弹簧质量阻尼系统模型

1、自动控制原理综合训练项目 题目：关于 MSD 系统控制的设计 目录 1 设计任务及要求分析 4. 1.1 初始条件 4 1.2 要求完成的任务 5 1.3 任务分析 5 2 系统分析及传递函数求解 6. 2.1 系统受力分析 6 2.2 传递函数求解 11 2.3 系统开环传递函数的求解 12 3用MATLAB对系统作开环频域分析1.3 3.1 开环系统波特图 13 3.2 开环系统奈奎斯特图及稳定性判断 15 4.系统开环频率特性各项指标的计算 1.7 总结2.0. 参考文献 2.1. 弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特 性分析 1设计任务及要求分析 1.1初始条件 已知机械系统如图。 /

2、K1 2 图 1.1 机械系统图 1.2 要求完成的任务 (1) 推导传递函数 Y(s)/X(s)， X(s)/P(s)， (2) 给定 m 0.2g,b20.6N ?s/ m,k1 8N/m,k2 5N/m，以 p 为输入 u(t) ( 3) 用 Matlab 画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据 分析系统的稳定性。 ( 4) 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。 ( 5) 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分 析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含 Matlab 源 程序或 Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

3、 1.3 任务分析 由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析， 列出相关的微分方程， 对微分方程做拉普拉斯变换， 将初始条件中给定的数据代 入，即可得出 Y(s)/ X(s)， X(s)/P(s) 两个传递函数。由于本系统是一个单位负 反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在 MATLAB 中画出开环波特图 和奈奎斯特图， 由波特图分析系统的频率特性， 并根据奈奎斯特判据判断闭环系 统位于右半平面的极点数， 由此可以分析出系统的稳定性。 最后再计算出系统的 截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。 2系统分析及传递函数求解 2.1系统受力分析 单自由度

4、有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器 以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴X。则物体运动微分方程为 mx = cx kx（2-1） 式中：cx为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。 rn di 将上式写成标准形式，为 mx cx kx 0 (2-2) 令p2= k , 2n, 则上式可简化为 mm x 2nx p20 (2-3) 这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取x est，其中 s是待定常数。代入（2-1）式得（s22ns p2）est0 ,要使所有时间内上式都 能满足，必须s2 2ns p20，此即微分方程的特征方程，其解为 S,2 n , n2 p2

5、（2-4） 于是微分方程（2-1 ）的通解为 x CieSlt C2e ent(cien pt c2e n pt)(2-5) 式中待定常数C1与C2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式 n2 p2是实数、零、还是虚数。对应的根 si与S2可以是不相等的负实根、相 等的负实根或复根。若S1与S2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系 数，记为Cc,即Cc= 2mp。引进一个无量纲的量 ，称为相对阻尼系数或阻尼 比。 n/p c/2mp c/cC(2-6) 当np或1根式n2 p2是实数，称为过阻尼状态，当 nvp或1，即.n2 p2 C2,C1n,或1。利用欧拉公式 e n2 p2

6、t e p2 n2t cos. p2 n2t isin . p2 n2t (2-9) 可将(2-2)式改写为 nti p2 n2ti p2 n2t、nt2222 x e (Ce sC?e ) e (Dicosppn t D? sinppn t)(? 10) 或 x Ae nt sin( . p2 n2t)( 1-11) 令 Pd. p2 n2，则 x Ae nt sin( pdt)(2-12) 式中A与 为待定常数，决定于初始条件。设t= 0时，x = xo， x x0，则可求 得 A 2反nx、2丄 1 xoPd/“C、 A No () , tg (2-13) VPdXo nxo 将A与 代

7、入(2-4)式，即可求得系统对初始条件的响应，由式(2-13)可 知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线Ae nt之内随 时间不断衰减的衰减振动。如图 3-3所示。 图2-3 这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为 Pd、P2 n2P.1 2 ( 2-14) 2P 1 Td 2 2 (2-15) 式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。 由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动 的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的 情况。例 =n/p=0.05 时，fd=0.9990f, Td=1.00125

8、T;而在 =0.20 时， fd=0.98f, Td=1.02T，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影 响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自 由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显 著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t1时，A1=Ae-nt1； t=t1+Td时，A2=Ae 响 Td); t=t1+2Td时，A3=A e n(t1 2Td)，.。而相邻两振幅之 比是个常数。即 Aj / Aj i nTd e (2-16) 式中n称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振 幅衰减也

