椭圆2016新编知识点完美总结重点讲义资料

1、第5讲：椭圆 、椭圆及其方程 1、椭圆的定义：把平面内与两个定点Fi,F2的距离之和等于常数(大于|FiF2 )的点的轨迹叫做椭圆 其中：这两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点的距离叫做焦距(记为2 注意：若(PFi + PF2 = F1F2 )，则动点P的轨迹为线段F1F2 ； 若(PFi | + PF2 Ic F1F2)，贝U动点P的轨迹无图形 2、椭圆的标准方程: (a b 0) 只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程; 在椭圆的两种标准方程中，都有a b 0和c2 =a2 -b2 ； 已知方程判断焦点位置的方法是：看 x2， y2的分母的大小，哪个

2、分母大，焦点就在哪个坐标轴上 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(-c,0)； 当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,-c) 3、求椭圆标准方程的常用方法： (1) 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确 定方程中的参数a,b,c的值。即：主要步骤是 先定位，再定量; 注：焦点所在坐标轴的位置不确定时设椭圆标准方程要分两种情形；为了计算方便，有时也可设方程为 2 2 mx+ny =1(m0，n0，n)。 (2) 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 例2 .已知椭圆mx2，3y2-6m=

3、0的一个焦点为(0，2)求m =. 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c = 2，根据关系a b2 c2可求出m的值. 2 2 解：方程变形为=1 .因为焦点在y轴上，所以2m 6，解得m 3 . 6 2m 又 c =2，所以 2m6 = 22， m 二 5适合.故 m = 5 . 例3已知椭圆的中心在原点，且经过点 P3,0，a=3b，求椭圆的标准方程. 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b (或a2和b2)的值，即可求得椭圆的标准方程. 2 2 2 入9，故椭圆的方程为才宀1 . 解：当焦点在X轴上时，设其方程为笃爲=1 a b .

4、 0 a b 由椭圆过点P 3,0，知笃 $ =1 又a =3b，代入得b2 =1 , a b 当焦点在y轴上时，设其方程为 g E=1a b 0 .由椭圆过点P3,0，知爲 ,=1. a ba b 又a =3b，联立解得a2 =81，b2 =9，故椭圆的方程为 2 y 81 2 X 1. 9 例4求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 A(、.3, 一2)和B(2、. 3,1)两点的椭圆方程 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见， 可设其方程为mx2 ny2 =1 (m 0， n 0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程. 解：设所求椭圆方

5、程为mx2 ny2=1(m 0， n -0).由A(. 3,-2)和B(-2._3,1)两点在椭圆上可得 m （丁3）2 + n （-2）2 =1, m （-2朽）2 + n 12 =1, 即丿 節FT所以m 12m+ n = 1,15 1 n =.故所求的椭圆方程为 5 2 2 1. 155 2 2 例5.已知方程-1表示椭圆，求k的取值范围. k53k |k -5 c0, 解:由*3k0, 得3ckc5，且 k式4 .二满足条件的k的取值范围是3ckc5，且 k式4. _ 5 式 3 _ k, 说明：本题易出现如下错解：由50,得3ck5，故k的取值范围是3k5. 3kb0这个条件，当a

6、= b时，并不表示椭圆. 例6 ABC的底边BC =16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨 迹. 分析：(1)由已知可得|GC +GB =20，再利用椭圆定义求解. (2) 由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程. 解：(1 )以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为x，y，由 GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因 a = 10, c=8，有b = 6， 2 2 故其方程为1 y=0 . 10036 ,2 ,2 设Ax,y,Gx,，则盘詈1八 - 由题意有丿 * x X =百，

7、22 3代入，得A的轨迹方程为x + y _10 )，其轨迹是椭圆(除去x轴上两点). L y900 324 r 3 例7.已知动圆P过定点A -3,0，且在定圆B:x-32 y64的内部与其相内 切，求动圆圆心P的轨迹方程. 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式. 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M 动点P到两定点， 即定点A -3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径， 即PA+ PB = PM +|PB| = BM|=8 点P的轨迹是以A，B为两焦点， i 2 2 半长轴为4,半短轴长为b 42 一327的椭圆的方程： =1 . 167 说明：本题是先根据椭圆的定义

