第七章不等式

1、第 1 页共50页第七章不等式第一节一元二次不等式及其解法“ 三个二次 ” 的关系判别式 b2 4ac 0 0 0二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象一元二次方程 ax2有两相异实根 x1，有两相等实根x1 x2没有实数根bx c 0 (a 0)的根x2 (x1 x2) b2a一元二次不等式 ax2 bx c 0 (a 0)的x|xx2xx bR2a解集一元二次不等式 ax2 bx c 0 (a 0)的x|x1 x x2?解集 小题体验 1 (教材习题改编)不等式 x2 2x 3 0 的解集为 _答案：?22设集合S x|x 2， T x|x 3x 4 0，则 (?R S) T _

2、.解析： 由题意得T x| 4 x 1，根据补集定义，?R S x|x 2，所以 (? x|x1RS) T答案： (， 13不等式 ax2 bx 20 的解集是1，1，则 a b 的值是 _23第 2 页共50页解析： 由题意知 12，13是 ax2bx 2 0 的两根，则 a 12， b 2.所以 a b 14.答案： 141对于不等式ax2 bx c0，求解时不要忘记讨论a 0 时的情形22当0(a 0)的解集为R 还是 ?，要注意区别 小题纠偏 1若不等式mx2 2mx 10 的解集为 R，则 m 的取值范围是_解析： 当 m 0 时， 10 显然成立m0 ，当 m 0 时，由条件知得

3、0m1. 4m2 4m0.由知 0 m1.答案： 0,1)2若不等式 ( a 2)x2 2(a 2)x 40 对 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _解析： 当 a 2 0，即 a 2 时，原不等式为40，所以 a 2 时成立，当 a2 0，即 a 2 时，由题意得a 20，a 20，0，即2 16 a 2 0，4 a 2解得 2a2.综上所述，20，解析： 当 x 0时，原不等式等价于2x2 ，所以 1 x 0；当 x0 时，原不1 x 221等式等价于2x x 2，所以 x0. 综上所述，原不等式的解集为xx 2 .答案： xx122 (2016 南通一中检测 )不等式 3x2 6

4、x2 的解集为 _解 析 ： 将 不 等 式 3x2 6x2 转 化 为3x2 6x 20 ， 所 以 不 等 式 的 解 集 是x 1333x13.答案： x333 xa2(a R) 的解集解： 原不等式可化为12x2 axa2 0，即 (4x a)(3x a)0，令 (4x a)(3x a)0，a a解得 x1 4， x2 3. 当 a0 时，不等式的解集a a为 ， 4 3， ；当 a0 时，不等式的解集为 ( ， 0)(0， )；当 a0，所以g 1 x 2 x2 4x 40，解得x3.故当x( ， 1)(3， )时，对任意的m1,1 ，函数f(x)的值恒大于零 通法在握一元二次型不等

5、式恒成立问题的3 大破解方法方法解读适合题型(1) ax2 bx c 0 对任意实数 x 恒成立的条件是 a0， 0；二次不等式在 R 上恒成立判别式法(2) ax2 bx c 0 对任意实数 x 恒(如 “题点全练” 第 1 题、第 2 题 )成立的条件是 a0 恒成立 ?f m 0，f n 0，若 f(x)0 恒成立 ?f m 0，f n 0 得 x1，即 B x|x1 ，所以 A B x|1x 2答案： (1,22 (2017 靖江中学期末)若集合 A x|ax2 ax 10，得0x( x 2)的解集是 _解析 ：不等式 |x( x 2)|x(x 2)的解集即x(x2)0 的解集，解得0

6、x2.答案 ： x|0x215若 0a0 的解集是 _1解析： 原不等式为 (xa) x a 0，由 0a1 得 a1a，所以 ax1a.答案：x ax1a6 (2016 启东中学测试 )若不等式 12x2 ax0 时，不等式的解集为 a，a4可得所以 a 的取值范围是4 3a 3，3(0,9 当 a0 时，不等式的解集为?，符合题意 .当 a0 时，不等式的解集为aa3，4 .a 4，3可得所以 a 的取值范围是 12,0) a 3，4综上， a 的取值范围为 12,9答案： 12,9二保高考，全练题型做到高考达标1已知不等式x2 2x 3 0 的解集为A，不等式 x2 x 6 0 的解集为

7、B，不等式x2 ax b 0 的解集为 A B，则 a b _.解析 ：由题意得，A x| 1 x 3， B x| 3x 2，所以 A B x| 1 x 2，由根与系数的关系可知，a 1， b 2，则 a b 3.答案： 32 (2016 河中学检测清)不等式 (x 2)x2 9 0 的解集为 _x 2 0，x 2，解析： 由题意290或 x2 9 0，即或 或 x 3，即 x 3 或 xxx33x3.答案： (， 3 33 (2017 郑州调研 )规定记号“”表示一种运算，定义a b ab a b(a， b 为正实数 )，若 1 k2 3，则 k 的取值范围是 _解析： 因为定义 ab ab