9、越快。当 =0.05 时，n 1.37, A2=Ai/1.37=0.73Ai,每一个周期内 振幅减少27%，振幅按几何级数衰减，经过 10次振动后，振幅将减小到初值 的4.3%。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取（2-6）式的自然对数 以避免取指数的不便，即 Ln （Aj/Aj J 式中S称为对数减幅或对数衰减率。 将Td2 / p2n2代入，得 2 n / . p2 n22 当 num=5;de n=(0.6,5); margi n(nu m,de n)%画系统的开环对数幅频、相频特性运 行结果如图3-1 G Bmc Jiagrem Gm iif, Pm - -1 BO deg fat

10、 0 rad/s 10 10 Frequency (rad/B) 10 1J 10 图3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图 (2)对于 X(s)/P(s): G(s)= (0.6s + 5)/(1.2 ? 10-4 s3 + 10-3 s2 + 10.8s + 40) 画波特图时采用的MATLAB语句如下： num=0.6,5;den=(1.2?10-4 , 10-3 ,10.8,40); margi n(nu m,de n)%画系统的开环对数幅频、相频特性运 行结果如图3-2所示: mprpn芝囂乏 (B0P2 esggOL. o Bq肚口眄価 Grr InfdB ratlnfras ,

11、Pn = 1弓 丁 d労 3嗨注曲时 105IO11D2Ifr3 FreoiLency (ras 10 图3-2 X(s)/P(s)的开环波特图 3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断 (1)对于 Y(s)/X(s) 画奈奎斯特图时MATLAB语句如下： num=5; den=0.6,5; nyq uist (nu m,de n) 运行结果如图3-3所示: Nyquist Diagram 盘.亡罚匚 den=1.2 ?10-4 ,10-3 ,10.8,40; nyq uist (nu m,de n) 运行结果如图3-4所示: Jyqiiist Diagram 图3-4 X (s) /P (s)开

12、环奈奎斯特图 开环传函 G(s)= (0.6s + 5”(1.2 ? 10-4 s3 + 10-3 s2 + 10.8s + 40)，由于系 统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0，3从0变到+ %时，系统的开 环幅相曲线不能包围(-1，j0)点周数N=0，则系统位于右半平面的闭环极点数 为:Z=P-2N=0,故系统是稳定的。 4.系统开环频率特性各项指标的计算 (1)对于 Y(s)/X(s) : G (S) = 5/(0.6s + 5) 计算各项频率指标时采用的 MATLAB 语句如下 : num=5;den=(0.6,5); margin(num,den); gm,pm,wcg,wc

13、p=margin(num,den) 计算幅值裕度gm( y)、相位裕度pm(ho)、穿越频率wcg(go)、截止频率wcp(吐0) num=0.6,5;de 门=(1.2*10八-4,10八-3,10.8,40) margin(num,den); gm,pm,wcg,wcp=margin(num,den) 计算幅值裕度gm( y)、相位裕度pm(h)、穿越频率wcg(o)、截止频率wcp(化) 运行结果 gm = Inf pm = 15.6933 wcg = Inf wcp = 307.8588 由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为308rad/s,相位裕度为15.7是 正值，故系统稳定

14、。 总结 本次课设是对一个弹簧 -质量 -阻尼器系统建模并进行频率特性分析。首先根 据这个实际的机械系统的受力分析得出它的受力微分方程， 对其进行拉普拉斯变 换，可以得出传递函数。 在求开环传递函数的过程中我遇到了一些困难， 在老师 的指点和同学的帮助下我发现自己其实把问题想得过于复杂了， 原来这是一个单 位负反馈的稳定系统，求出的传递函数即为开环传函。接下来便是 MATLAB 的 应用，利用 MATLAB 可以轻松地对系统做出频率特性分析，画出 Bode 图和奈 奎斯特图，并通过奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定性。也可以利用 MATLAB 语句直接求出各项频率特性指标， 从而可以进一步对系统做出分析， 完成既定目 标。 通过本次课设，加强了我对 MATLAB 程序的应用能力，这是一款功能强大 而又实用性很强的程序， 对于我们专业的学习有着很强的帮助性； 另一方面也加 强了我对课本理论知识的理解，通过 MATLAB 的分析也印证了平时自己学习理 论知识时所用分析方法的正确性。最后通过本次课设也提高了我个人独立思考、 查阅资料和解决问题的能力，使我受益匪浅。 参考文献 1 王子才 . 控制系统设计手册 . 北京：国防工业出版社， 1993 2 王树青，乐嘉谦 . 自动化与仪表工程师手