8、，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求 轨迹方程的一种重要思想方法. 2 2 例 (2)点P(Xo, yo)在椭圆上= 卑气=1; a ba b 2 2 (3) 点 P(X0,y)在椭圆内=X2: 1 a b 二、椭圆的简单几何性质 1范围: x2a2，y2 b2，.，.|x|w a，|y|b 0）对应于右焦点F2（c, 0）的准线称为右准线， ab 厂 y 22 方程疋x ，对应于左焦点Fb0） ab 2 2 y2 异？ =1 （a b0） ab 图形 71 1 r c J 勺1 性质 焦占 八、八、 F-c,0） , F2（c,0） F1（0-c），F2（0,c） 焦

9、距 | F1F2 =2c F1F2 |=2c 范围 |x 兰a，y x 5， |y 1 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 （土a,0） ,（0,土b） （0,士a），（土b,0） 轴长 长轴长=2a，短轴长=2b 离心率 c e = （0 ce 1） a 准线方程 2 _a x - 士 c 2 今a y 士 c 焦半径 PF1 =a+ex）， PF2 =a - ex3 |pf 1 =a + ey， PF?| = a-ey 注意：椭圆笃占，爲笃=1 (a . b 0)的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有(a . b . 0) a b a b 和e =C(0 ：e ：1)， a2 =

10、b2 c2 ；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。 a 五、直线与椭圆 1、直线与椭圆的位置关系： (1) .0：=直线与椭圆相交；(2)厶=0：=直线与椭圆相切；(3) ： 0：=直线与椭圆相离。 2 2 例(3)直线y kx仁0与椭圆+=1恒有公共点，则m的取值范围是(答：1, 5) U (5, 5 m +x)；消元得一元二次方程(5k2+m)x2+10kx + 5(1-m) = 0 ,利用 0恒成立解得 2、椭圆的切线 2 2 (1)椭圆笃 yr =1 (a b 0)上一点P(xo, y)处的切线方程为： 辔 =1 ； a ba b (2) =1相切的条件为A2a2 B2

11、b2二C2 ； x2 直线Ax+By+C=(与椭圆-y a (3) 过椭圆外一点P(x0,y0)引椭圆的两条切线，切点分别为 P、R,则直线P1P2 (切点弦所在的直线) 的方程为竽響二1 a b 3、弦长公式： 若直线l : y =kx b与圆锥曲线相交与A、B两点，A (捲，如),B%, y?)则 弦长 AB = 区x2)2 +(% y2)2 =11 卄2 x2 |AB|-,(1 kg X2)2-4X1 X2(1 1)(y1 丫2)2一4% 2 例11.已知椭圆4x2 y2 = 1及直线y二x m . (1) 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ f (2) 若直线被椭圆截得的弦长为，求直线

12、的方程. 5 解：(1)把直线方程y = x + m代入椭圆方程4x2+y2=1得4x2+(x + mf=1， -訂 5J 5 即5x2 2mx m2 -1 =0 . 二 2m 2 -4 5 m2 -1 二-16m2 20 一 0，解得m 一一 . 2 2 (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 X1， X2，由(1)得 XX2 二- 2m 5 X1X2 根据弦长公式得: 1 12 5 1 =乙卫解得m = 0 .方程为y = x . 2 AF1 2 + F1F2 -2 AF F1F2 cos， 3 所以m二一6 4 J3 同理在 BF1F2中，用余弦定理得 ，所以AB 13 说明：处理有关直

13、线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别. 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式厶；解决弦长问题，一般应用弦长公式. 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程. 例12.已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点Fi作倾斜解为丄的直线交椭 3 圆于A，B两点，求弦AB的长. 分析：可以利用弦长公式 AB| = Ji +/凶_x2| = J（1 +心（為+x2）2 -厶乂必求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求. 解：（法1）利用直线与椭圆相交的弦长公式求解. AB =fk2|xiX

14、2 =J（1+k2）（Xi*2）24xiX2 因为 a =6，b=3，所以 c = 33 因为焦点在 x 轴上, 2 2 所以椭圆方程为 1，左焦点F（ 3.、3,0），从而直线方程为y 3x 9 . 369 由直线方程与椭圆方程联立得： 13x2 72, 3x 36 8 = 0 .设 X1 , X2为方程两根，所以 X1 X2 - - 72 3 , 13 xm =36：b0）的一条弦，贝U AB的斜率 a b b2x 为一.运用点差法求AB的斜率，设A（X1, y , B（X2, y2）. a y 0 A B都在椭圆上, Xi 2 a yi i, 2 X2 2 y2 2 2 2 2 亠/口

