相似与全等综合运用

1、相似及解直角三角形（一）知识要点知识点1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于180；三角形三个外角的和等于360；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； 三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知

2、识点3 等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；等边三角形的三个内角都等于60。知识点4 直角三角形直角三角形的识别：有一个角等于90的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形

3、的性质：直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点5 全等三角形定义、判定、性质知识点6 相似三角形【典型例题】例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为80，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：（1）分两种情况：若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。若腰长为5，底边长为12，则第三边长为5。但此时两边之和小于第三边，故不合题意。因此第三边长为12。（2）分两种情况：若顶角为80，则另两个内角均为

4、底角分别是50、50。若底角为80，则另两个内角分别是80、20。因此这个三角形的另外两个内角分别是50、50或80、20。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例2. 已知：如图，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90，D为AB边上的一点，求证：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。分析：要证ACEBCD，已具备ACBC，CECD两个条件，还需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD显然能证;要证ADAEDE，需条件DAE90，因为BAC45，所以只需证CAEB45，由ACEBCD能得证。证明：（1）DCEACB90，DCEACDACB

5、ACD，即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。（2） ACEBCD，CAEB45，BACB45，DAE90，ADAEDE。例3. 已知：点P是等边ABC内的一点，BPC150，PB2，PC3，求PA的长。分析：将BAP绕点B顺时针方向旋转60至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD为直角三角形。解：BCBA，将BAP绕点B顺时针方向旋转60，使BA与BC重合，得BCD，连结PD。BDBP2，PADC。BPD是等边三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC。【变式】若已知点P是等边ABC内的一点，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度数吗？请试一试。 例4

6、. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连结CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论（2）若PA：PB：PC3：4：5，连结PQ，试判断PQC的形状，并说明理由解：（1）把ABP绕点B顺时针旋转60即可得到CBQ利用等边三角形的性质证ABPCBQ，得到APCQ（2）连接PQ，则PBQ是等边三角形PQPB，APCQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形 点评：利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明例5. 如图，有两个长度相同的滑梯（即BCEF），左边滑梯的

7、高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则ABCDFE_ 分析：ABC与DFE分布在两个直角三角形中，若说明这两个直角三角形全等则问题便会迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90，因此填90 点评：此例主要依据用所探索的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等，并运用与它相关的性质进行解题例6. 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60的A点行驶到北偏西30的B点，所

8、用时间为1.5秒（1）试求该车从A点到B的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从A点到B点的速度只需求出AB的距离，在OAC中，OC25米OAC906030，OA2CO50米 由勾股定理得CA25（米） 在OBC中，BOC30 BCOB。 （2BC）2BC2252 BC（米） ABACBC25（米） 从A到B的速度为1.5（米/秒） （2）米/秒69.3千米/时 69.3千米/时0）。ACB90，CDAB。CD2ADBD，622k3k，k。AB。又AC2ADAB，AC。例11. 已知ABC中，ACB90，CHAB，HEBC，HFAC。求证：（1）HEF EHC；（2）HE

9、FHBC。分析：从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH，根据矩形的性质可知EFCH，HFEC。要证明三角形相似，从条件中得FHECHB90，由全等三角形可知，HEFHCB，这样就可以证明两个三角形相似。证明：HEBC，HFAC，CEHCFH90。又ACB90，四边形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，FHE90。又HEEH，HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90，HEFHBC。例12. 两个全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连结ME，MC。试判断EMC是什么样的

10、三角形，并说明理由。分析：判断一个三角形的形状，可以结合所给出的图形作出假设，或许是等腰三角形。这样就可以转化为另一个问题：尝试去证明EMMC，要证线段相等可以寻找全等三角形来解决，然而图中没有形状大小一样的两个三角形。这时思考的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？根据已知点M是直角三角形斜边的中点，产生联想：直角三角形斜边上的中点是斜边的一半，得：MDMBMA。连结M A后，可以证明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。证明：连接AM，由题意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB为等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB

11、45。MDEMAC105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 如图，ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明ABC是等腰三角形2. （1）已知如图，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。求证：ACBD，APB60。（2）如图，在AOB和COD中，OAOB，OC

12、OD，AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_。（3）如图，在AOB和COD中，OAkOB，OCkOD（k1），AOBCOD，则AC与BD间的等量关系式为_；APB的大小为_。 3. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计的方案如图（2）。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm3.5cm，放映的荧屏的规格为2m2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧

13、屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？5. 如图，已知MON90，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在MON内部。（1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D。求证：；（3）连结CC1，试猜想ACC1为多少度？并证明你的猜想。6. 如图所示，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60的BF方向移动，距台风中心500km的范围是受台风影响的区域 （1）A城是否受

14、到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？7. （1）如图，在RtABC中，C90，AD是BAC的角平分线，CAB60，CD，BD2，求AC，AB的长（2） “实验中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出A30，AC40米，BC25米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中ABBC，CDAD，A60，AB200m，CD100m，求AD、BC的长8. 高为12米的教学楼ED前有一棵大树AB，如图所示（1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC2.5米，DF7.5米，求大树AB的高度；（2）现有皮尺

15、和高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案，要求： 在图中，画出你设计的图形（长度用字母m，n表示，角度用希腊字母，表示）； 根据你所画出的示意图和标注的数据，求出大树的高度并用字母表示9. 如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32时（1）问超市以上的居民住房采光是否受影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：sin32，cos）【试题答案】1. 解：（1）或 （2）已知求证ABC是等腰三角形

