1.1.1任意角-教案(人教A版必修4)

1、1.1任意角和弧度制 1.1.1 任意角 三维目标 1知识与技能 （1）理解任意角（正角、负角、零角）的概念、象限角与区间角的概念. （2）掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角. 2. 过程与方法 借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形 结合的思想方法来认识问题. 3. 情感、态度与价值观 （1）通过对角的概念的探究提高学生的推理能力.（2）通过本节学习和运用实践，培养学 生应用意识，体会数学的应用价值. 重点、难点 重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写. 难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写. 教学建议 首先通过

2、实际问题（拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等）引出角的概念的推广问题，引 发学生的认知冲突，然后用具体例子，将初中学过的角和概念推广到任意角，在此基础上引 出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在自己已有经验（生活经验、数学学习经验） 的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念. 课标解读 1了解任意角的概念. 2.理解终边相同角的含义及其表示.（重点） 知识1 任意角 【问题导思】 将射线OA绕着点0旋转到0B位置，有几种旋转方向？ 【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向. 1. 定义 角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 2. 分类 正角、

3、负角与零角 正角：按逆时针方向旋转形成的角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角； 零角：一条射线没有作任何旋转形成的角. 知识2 象限角 【问题导思】 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角, 则其终边(除端点外)可能落在什么位置？ 【提示】 终边可能落在坐标轴上或四个象限内. 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合. 象限角：终边在第几象限就是第几象限角； 轴线角：终边落在坐标轴上的角. 知识3 终边相同的角 【问题导思】 30 390 750 ，30 + k 360 (k Z)的角的终边有什么关系? 【提示】 相同. 所有与角a

4、终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S= 日B=a+ k 360 , k Z，即任一与角 a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和. 类型1 角的基本概念 例1下列命题 第一象限角一定不是负角； 第二象限角大于第一象限角; 第二象限角是钝角； 小于 180的角是钝角、直角或锐角 其中不正确的序号为 【思路探究】 解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断 【自主解答】一330角是第一象限角，但它是负角，所以不正确. 120角是第二象限角，390角是第一象限角，显然 390 120 所以不正确. 480角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确. 0。角是小于180角，但它既不是钝

5、角，也不是直角或锐角，故不正确. 【答案】 1. 解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念， 严格辨析它们之间的联系与区别. 2. 判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错 误，只需举出反例即可. 下列说法正确的是() A 锐角是第一象限角 B 钝角比第三象限角小 C.三角形的内角必为第一、二象限角 D 小于90。的角都是锐角 【解析】一100是第三象限角，但一10090故B错；90角是直角三角形的内角, 但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；30小于90 不是锐角，故 D错. 【答案】A 类型2 终边相同的角 例2 已知角

6、a= 2 010 把a改写成k 360 +Z,0 B360 的形式，并指出它是第几象限角； (2)求0,使B与a终边相同，且360 X720 【思路探究】 先求出3,判断角a所在的象限，用终边相同的角表示0满足的不等关 系，求出k和0 【自主解答】 由2 010除以360得商为5,余数为210 取 k= 5, 3= 210 a= 5X 360 + 210 又3= 210是第三象限角, a为第三象限角. (2)与2 010终边相同的角： k360 2 010 (k Z). 令一360 k 360 + 2 010 720 (k Z), 解得6令 k - 3协 Z). 所以 k= 6, 5, 4.

7、将k的值代入k 360牛2 010中， 得角B的值为一150 ； 210 : 570 1. 把任意角化为 a+ k 360 (k Z且0 a360 )的形式，关键是确定k.可以用观察法(a 的绝对值较小)也可用除法. 2要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的 角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值. 若将例题中“角 a= 2 010 ”，改为“ a=- 315，其他条件不变，结果如何? 【解】用315除以360商为1,余数为45 k= 1, 3= 45, 因此 a= 360 + 45 I a是第一象限角. 与一315。终边相同的角:k 360 315 Z）

8、, 令一360 k 360 315 720 （k Z）, 123 解得一- k23（k Z）, 所以 k= 0,1,2. 将k值代入k 360 315中， 得所求角为一315 45和405 类型3 象限角与区域角的表示 例3如图1 1 1,终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（） 图 111 A . o|k 360 + 30 ak 360 + 45 k Z B. |k 180 + 150 k180 + 225 k Z C. 林360 + 150 k 360 + 225 k Z D. o|k 360 + 30 a 适合题意的角的集合 k Z 【自主解答】 在 0360内落在阴影部分角的范围

9、为大于150而小于 225，所以在 终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为 * 360 150 ak 360牛225 k Z. 【答案】 C 1. 先在360。360。范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上360。的整数倍 即得 2. 区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度 为 360 区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边 落在阴影区域内的角的集合.注意结果尽量表示为一个连续区间. 写出下图 1 1 2 中阴影部分 （不含边界 ）表示的角的集合. 图 1 1 2 所以终边落在 【解】 在180。180内落在阴影部分

10、角集合为大于45。小于45 , 阴影部分（不含边界）的角集合为 a 45 + k -360 a45 + k -360 , k Z 忽视象限角范围致误 若a是第二象限角，试确定 2 a亍是第 几象限角. 【错解】由题意得90a180, 所以有 180 2 a360 a 45 290 a 故有2a为第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上角，2为第一象限角. 【错因分析】 致错原因是把 a是第二象限角范围误认为是大于90而小于180，而应 是 o|90 丰 k360 a180t k 360 k Z才完整. 【防范措施】正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键. 【正解】(1)由题意得 9

11、0 + k 360 a180 + k 360 (k Z), 180 + 2k 3602 a360 + 2k 360 (k Z). 故2 a是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角. (2)由得 45 + k 180 a90 + k 180 (k Z), 当k为偶数时，令k= 2n(n Z),得 a 45 + n 360 290 + n 360 n Z), 故和第一象限角. 当k为奇数时，令 k= 2n + 1(n Z)得 a 45 + 180 + n 360 ?90 + 180 + n 360 (n Z), 即 225 + n 360和70 + n 360 n Z), 故2为第三象限角.

