导数知识点总结

1、精品文档 导数知识要点 1.导数(导函数的简称)的定义：设 X0是函数y f(x)定义域的一点，如果自变 量X在X0处有增量X，贝U函数值y也引起相应的增量 y f (X0 x) f(Xo);比值 丄 竺_x) f(X0)称为函数y f(X)在点xo到Xox之间的平均变化率；如果极 XX 限lim丄lim竺X) f(X0)存在，则称函数y f(x)在点xo处可导，并把这个 x 0 x x 0 x 极限叫做y f(x)在xo处的导数，记作f(x。)或y，即 、一” y . f (XoX) f(Xo) f (xo) = limlim x 0 xx 0 x 注：X是增量，我们也称为改变量”因为X可正

2、，可负，但不为零 已知函数y f(x)定义域为A，y f(x)的定义域为B，则A与B关系为A B. 2.函数y f (x)在点xo处连续与点xo处可导的关系: 函数y f (x)在点xo处连续是y f(x)在点xo处可导的必要不充分条件 可以证明，如果y f(x)在点xo处可导，那么y f (x)点xo处连续. 事实上，令x xox，则x xo相当于x o . f (xo X) f(xo) x x f (xo) lim f(xox) f(xo) nm x oxx o mof(xo) f (xo) o f(xo) f (xo). 于是 lim f (x) lim f (x0 x x0 x 0 x

3、) limf(x xo) f(Xo)f(Xo) x 0 如果y f(x)点xo处连续，那么y f(x)在点xo处可导，是不成立的 例：f(x) |x|在点xo o处连续，但在点xo o处不可导，因为 Li1，当x x x o时，-y 1 ；当x V o时，-y1，故lim y不存在. xxx o x 注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数 3. 导数的几何意义： 函数y f (x)在点xo处的导数的几何意义就是曲线y f(x)在点(xo, f(x)处的切线 的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点P(xo,f(x)处的切线的斜率是f(xo)，切线 方程为 y y

4、 f (x)(x Xo). 4、几种常见的函数导数: c o ( C为常数) I (sin x) cosx (In x)1 x x x (e ) e n、n 1 z、 (x ) nx ( n R) I (cosx) sin x 1 (log a x) log a e x (ax)ax In a 5. 求导数的四则运算法则: (u v) u vy f1(x) f2 (x). fn (x) yf1 (x) f2(X). .fn(x) (uv) 1 1 1 1 1 vu v u (cv) c v cv cv ( c为常数) 1 u 1 1 vuv u zc、 2(v 0) v v 注：U,v必须是可

5、导函数. 若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它 们的和、差、积、商不一定不可导. 例如：设f(x) 2sinx ， g(x) cosx ，则f(x),g(x)在x 0处均不可导，但它们 xx 和 f (x) g(x) sinx cosx在 x 0处均可导. 6. 复合函数的求导法则：fx( (X) f(u) (x)或yx yu ux 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 7. 函数单调性： 函数单调性的判定方法：设函数y f(x)在某个区间内可导，如果f(x) 0,则 y f (x)为增函数；如果f(x) V0,则y f(x)为减函数. 常数的判定方法

6、； 如果函数y f(x)在区间I内恒有f(x)=0,则y f(x)为常数. 注：f(x) 0是f (X)递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(，)上 并不是都有f (x) 0 ,有一个点例外即x=0时f (x) = 0,同样f (x) 0是f (x) 递减的充分非必要条件. 一般地，如果f(x)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正(或负)， 那么f (x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 8. 极值的判别方法：(极值是在X0附近所有的点，都有f(x) V f(X0)，则f(X0)是 函数f (X)的极大值，极小值同理) 当函数f (X)在点X0处连续时， 如果在X。附

7、近的左侧f (X) 0,右侧f(x) V 0,那么f(X。)是极大值； 如果在X0附近的左侧f (X) V 0,右侧f(X) 0,那么f(X0)是极小值. 也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f(x) =0.此外， 函数不可导的点也可能是函数的极值点 .当然，极值是一个局部概念，极值点的 大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不 同). 注：若点X0是可导函数f (X)的极值点，则f(X) =0.但反过来不一定成立.对 于可导函数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数y f (x) X3 , x 0使f (

8、X) =0,但x 0不是极值点. 例如：函数y f(x) |x|，在点x 0处不可导，但点x 0是函数的极小值点. 9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上 对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 导数练习 一、选择题 1.设函数f(x)在R上可导,其导函数f (x),且函数f(x)在x2处取得极小值, 则函数y xf (x)的图象可能是 2. 3. 设aO,bO,e是自然对数的底数 A. 若 ea+2a=eb+3b,则 ab B. 若 ea+2a=eb+3b,则 ab D. 若 ea-2a=eb-3b,则 a0,b0. A.若 2a 2a 2b 3b

9、 ,则 ab B.若 2a 2a 2b 3b,则 abD.若 2a 2a 2b 9.设函数f (x)在R上可导,其导函数为f (x),且函数y 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 A. 函数f (x)有极大值f(2)和极小值f (1) B. 函数f (x)有极大值f( 2)和极小值f(1) C. 函数f(x)有极大值f(2)和极小值f( 2) D. 函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(2) 10 .设函数f(x) xex,则 A. x 1为f (x)的极大值点 C. x 1为f (x)的极大值点 B . x 1为f(x)的极小值点 D. x 1为f(x)的极小值点 11 .

10、设a 0且a 1 ,则“函数f(x) ax在R上是减函数”,是“函数 g(x) (2 a)x3在R上是增函数”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 12.已知函数y x3 3x c的图像与x轴恰有两个公共点，则c A.2 或 2 B.9或 3 C.1 或 1 D.3或 、填空题 13.曲线y x(3In x 1)在点(1,1)处的切线方程为 14.曲线y x3 x 3在点1,3处的切线方程为 三、解答题 15.已知函数f (x) ax3 bx c在x 2处取得极值为c 16 (1) 求a、b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在3,3上的最大值. 16 .已知 a R,函数 f (x) 4x3 2ax a (1) 求f(x)的单调区间 (2) 证明：当 OW x0. 17. 已知函数 f (x)- x3 - a x2 ax a(a 0) 32 求函数f (x)的单调区间； (II) 若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围； (III) 当a 1时,设函数f(x)在区间t,t 3上的最大值为 M(t