二阶系统的性能指标分析讲诉

1、邢台学院物理系自动控制理论 课程设计报告书设计题目：二阶系统的性能指标分析专 业: 自动化班级：学生姓名：学号：指导教师：邢台学院物理系课程设计任务书专业： 自动化 班级：学生姓名学号课程名称自动控制理论设计题目二阶系统的性能指标分析设计目的、 主要内容 （参数、方 法）及要求目的：通过对二阶系统的性能指标分析得知，系统三方面性能对系统结构和参数的要 求往往是相互制约的，工程中通过在系统加一些附加装置来改善二阶系统的性能。通 过本次课题来了解改善方法。1二阶系统性能指标概述2.应用模拟电路来模拟典型二阶系统和典型三阶系统3.1二阶系统传递函数标准形式及分类3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算

2、3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算3.4 改善二阶系统动态性能的措施4二阶系统性能的 MATLAB仿真工作量2周进度安排3周至4周3月11至3月13日收集资料，3月14至3月22编写，3月23至3月24日制图主要参考 资料1 谢红卫现代控制系统高等教育出版社，20072 胡寿松.自动控制原理.科学出版社，20073 黄忠霖.自动控制原理的MATLA实现.国防工业出版社，,20074 自动控制原理及其应用（黄坚第二版）高等教育出版社指导教师 签字系主任签字摘要二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。 例如，他励直流电动机 、RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控

3、制原理中 具有普遍的意义。控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标， 动态性能指标又可 分为随动性能指标和抗扰性能指标。稳态过程性能 稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值 本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。关键词 ：二阶系统 性能指标 稳态性能指标 动态性能指标 稳态误差 调节时间目录1. 二阶系统性能指标概述 12. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 13. 二阶系统的时间响应及动态性能 43.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 43.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 53.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 73.3.4 改善二阶系统动态

4、性能的措施 144. 二阶系统性能的MATLAB仿真185 总结及体会 191. 二阶系统性能指标概述二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机、RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中 具有普遍的意义。控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可 分为随动性能指标和抗扰性能指标。稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。1. 21是典型二阶系统原理方块图，其中T0= 1秒；T仁0.1秒；K1分别为 10; 5; 2.5 ; 1。g J9l_l1T.sK1厂T1.

5、S+1图2 - 1二阶系统开环传递函数为:G(S)二其中,=开环增益闭环传递函数:W(S)=T1S2其中，-2TS(T1S 1)1T2S2 2T S 11T1T01)nnT(2- 1)(2- 2)(2 - 3)(2- 4)(1)当门。即欠阻尼情况时，二阶系统的阶跃响应为衰减振荡,如图2-2中曲线所示。(t0)(2- 5)e_&KntC(t) =1sinC dt 0)迅皆式中：；：d = - ：i 1 二J - tg峰值时间可由式(2-5)对时间求导数，并令它等于零得到:tp超调量Mp由Mp=C(t)1 求得(26)(2 7)调节时间ts,采用2%允许误差范围时，近似的等于系统时间常数的四n倍，

6、即ts(2 8)(2)当.=1，即临界阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线,如图2-2中曲线所示。输出响应C(t)为C(t) =1 e_ nt(i，nt) (t 0)(2- 9)调节时间ts可由下式求得C(t) =1 -ents(1nts)=0.98(2- 10)(3)当1,即过阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线：备S2tC(t) =1 n(ee )(t 0)(2-11)2；S1 S2式中 6 =(-1厂n ； S2： 2 -1厂n ；当远大于1时，可忽略-S1的影响，则C(t)J-e(2 -1八nt(t 0)(2 12)这时调节时间ts近似为:(2 13)图2-2二阶系统阶跃输

7、入下的动态响应4ts =-护2 -1n图2-3是图2-1的模拟电路及阶跃信号电路图H1H2510K1u7100K510KU1200K1uHIU210KU3仁-c（t）图2 3二阶系统模拟电路图开环传递函数为1G(SF100.1S 1500S(S 10)其中 n、500 : 22 ；t =250010： 0.2 2 43. 二阶系统的时间响应及动态性能331二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图 3- 6所示其中K , 函数为T为环节参数。系统闭环传递化成标准形式（S）(S)二T1s + s + Kn（首1 型)(3-5)G(s)T2s2 2T s 1（尾1 型)图3唧常见二阶系统

