平方差与完全平方

1、平方差与完全平方知识讲解平方差公式2 2(a b) (a -b)二 & -b平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差. 左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数. 右边是乘方中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)注意：公式屮的a和b可以是具体的数也可以是单项式或多项式.女口： (a 2) (a -2)二云-4 ； (x 3y) (x -3y) = x2 9y2 ；(a b c) (a b -c) =(a b)2 -c2 :(a3 b) (a3 -b) = a6 -b10 .不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形.2 2女口： 97 103 二(1

2、00 3) (100 3)二9991 ; (a b) ( b a) =(a b) (a b)zia -b完全平方公式(a b)2 二 a2 2ab b2 ； (a rb)2 - a2 T2ab b2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍.完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其屮有两项是公式左边二项式屮的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积2倍在中央”.注意：公式屮的a和b可以是单项式，也可以是多项式。一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，(a b c)2 =(

3、a b) c2 =(a b)2 2(a b) c c2=a2 2ab b2 2ac 2bc c2 = a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc【例1】如图，从边长为d的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成-个长方形，上述操作所能验证的公式是b的小正方形(ab),把剩下的【变式练习】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式(4)【例2】如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法,写出一个关于a、b的恒等式【例3】运用平方差公式计算:(3)12 b2 b2 -12空、3y 3y 2x(2) x a

4、b xabm I n x . m n、(5) (a b ) (a -b )(1) 2b c -2b c(2)_m2n 2 一m n -2(3) (-4a 1) (-4a 1)B .-2x-3y 2x 3y【变式练习】下列各式屮能使用平方差公式的是（A . 4x -3y : -3y 4xc2222C x y y x【例5】利用平方差公式简化计算:(2) 102 98(1) 59. 8 60. 2(3) 123462 -12345 12347 1 1 14X15 15【例6】已知：x、y为正整数，且4x2-9y2=31,求出满足条件x、y的值.【变式练习】下面计算；-7 a b _7_a-b正确的

5、是（A .原式二一7 a b 占L 7 - a b =72+ a b 2B .原式二一 7 a b 址7 -?a b = 72 -?a - b 2C .原式二卜：7 a b ；-_7 a -7 a bD .原式一一7 a y： ； b 7 a24(2) a 3 a 9 a3 a 812【例 8化简：(1) x 1 x 1 x -1 x 1(3)2 1 22 1 21 1 2s 1 L261 196【例9】2-1有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数.24312030【变式练习】已知 一 可能被 至 Z间的两个整数整除，求这两个整数.【例10直接写出结果:C) (x +5 2 =2

6、(3) -x y 二1 2(X )22(4) _x _ y 二2 12 2【例 11】计算：(1) (4m n)(2) x_3yr-vi 1 丄丄皆2La lib)22x(3) (3a2b 0. 5ab2)2(4) (llam-13bn)2【例12计算：(1) 29821011(2) .2【例13】计算：(1)(a b c) 22(3) (a -2b 3c)1()”(X【例14】先化简，再求值:v)2 (x v) (x v) 2x,其屮 x 二3. v =1.5 .2其中一2)y 0) Sy (y 1) (【例15】计算：(1)2 2(x - 2) (x -(2) a 2b 3c a 2b -

7、3c(a b c) (a 一b 一c)(4)(2x - y 2) (y - 2x 2)(x 5y -9) (x 一5y - 9)(6) a 3b 4c -a 3b 4c【例16】填空：4) a2(3)，【例17】已知a2 b2 =：2 =(a+b)2 -(2) a2+b2 =(a一b)2 +b? = 2 I- ；(4) (a - b)2 =(a b)2,a b =5,求 ab =【变式练习】若(X 2)2 (x -3)2 二 13,则(x 2) (3 -X)=【变式练习】已知a b =3 , ab =1,求& -b的值.2 219【例】已知a b 7 , a _b3,求ab的值及云-b?的值.

8、【变式练习】已知a (a -1)【例20】若x y二3 , xy二2,-(a2 -b)5 a求x1 y4的值.2 2b2 -ab的值.【例21填空：(1)x +4y 二(x+2y);(2) 9a -+121b 二(3d):(3)24m +4mn+=(2m +2):(4)2+6xv +二(3x + v).【例22】(1)如果多项式x2 kx -是一个完全平方式，那么k的值为 9(2)如果多项式x2 -kx 4是一个完全平方式，那么k的值为【变式练习】如果4x2, axy 9y?是完全平方式，试求&的值为(2 )当x为何值时,-x2 6x-15有最大值.Q【变式练习】右整式4x Q 1是完全平方式

9、，请你写满足条件的单项式【例23】求下列式子的最值:Y 一4y q右舄小倍(1 )当乂为何值时,【例 24】若 a , b 为有理数，且 2a2 2ab b2 4a *4二0,贝ij a2b - ab2 二【变式练习】已知 &、b c满足a2 2b =7 , b2 -2c二-1, c 6a二7,贝U a b c的值【变式练习】设P二a2b5 , Q =2ab -a2 -4a,若”二Q,则实数a , b满足的条件是.【例25】若* , b为有理数，且云_2ab 2b2 4a 8 = 0，则ab二.【变式练习】若代数式a2b,则代数式a23a亠4b亠6b4ab的值为【例26】设a、b、c是三角形厶

10、ABC的三边长，且a2 b2 c2二ab be ca,关于此三角形的形状有以下判断：是等腰三角形；是等边三角形；是锐角三角形；是斜三角形其中正确的是.【例27】已知a =2 0 X 3 ,2 bB 1 2 x ,2 0 cl= 3 , x2求多项式a2 b2 c2 一 a b 的值 b- c a c【变式练习】如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上两个数之和相等，如果13 , 9 , 3的对面的数分别a、b、c ,求a2 b2 c2 Tab fbeac的值.13课后练习【习题1】【习题2】计 (1)Xy)(； x*y)9(2) (x -5y) (3x 5y)计算:2(1) (2x 3v)(2) (a-2b)(2b-a)(3)(a2 ab b2) (a2 -ab b2)(4)(2x -y 2)( y -2x 2)【习题3】【习题4 _b)2计算：2/l)(Xy) - (x y) (x y)已知a +b =3 , ab =12 ,求下列各式的值:(2)(2KzH 2x)(1) a2 +b2 ; (2) a2 _ab +b2 ; ( 3) (a2 411【