8、 ab(a， b 为正实数 )， 2 3，所以k2 1 k2 3，1 k化为 (|k| 2)(|k| 1) 0，所以 |k| 1，所以 1 k 1.第11页共50页答案： ( 1,1)4如果关于x 的不等式 5x2a 0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是_解析： 由 5x2 ，得a xa，a0551,2,3,4，则 4a而正整数解是55，所以 80 a125.答案： 80,125)5(2016 州调研泰 )若关于 x 的不等式ax2 6x a20 的解集是 (1，m)，则 m _.解析： 根据不等式与方程之间的关系知1 为方程 ax2 6x a2 0 的一个根， 即 a2 a

9、，解得或 3，当a2时，不等式2 6x a2的解集是(1,2)，符合要求；6 0a 2aax0当 a 3 时，不等式 ax2 6xa20 的解集是 ( ， 3)(1， )，不符合要求， 舍去故m 2.答案： 26不等式 x2 ax 40 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 _解析： 因为不等式 x2ax 40，即 a216.所以 a4 或 a0 ；(2) 若不等式 f(x) b 的解集为 ( 1,3)，求实数 a， b 的值解： (1)因为 f(x) 3x2 a(6 a)x 6，所以 f(1) 3 a(6 a) 6 a2 6a 3，所以原不等式可化为a2 6a 30，解得 3 2 3a3

10、23.所以原不等式的解集为a|3 2 3ab 的解集为 ( 1,3)等价于方程 3x2 a(6 a)x 6b 0 的两根为 1,3，13a 6 a，3等价于6 b133，a 3 3，解得b 3.10 (2017 京朝阳统一考试北)已知函数f(x) x2 2ax 1 a， a R.f x(1) 若 a 2，试求函数 y x ( x0) 的最小值；(2) 对于任意的 x 0,2，不等式 f(x) a 成立，试求 a 的取值范围解： (1)依题意得 y f x x2 4x 1 14.xxxx因为 x0，所以 x 1x 2.1当且仅当 x x时，即 x 1 时，等号成立所以 y 2.第13页共50页f

11、 x所以当 x 1 时， y x 的最小值为 2.(2)因为 f(x) a x2 2ax 1，所以要使得 “ ? x0,2 ，不等式f (x) a 成立 ” ，只要 “ x22ax 10 在 0,2 恒成立 ”不妨设 g(x) x2 2ax 1，则只要 g(x) 0 在 0,2 上恒成立即可g 0 0，所以g 2 0，0 0 1 0，即4 4a 1 0，3解得 a 4.3则 a 的取值范围为4， .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若关于x 的不等式2 4x 2 a0在区间 (1,4)内有解，则实数a 的取值范围是x_解析： 不等式 x2 4x 2 a0 在区间 (1,4) 内有解等价于a(x2

12、 4x 2)max，令 g(x) x2 4x 2， x(1,4)，所以 g(x) g(4) 2，所以 a 2.答案： (， 2)2已知函数f (x)ax2 2ax 1的定义域为R.(1) 求 a 的取值范围；(2) 若函数 f(x)的最小值为 22，解关于 x 的不等式 x2 x a2 a 0.解： (1)因为函数f (x)ax2 2ax 1的定义域为R ，所以ax2 2ax 10 恒成立，当 a0 时， 1 0 恒成立当 a 0 时，需满足题意，第14页共50页a 0，则需 2a 2 4a 0，解得 0 a 1，综上可知， a 的取值范围是 0,1 (2)f(x)ax2 2ax 1a x 1

13、 2 1 a，由题意及 (1)可知 0 a 1，所以当 x 1 时， f(x)min1 a，2由题意得，1 a 2 ，所以 a 12，所以不等式x2 xa2 a 0 可化为 x2 x 340.解得 12 x 32，1 3所以不等式的解集为 2， 2 .第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题1 一元二次不等式(组 )表示的平面区域不等式表示区域Ax ByC 0直线 AxBy C 0 某一侧的所有点组成不包括边界直线Ax ByC 0的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2 线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x， y 组成的不等式(组 )第15页共50页线性约束

14、条件由 x，y 的一次不等式 (或方程 )组成的不等式 (组 )目标函数关于 x， y 的函数解析式，如 z 2x 3y 等线性目标函数关于 x， y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解 (x， y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 小题体验 1若点 (1,3)和 ( 4， 2)在直线 2x y m 0 的两侧，则m 的取值范围是_解析： 由题意可得(2 1 3 m)2 ( 4) 2 m 0 ，即 (m 5)(m 10)0 ，所以5m0.答案： x y 102x y 0，3 (2016 北京高