8、结枸图(3-6)T1式中，T二一 ,-K n:二分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征 参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾 1标准型。二阶系统闭环特征方程为D（s）二 S2 2 ，nS= 0其特征特征根为1,2 = 一巴叫 士国 n-1若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。表3-3二阶系统（按阻尼比匚）分类表分类特征根特征根分布模态过阻尼入,2 =-三咎-101临界阻 尼扎 1,2 = -O nJ1*e te0 二 1欠阻尼扎 1,2 = COn 土 2冷1_呼XIX je晶t si

9、n( 1 - Ei2匚 1 n nt e*E cosj1 -匕2 nt0零阻尼打,2 =兰jniAisin nt co曲 nt数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是1， 2，Jn 且无重根，则把函数e1t，e2t，ent称为该微分方程所描述运动的模态，也 叫振型。如果特征根中有多重根，则模态是具有te, t2et,形式的函数。 如果特征根中有共轭复根-，则其共轭复模态ed与e%八可写 成实函数模态e sint与e cost。每一种模态可以看成是线性系统自由响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的

10、线性组合。332过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为丄J2匚1nT2(TiT2)系统单位阶跃响应的拉氏变换C(s)吕(s)R(s)=21(s 1 T1)(s 1 T2) s进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应t _0e飞h（t）胡-匕1-112(3-7)过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无 振荡的单调上升曲线。根据式（3-7）， 令Ti2取不同值，可分别求解出相应的 无量纲调节时间ts Ti，如图3-7所示。 图中为参变量，由S22 nS=(s 1 Ti)(s 1 2)可 解 出图3-7过阻尼二阶系统的调节时间特性T2）当12 （或）很大时，特征根2-12比1 = T1远离虚轴，模

11、态e，2很快衰减为零，系统调节时间主要由 过阻尼二阶系统近似看作由图3-T的绘制程序Tb = ;Ts - ; t 二 0:0.01:50; T2 - 10； for i - l:length(T2)TI = T2(i):0.l*T2(i):20*T2(i);for j = 1：length(Tl.)Tb = Tb Tl(j)/T2(i)l；num 二l/Tl(j)*T2(i)J;den = 1 (1 Al (j)+l/T2(i) 1AT1ry 二 steptnuui, den t);for k - length(y)：-l：1;if(abs(y(k)-l)=0.05Ts = Ts(k+O- 0

12、D/T1G);break;endendendendab 二 plot (Tb： Tsj b-); set(ab, LineNidth, 1.5); grid;1 一11对应的模态e-1确定的一阶系统，估算其动态性能指标决定。此时可将图 3-7曲线体现了这一规 律性。图3-8 给图3-3丽薛t 二0:0.二 onfis(size(t); num 二16;den 二1 10 16;c, I, t二 stepG derij t); pht(tr, ；)；xlabelC t/s), ylabel ( h(t)1); grid;出系统单 位阶跃响 应曲线。例3-4ilabel（Tl/T2ylabelf

13、TsAl ）, title（过阻尼二阶系统的调节时间特性）;角速度随动系统结构图如图3-9所示。图中，K为开环增益，T=0.1s为伺服电 动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间 t 1s，问K应 取多大？解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短, 应取阻尼比.=1。由图3-9，令闭环特征方程s2K =(s 丄)2 二 s2 2s 丄=0T TTiTiTi2比较系数得F =2T =2x0.1 =0.2K =T/Tj =0.1：0.22 =2.5r%)J1s(Ts + 1)图3-9肯虔踊功总梯构图查图3-7，可得系统调节时间ts =4.75= 0.95s,满足系统要求。3.3.3

14、欠阻尼二阶系统动态性能指标计算1 欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法欠阻尼二阶系统的极点可以用如图 3-10所示的两种形式表示。(1) 直角坐标表示1,2 - jd - - F - j(2) “极”坐标表示人 | “ NX = P2 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应nJ1卩0二一鉅Q*图3 -10欠阳尼二阶蔡歸潮-也奁示(3-8)(3-9)由式(3-5)，可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为1S 2ns (sJ (1- 2) 2- -n_2厂2_ 1s (s n)2 (1 一 2). 1 - 2 (s n)2 (1 一 2)系统单位阶跃响应为h(t)二 1nt cos . 1 _ 2 nt e nt s