15、Xi X2yi y2 两式相减得 2P 2= 0, ab i, Xi X2a2yi + y2 (Xi X2)(Xi +X2)+(yi y2)(yi +y2) 0 即屮y2 b Xi +X2 zb_ ， b2x。b2x。 2 . 故 Kab= 一2 a yoa y 2 例10.已知椭圆y2 2 (1) 求过点皮 P平分的弦所在直线的方程； 12 2丿 (2) 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； (3) 过A 2,引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； 1 (4) 椭圆上有两点P、Q , O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足Kop Koq-lsin： 士tan 2 求线段PQ中点M的轨迹方程.

16、 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法. 解：设弦两端点分别为M x-i, yi , N x2, y2，线段MN的中点R x, y ,则 X-2 +2y-2 =2, .x| +2y； =2, x +x2 =2x, y +y2 =2y, 一得 &X2Xi-X22 yiy2yi-y20 . 由题意知Xi =X2，则上式两端同除以Xi -X2，有 Xi X2 2 yi y2 比=0 , 捲_x2 将代入得X 2y =0 . 论一x2 (1)将x=1, y=1代入，得 =-丄，故所求直线方程为：2x 4y -3 = 0 . 22XiX22 1i 将代入椭圆方程X2 2y2得6y2

17、-6y-=0,抡=36-4 6 - 0符合题意，2x，4y-3=0为所求. 4 4 (2) 将y=2代入得所求轨迹方程为：x 4 0 .(椭圆内部分) x -x2 (3) 将12二口 代入得所求轨迹方程为：X22y2-2x-2y=0 .(椭圆内部分) X- X2 x 2 2 + 2 (4) 由 + 得：y-2 yf -2,， 2 将平方并整理得 x2 x； = 4x2-2xx2 ,，y2 y| =4y2-2yy2 , 1 再将yiy-XiX2代入式得: 2 2 2x -xx 4y -2 1 X1X2 2 即X21 -此即为所求轨迹方程. 1 2 将代入得： 4x 2x1x2 . 4y* 1 c

18、os -2 _2y2 =2， 4 当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 六、椭圆相关问题 1、共焦点的椭圆 2 2 共焦点：则c相同。与椭圆x2 与=1(a . b 0)共焦点的椭圆方程可设为 a b 2 X 2 a m 2 -V b2 m =1 (m -b2)， 此类问题常用待定系数法求解； 2 2 2 2 同离心率：与椭圆务 每=1离心率相同的椭圆系方程是 仔爲=(.0) a ba b 2、椭圆的参数方程 尸aco曲啓为参数) =bsi n护 3、焦点三角形(椭圆的一点与两焦点所构成的三角形) 思路分析：与焦点三角形 PFF2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(

19、或勾股定理)、 三角形面积公式S母吋2 =1PF1江PF2 in ZF1PF2相结合的方法进行计算解题。 将有关线段PF1、PF2、RF2，有关角F1PF2 ( F1PF2F1BF2)结合起来，建立PF.-|PF2、 S m ax =bc； PF|PF2之间的关系. 重要结论：周长为定值2( a+c)S = b2 tanc | y01 ；当| y0b即P为短轴端点时, 2 2 2 例9已知椭圆方程X7 2 =1 a b 0，焦点为F1，F2，P是椭圆上一点， a b F1PF : 求：F1PF2的面积(用a、b :表示). 1 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用S-，丄absi nC求面积. 2 解：如图，设P x，y ,由椭圆的对称性，不妨设P x，y ,由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由 OOO 余弦定理知：F1F2 = PF1 + PF2 -2PF1 PF2cosg=4c2 . 由椭圆定义知：PF-|PF2 =2a ，则2得 PF1 2b2 1 c o s 故 S f1pf2 lan 4、焦点弦 2 2 AB 为椭圆 X 2_ =1 a a b b 0的焦点弦(经过焦点),A Xi,yi ,