15、考 )若 x， y 满足 x y 3，则 2x y 的最大值为 _x 0，解析： 根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y 2x ，当直线平移到过点A 时，目标函数取得最大值，由2x y 0，可得 A(1,2)，此时 2x y 取最大值为2 12 4.x y 3，答案： 41画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax byc0(a0) 2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有第16页共50页3在通过求直线的截距z的最值间接求出 bz 的最值时，要注意：当b0 时，截距z取最b大值时，z 也取最

16、大值；截距bz取最小值时，z 也取最小值；当b0 时，截距zb取最大值时，zz取最小值；截距取最小值时，z 取最大值 小题纠偏 x y 0，1若用阴影表示不等示组所形成的平面区域，则该平面区域中的夹角3xy 0的大小为 _答案： 15yx，兰州诊断)已知实数，满足 x y 1，则目标函数 z 2x y 的最大值为2 (2017x yy 1，_解析：画出平面区域如图所示，目标函数可变为y 2x z，将直线 y 2x 进行平移可得在点(2，1)处截距最小，所以此时z 最大，最大值为5.答案： 5考点一二元一次不等式组 表示平面区域 基础送分型考点 自主练透 题组练透 x1，1已知约束条件xy 4

17、0， 表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 k kx y 0_.解析： 先作出不等式组第17页共50页x 1，x y 4，对应的平面区域，如图要使阴影部分为直角三角形，当 k0 时，此时三角形的面积为 13 3 9 1，所以不成立22当 k1 时，由图可知，可构成直角三角区域且面积为1.答案： 1xy 0，易错题)若满足条件xy 2 0，的整点 (x， y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵2 (y a坐标都是整数的点，则整数a _.解析 ：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0 时，只有 4 个整点 (1,1)，(0,0) ，(1,0)，(2,0)；当 a 1 时，正好增加 ( 1

18、， 1)， (0， 1)， (1， 1)， (2， 1)， (3， 1)共 5 个整点答案： 1x 0，3 (2017 广州五校联考 )设不等式组x 2y 4，所表示的平面区域为D ，则区域 D2x y 4的面积为 _解析：如图，画出可行域 易得 A4，4，所以可行域D的面积为 1 2 433B(0,2)C(0,4)2343.答案： 43 谨记通法 确定二元一次不等式(组 )表示的平面区域的方法第18页共50页(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式组若满足不等式组， 则不等式 (组 )表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域如“

19、题组练透”第2 题易忽视边界(2) 当不等式中带等号时，边界为实线；不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点考点二求目标函数的最值题点多变型考点 多角探明 锁定考向 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透常见的命题角度有：(1) 求线性目标函数的最值；(2) 求非线性目标函数的最值；(3) 线性规划中的参数问题 题点全练 角度一：求线性目标函数的最值2x y 1 0，(2016全国丙卷)设x，y满足约束条件x 2y 1 0，则1x 1，z 2x 3y 5 的最小值为 _解析： 画出不等式组表示的平面区域如

20、图中阴影部分所示由25z2x y1 0，题意可知，当直线 y3x33过点 A 时，z取得最小值， 联立解得 A(x 2y1 0，1， 1)，即 zmin 2 ( 1) 3 ( 1) 5 10.答案： 10角度二：求非线性目标函数的最值xy 2，2设实数 x， y 满足不等式组y x 2，则 x2 y2 的取值范围是 _y 1，解析 ：如图所示，不等式组表示的平面区域是ABC 的内部 (含边界 )， x2 y2 表示的是此区域内的点(x， y)到原点距离的平方从第19页共50页图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2 y2 的取值范围是1,4 答案：

21、 1,4角度三：线性规划中的参数问题x 2，3 (2017 州质检苏 )已知 x， y 满足x y 4，若目标函数z 3x y 的最大值为2x y m 0.10，则 z 的最小值为 _解析： 画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线 l： 3x y 0，平移l，从而可知经过C 点时 z 取到最3x y 10，x 3，大值，由解得x y 4，y 1，所以 2 3 1 m 0， m 5.由图知，平移l 经过 B 点时， z 最小，所以当 x 2， y2 2 5 1 时， z 最小， zmin 3 2 1 5.答案： 5 通法在握 1 求目标函数的最值3 步骤(1) 作图 画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2) 平移 将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3) 求值 解方程组求出对应点坐标 (即最优解 )，代入目标函数，即可求出最值2 常见的 3 类目标函数(1) 截距型：形如 z ax by.求这类目标函数的最值常将函数z