15、in . 1 _ 2 nt 二心-巴21 - e E 2_ 2 COS.1 E 2 nt)+ - sin ,1 E 2国 nt1 - 2(3-10)系统单位脉冲响应为k(t) =h (t) L1 b-(s) I - LJ(S+G)2 +(1-匕2血22宀Lnt(3-11)典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。响应曲线位于两条包络线1e_nt J匚2之间，如图3-12所示。包络线收敛速率取决于n (特征 根实部之模)，响应的阻尼振荡频率取决于,-2 -n (特征根虚部)。响应的初 始值h(0) =0,初始斜率h(0) =0，终值h(：J =1。zeta= .1. .2, .3. .1

16、, .Sa .6. .7. .8, 12.0图3-1 1二阶黑统单仪阶甌响应图3山的绘制程序;t= tt0.1:12;c =;zeta= 00.10.2 0.3 0.4 0.50.6 0.7 0.S1.0 2.0;for i= 1:11num= l:dm= 1 2*zetXi) 11= stepcnmii.deiLti：Plot(Lc/ )-hold on:pause(l):etidxlab el(7 砥nt J： y lab elh(t:);titlzeta= 0, .h 2 3, 4 .5, .6, .7, .8, 1.0, 2.01), srid;图3-12的绘制程序；wn = 2* 5

17、;zeta 二0.4; t=0：0. 05:4;tl = acos(zetaJ*ones(lJ length(t);al = (1/sqrt (l-seta2);hl = lal*esp(-zeta3ttwntt) *sin(wn*sqrt (l-zeta2)*t+tl);bu 二 al*exp (-zetawntHl; blS-bu;plot (tf hl, - t, bu,1 / f t, blf * / , t, anesCsizeft)； k-*);grid;Klabel ( wnt ylabel C h(t);ffn-灼 xhia 总養怏炉忖申欧申待矗枫帘咗3欠阻尼二阶系统动态性能指

18、标计算(1) 峰值时间tp :令h(t) =k(t) =0，禾I用式(3-11)可得sin . 1 一 $，nt =0即有.1 - N.nt = 0, :, 2二，3二，由图3-1，并根据峰值时间定义，可得(3-12)(2) 超调量二00 :将式(3-12 )代入式(3-10)整理后可得h(tp) =1 e-7：12匚=口 100% =100%h(：)(3-13)可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量3-13所示。匚00只与阻尼比有关，两者的关系如图團3-13的绘制程序：P=;t = 0:0.1:50;ks = 0:0.005:l;om = 5; for 1 二 1:1 已 ngth 伽)num =

19、 otrn柯叽den - J 2 *ks(Loim onmonrj, y - steptniWj de t)r for k=2：length(y)if y(k) ylabelt 超谓量(%)h 汝忒伽尼二阶系纟翅I量与阻尼比并系曲卿b grid;图3-13欠阻尼二阶系统、7% 与的关系曲线(3) 调节时间ts :用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入 计算调节时间。令严t1+ ;-1Ji 二25%误差带的时间=0.05.1- 2可解得tsln0.05 -ln(1 - 2)2 n3.51 n(0.3 ： 0.8 )(3-14)式(3-12) (3-14 )给出典型

20、欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式。可见， 典型欠阻尼二阶系统超调量 二00只取决于阻尼比，而调节时间ts则与阻尼比和自然频率 -n均有关。按式(3-14 )计算得出的调节时间ts偏于保守。 n 一定 时，调节时间ts实际上随阻尼比还有所变化。图3-14给出当T=1，n时，调节 时间ts与阻尼比 之间的关系曲线。可看出，当上-0.707 (2 -45 )时，ts、2T， 实际调节时间最短，二00二4.3200、5%，超调量又不大，所以一般称: =0.707为 “最佳阻尼比”。图3-14程序：Ts2=; Ts5=: Ks= ; sg=l; T=O:.O1:50; for om=10j-0.02

21、:0Ks=(KLCOS(atan(om sg): num=sg*sg-oni*om: den=l 2*sg sg*sg-oni*om: -step(num:denstJ for k= 5000:-1:0iCabs(*Qc)-l)=0T02, Ts2=|Ts2:k*0,01;break endend for k=5000:-l :01)=0一05, Ts5=Ts57k*0.01;break endendend aa=figure: setfaa.Color； 1 1 1): ab=piot(Ks:Ts2Jr.1:Ks;Ts5:rb.h):st(ab;,LitieMdthl;2);grid;4 典

