z轴的惯性积。使的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。将式（b）代入式（e），有 ， 得到 （6-1） ， 其中 称为截面对z轴的惯性矩；称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式 （6-2）上式中正应力的正负号与弯矩 及点的坐标y的正负号有关。实际计算中，可根据截面上弯矩的方向，直接判断中性轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生压应力，而不必计及和y的正负。6-2 横弯曲正应力梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，为梁长，为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1）和（6-2）仍然适用。当然式（6-1）和（6-2）只适用于材料在线弹性范围，并且要求外力满足平面弯曲的加力条件：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。