12、 综上可知;为第一或第三象限角. 课堂小结 1. 理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向. 2象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k进行分类讨论, 以确定角的终边的位置. 3熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据. 1. 将射线OM绕端点0按逆时针方向旋转120。所得的角为（） A . 120 B . - 120 C. 60D. 240 【解析】由于射线0M绕0逆时针旋转，故所得角为正角120 【答案】A 2. （2013开封高一检测）下列各角中，与角 330。的终边相同的角是（） A. 510 B. 150 C.-

13、150 D . - 390 【解析】与330终边相同的角的集合为S=日3= 330 + k 360, k Z, 当 k =- 2 时，3= 330 - 720 - 390 故选 D. 【答案】D 3. 将885 化为 a+ k 360 （0 a 360 k Z）的形式是. 【解析】885 = - 1080 + 195= ( 3) X 360 + 195 【答案】195 + (-3) X 360 4 .如果B为小于360。的正角，B的4倍角的终边与 B的终边重合，求B的值. 【解】 依题意4吐k 360 +B,且0 0360 , 0= k 120 取 k = 1 或 k= 2,. 0= 120或

14、 0= 240 一、选择题 1. 已知A=第一象限角, B = 锐角, C=小于90。的角,那么A、B、C关系是 A . B=AA CB . BUC=C C. A C D . A = B= C 【解析】 锐角大于0小于90故C B，选项B正确. 【答案】 B 2. 把1 485 转化为 a+ k 360 (0 aV360 k Z)的形式是() A . 45 4X 360 B . 45 4X 360 C. 45 5X 360 D . 315 5X 360 只有D 【解析】 B、C选项中a不在0360范围内，A选项的结果不是1 485 正确. 【答案】 D 3 .若a是第二象限角，则180 a是(

15、) A .第一象限角B .第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 【解析】可借助于取特殊值法，取a= 120，则180 120 = 60. 【答案】A 4若a与B的终边互为反向延长线，则有() A a= B+ 180 B a= 3- 180 C a=- 3 D a= 3+ (2k+ 1) 180 , k Z 【解析】a与3的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180的奇数倍，可得 a= 3+ (2k+ 1) 180 k Z. 【答案】D 5. 以下命题正确的是() A .第二象限角比第一象限角大 B A = a|a= k 180 k Z, B = 3| 3= k 90 k Z，贝U AB C

16、.若 k 360 ak 360 + 180 (k Z)，贝U a为第一或第二象限角 D .终边在x轴上的角可表示为 k 360 (k Z) 【解析】A不正确，如一210 30. 在 B 中，当 k= 2n, k Z 时，=n 180 n Z. A B,. B 正确. 又C中，a为第一或第二象限角， 或在y轴的非负半轴上， C不正确，显然D不正确. 【答案】B 二、填空题 6. (2013哈尔滨高一检测)与一2 002终边相同的最小正角是 . 【解析】 与2 002。终边相同的角的集合为 3 3=- 2 002 + k 360 k Z，与2 002 终边相同的最小正角是当k= 6时，3=- 2

17、002 -P6X 360 = 158 【答案】158 7. 若将时钟拨慢5分钟，则分针转了 度，时针转了 度. 【解析】拨慢时针为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为晋0=6 5分钟转 30 过30 时针每分钟转过的度数为 石=0.5 , 5分钟转过2.5 . 60 【答案】30 2.5 8. (2013哈尔滨高一检测)在四个角一20 - 400 - 2 000 600冲，第四象限的角 的个数是. 【解析】一20是第四象限的角；一400 = - 360- 40也是第四象限的角；一2000 =(6) X 360 + 160 是第二象限的角；600 = 360 240 是第三象限的角.所以第四象

18、 限的角的个数是 2 个 【答案】 2 个 三、解答题 9若角a的终边和函数y= X的图象重合，试写出角a的集合. 【解】 在0360范围内所对应的两个角分别为135和315 终边为 y= x 的角的集合是 o|a= k 360 牛 135 k Z U a| a= k 360 315 k Z = a| a= 2k 180 135 k Z U o| a= (2k + 1) 180 135 ； k Z = a| a= k 180 牛 135 ； k Z. 10.在与 530终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1) 最大的负角； (2) 最小的正角； (3) 720到 360的角 【解】 与53

19、0终边相同的角为k 360 + 530 , k Z. (1) 由360 k360 + 530 0且k Z可得k = 2,故所求的最大负角为190 (2) 由 0 k360 + 530 360 且 k Z 可得 k= 1, 故所求的最小正角为 170 . (3) 由720 k360 + 530 360。且 k Z 得 k= 3,故所求的角为 550 11 .如图 1 1 3 所示. 图113 （1）分别写出终边落在 OA, OB位置上的角的集合； 写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合. 【解】终边落在OA位置上的角的集合为 o|a= 90 + 45 + k 360 135 + k360 k Z. 终边落在OB位置上的角的集合为 日 3= 30 + k360 k Z. （2）由题图可知，终边落在阴影部分（包括边界）角的集合是由大于或等于一 等于135范围内的所有与之终边相同的角组成的集合，故终边落在阴影部分 的集合为 Y 30 + k 360 范 fC 135 范 k 360 k Z. 【教师备课资源】 象限角的判断 k Z = a= 30。而小于或 （包括边界）的角 已知a是第一象限角， 在的象限. 【解】Ta是第一象限角， k 360 范 av k 360 范 90 k Z. 2k 360 v 2