22、型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系根据式（3-13 ）、式（3-14）及式（3-8 ）、式（3-9），可以进一步讨论系统 动态性能、系统参数及闭环极点分布间的规律性。当，固定，增加（1减小）时，系统极点在s平 面按图3-15中圆弧轨迹（I）移动，对应系统超调量 ；减小；同时由于极点远离虚轴，n增加，调节时间ts减小。图3-16（a）给出-n=1，改变时的系统单位阶跃响应过程。图3-15系统极点轨迹当固定，n增加时，系统极点在s平面按图3-15 中的射线轨迹（II ）移动，对应系统超调量二不变；由于极点远离虚轴，n增加，调节时间ts减小。图3-16（b）给出了 丄0.5（ 2

23、=60 ），- -n变化时的系统单位阶跃响应过程。& 般实际系统中，T是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益 K是各图3-16程序t=O：O-l 20r=ones(siz1 ;sg=0.1.0 2.03,0,4.0.5.0 Aft. 7,0,8Vfori=l：8num=sg(i*sgfiom*om; den= lT2*5g(iKsgsgriH-omom;c=stq(tmnideiLt)- 3b=plot(tr; r-xcb-);setfaib/LineWidth. 1.5);hold oilendxlabelCt s.YlabelChCty):tideC， SP =1：极，点实部 1：0.

24、2,0.3;0.4:0.570.6;0.7;0.8 grid; pajse(2);df;ks=0.5;onin=0.25 0.5 1 2 4 S;t=0:0.1:10; r=one(5ize(t);for i=l:6num=omu(i)*onm;den= 1*15*0X01110(1)*011111(1): c=stepLnunLderLr):ab=plot(tr,r,:tc:lb);s et(ab /Lin eWidth, 1.5);h old otiendxhb el( t s7dabeXXO):tiTlefk 5=0.5;自然频率25 0.5 1 2 4 8)r); grid; p3us

25、e(2)clf;t=0:0.05:10;r=ones(size(t)g=l ;om=0.2,0.5,0.7?O.S,0.9,1,2,3T5;for i=l:9num=sg*sg-omi*om(i); de= lT2*5g,s g* s go mJ)* om上 c=step 1 iiuttLdent; abplotitr. r-xc-b-、； set(ab. LineVidth 1 5):liold on,aidxlabel(ty slylabdfhft)1):ddef实部丸极点虚部(0.2,012戈5 )Xgrid;pauseC乡;|环节总的传递系数，可以调节。K增大时，系统极点在s平面按图3

26、-15中的垂直线(III)移动，阻尼变小，超调量二会增加。图3-16(c)给出T =1，K变 化时系统单位阶跃响应的过程。024B 8 1U 1214 IB 1820(a )（a）C0n=1,亍改变时的阶跃响应；（b） - =0.5，n改变时的阶跃响应；（c）T=1,K改变时的阶跃响应图3-16 二阶系统单位阶跃响应综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系 统的闭环极点位于=45线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量 使其远离虚轴，以提高系统的快速性。掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析设计系统是十 分重要的。334 改善二阶系统动态性能的措

27、施采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动态性能。例3-8 在如图3-22(a)所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制， 系统结构图分别如图3-22(b)和(c)所示。其中K 心16 o分别写出它们各自的 开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标(c %, ts)并进行对比分 析。)(b)ffl3-22系统结构圈解 图3-22 (a)、b)中的系统是典型欠阻尼二阶系统，其动态性能指标(；%， ts、按式(3-13)、式(3-14、计算。而图3-22(c)表示的系统有一个闭环零点， 不符合上述公式应用的条件。将各系统的性能指标的计算及比较列于表3-6中。图3-22所

28、示的系统可以用表3-7中相应的公式(或用MATLAB计算其动态性能 指标。可以看出，采用测速反馈和比例加微分控制后，系统动态性能得到了明显表3-6原系统、测速反馈和比例加微分控制方式下系统性能的计算及比较系统结构 图图 3-22(a)图 3-22(b)图 3-22(c)开环 传递函数小10G(a)(S)s(s+1)G (s)10(知)弘- s(s+1)/心1)(c)s(s+1)闭环 传递函数(a)(S)- 2 *+“s+10(s) 10(b)( )s2 +(1+10Kt)s -+10 )(s)10(Kts+D(c)( ) s2+(1+10KJs+10系 统 参 数0.1580.50.53.163.163.16开零点-4.63-4.63环极点0,-10, - 10, - 1闭 环零点-4.63极点-0.5 j3.