16、证：先证EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 证明：AOB和COD为正三角形，OAOB，ODOC，AOB60，COD60。AOBBOCCODBOC，AOCBOD。AOCBOD ，ACBD。OACOBD，APBAOB60。（2）AC与BD间的等量关系式为ACBD；APB的大小为。（3）AC与BD间的等量关系式为ACkBD；APB的大小为180。3. 解：方案（1）：有题意可知，DEBA，得CDECBA。；方案（2）：作BHAC于H。DEAC，得BDEBAC。图（1）加工出的正方形面积大。综上所得，甲同学设计的方案较好。4. 解：胶片上的图象和荧屏上的图象是位

17、似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答：m5. 解：（1）如图所示；证明：（2）AOC与AB1C1是等边三角形，ACBAB1D60。又CAQB1AD，ACQAB1D；（3）猜想ACC190。证明：AOC和AB1C1为正三角形，AOAC，AB1AC1，OACC1AB1，OACCAQC1AB1CAQ，OAB1CAC1。AO B1 AC C1。ACC1AOB190。6. （1）作AMBF可计算AM300km500km，故A城受影响 （2）受影响时间为小时7. 解：（1）AC3，AB6 （2）能，分两种情况，SABC200150和SABC200150 （3）延长BC，AD交于E，A

18、D400100，BC2002008. 解：连结AC，EF，（1）太阳光线是平行的，ACEF，ACBEFD，ABCEDF90，ABCEDF，AB4米 （2）如图所示：AB（mtanh）米9. 解：（1）超市以上居民住房采光受影响，由计算知新楼在居民楼上的投影高约11米，故受影响 （2）若要使超市采光不受影响，两楼至少相距：2032（米） 【复习建议】1.立足教材，理清概念，充分挖掘教材中每一个概念的内涵及与它相关联的知识点之间的联系，形成知识网络2.在复习过程中，要立足基础知识的掌握和基本技能的训练，加强对基本图形的认识和本质的把握3.三角形知识是解决图形和函数等问题的基础，因此要注重三角形和四

19、边形、圆、函数、三角函数等知识的综合，提高学生的综合应用能力4.复习时应注意渗透转化、方程、由特殊到一般、分类讨论等思想方法以及运动变化的观点.三角形相似与全等例题例1 一个等腰三角形的一条边长为10，另一条边长为12，则这个等腰三角形的周长为 ，面积为 .【分析】要注意分两种情况考虑，腰长可以为10或12，并验证是否满足三角形的任意两边之和大于第三边.【解】（1）当腰长为10，底边长为12时.周长等于32，底边上的高等于8，面积等于48.（2）当腰长为12，底边长为10时.周长等于34，底边上的高等于，面积等于.所以等腰三角形的周长为32或34，面积为48或.【说明】此题是等腰三角形的边角计

20、算，还涉及到分类思想，是中考的常考内容，如果改为一条边长为10，另一条边长为4，那么等腰三角形的周长和面积为多少呢？图5-2例2 如图5-2，ACB=90， AC=BC，BECE于点E，ADCE于点D，CE与AB交于点F.(1)求证：CEBADC;(2)若AD=9cm，DE6cm，求BE和EF的长.【分析】根据同角的余角相等得BCE=CAD，可证CEBADC和BE的长，再证EFBDFA，求出EF.【解】(1)ACB=90，BCE+ECA=90.ADCE于点D，BECE于点E，BEC=CDA=90. CAD+ECA=90.BCE=CAD.AC=BC，CEBADC（AAS）.(2)CEBADC，C

21、E=AD=9cm，CD=BE. DE6cm， CD=CE-DE=3cm. BE=3cm. BEF=ADF=90，EFB=DFA,EFBDFA. .设EF=xcm，DF=(6-x)cm, . x=cm.EF=cm.【说明】本题主要考查三角形全等和相似的判定和性质，三角形相似的性质转化成方程是求EF的关键.例4 如图5-3，ABC和ADC是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC(1)在点E、F运动过程中，ECF的大小是否随之变化？请说明理由.(2)在点E、F运动过程中，四边形AECF的面积变化了吗？请说明理由.(

22、3)连接EF交AC于点G，在图中找出和ACE相等的所有角，并说明理由(4)若点E、F在射线BA、射线AD上继续运动下去，(1)小题中的结论还成立吗?(直接写出结论，不必说明理由)AEBCDF图5-3【分析】先证明BCEACF,得到BCEACF, BCE的面积=ACF的面积,从而证明ECF=BCA=60 ，四边形AECF的面积=ABC的面积. (3) 先证FCDACE，再证明EFC是等边三角形后得到AFEFCDACE.【解】(1)点E、F运动过程中，ECF的大小不变化证明：由题意得BE=AF, ABC和ADC是边长相等的等边三角形，BC=AC, BFAC=60 .BCEACF.BCEACF.EC

23、FACE +ACF=ACE +BCE=BCA=60 .点E、F运动过程中，ECF的大小不变化. (2) 在点E、F运动过程中，四边形AECF的面积不变化. 证明：BCEACF， BCE的面积ACF的面积.四边形AECF的面积AFC的面积AEC的面积AEC的面积BEC的面积ABC的面积.在点E、F运动过程中，四边形AECF的面积不变化.(3) AFEFCDACE.证明：ACE ACF=60 ，FCD ACF=60 ，FCDACE.BCEACF, ECF=60 .EC=FC.EFC是等边三角形.FEC=60 .FEC=FAC =60 .AGF=EGC,AGFEGC.AFEACE.AFEFCDACE. (4) 若点E、F在射线BA、射线AD上继续运动下去，(1)小题中的结论还成立.【说明】本题是两个点同时运动的问题，解题的关键是要找出运动中不变的量，比如在点E、F运动过程中，四边形AECF的形状在变化，但它的面积恒等于ABC的