不动点迭代法非线性方程求解综述

1、 MATLAB程序设计实践课程考核1、 编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍精通 MATLAB 科学计算，王正林等著，电子工业出版社，2009年）“不动点迭代法非线性方程求解”2、编程解决以下科学计算问题。7. 某工厂2005年度各季度产值（单位：万元）分别为：450.6、395.9、410.2、450.9,试绘制折线图和饼图，并说明图形的实际意义。2 28. 根据笃绘制平面曲线，并分析参数a对其形状的影响a 25 a2.按要求对指定函数进行插值和拟合。（1）按表6.4用3次样条方法插值计算090范围内整数点的正弦值和0 750范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算

2、相同的函数值, 并将两种计算结果进行比较。表6.4特殊角的正弦与正切值表a （度）0153045607590sin a00.2588 :0.5000 :0.70710.86600.96591.0000tana00.26790.57741.00001.73203.7320（2）按表6.5用3次多项式方法插值计算1100之间整数的平方根。 表6.5 1100内特殊值的平方根表N1491625364964811007N123456789101、不动点迭代非线性方程求解 解：算法说明：在Matlab中编程实现不动点迭代法的函数为 StablePoint 功能：用不动点迭代法求函数的一个零点。调用格式：

3、root ,n =StablePoi nt(f,xO,eps)。其中，f为函数名；xO为初始迭代向量； eps为根的精度； root为求出的函数零点； n为迭代步数。流程图：不动点迭代法的MATLAB程序代码： fun cti on root, n=StablePo in t(f,x0,eps) %用不动点迭代法求函数f的一个零点 %初始迭代量：x0%根的精度：eps%求出的函数零点：root%迭代步数：nif(n argi n=2) eps=1.0e-4;end tol=1;root=x0;n=0;while(toleps)n=n+1;r仁root;root=subs(sy m(f),fin

4、 dsym(sy m( f),r1)+r1;%迭代的核心公式tol=abs(root-r1);end实例:采用不动点迭代法求方程1二0的一个根。流程图:解：在MATLAB命令窗口中输入程序代码:r, n=StablePoi nt(1/sqrt(x)+x-2,0.5)结果输出:0.38204从计算结果可以看出，经过四步迭代，得出方程的一个根为0.38202.编程解决以下科学计算问题410.2,7、某工厂2005年度各季度产值（单位：万元）分别为 450.6, 395.9,450.9,试绘制折线图和饼图，并说明图像的实际意义。解：流程图：输出图像源程序代码：%折线图subplot(1,2,1)pl

5、ot(450.6,395.9,410.2,450.9)title(2005年度各季度产值-折线图);%饼状图subplot(1,2,2)pie(450.6,395.9,410.2,450.9,1:4,第一季度,第二季度,第三季度,第四季度) title(2005年度各季度产值-饼图)2005年度各季度产值、倂團从折线图可以看出该工厂效益变化趋势， 效益在第二季度最低随后逐渐提高， 在第四季度恢复到第一季度的水平；从饼状图可以看出各个季度该工厂效益的比 例关系。从这两个图可以合理安排工厂的生产计划。2 28.根据务y 2 =1绘制平面曲线，并分析参数a对其形状的影响a225 a2流程图:syms

6、 a x yeq=1/aA2*xA2 +yA2/(25-aA2)-1;aa=0.5:0.5:3.5,5/sqrt(2),3.6:0.5:6.6;m,n=size(aa);for i=1: n eq1=subs(eq,a,aa(i); ezplot(eq1,-20 20) draw nowaxis(-20 20 -10 10) pause(0.5)end0.5 :：: a : 5/ ,2时，随着a增大曲线形状由长轴在y轴的椭圆逐渐转变为圆（此 时a =5/ 2 ）; 5 2厂V a5v时a继续增大曲线形状由圆转变为长轴在 x轴的椭圆；a5时曲线变为双曲线2.按要求对指定函数进行插值和拟合。（1）

7、按表6.4用3次样条方法插值计算090范围内整数点的正弦值和0 750范围内整数点的正切值，然后用5次多项式拟合方法计算相同的函数值, 并将两种计算结果进行比较。表6.4特殊角的正弦与正切值表a （度）0153045607590sin a0；0.25880.50000.70710.86600.96591.0000tana00.26790.57741.00001.73203.7320流程图:A 正弦值算法：x=0:pi/12:pi/2;y=0 0.2588 0.5000 0.7071 0.8660 0.9659 1.0000; xi=0:pi/180:pi/2;%三次样条差值yi=i nterp

8、1(x,y,xi,spli ne)%五次多项式拟合A=polyfit(x,y,5);yj=polyval(A,xi)运行结果:yi =Colum ns 1 through 110 0.0175 0.0349 0.0524 0.0698 0.0872 0.1219 0.1392 0.1564 0.1737Columns 12 through 220.1908 0.2079 0.2249 0.2419 0.2588 0.2756 0.3090 0.3255 0.3420 0.3583Columns 23 through 330.3746 0.3907 0.4067 0.4226 0.4384 0.

9、4540 0.4848 0.5000 0.5150 0.5299Columns 34 through 440.5446 0.5592 0.5736 0.5878 0.6018 0.61570.6428 0.6561 0.6691 0.6820Columns 45 through 550.6947 0.7071 0.7193 0.7313 0.7431 0.7547 0.7771 0.7880 0.7986 0.8090Columns 56 through 660.8191 0.8290 0.8387 0.8480 0.8571 0.86600.8829 0.8910 0.8987 0.9062

10、Columns 67 through 770.9135 0.9204 0.9271 0.9335 0.9396 0.94540.9563 0.9612 0.9659 0.9703Columns 78 through 880.9744 0.9782 0.9817 0.9849 0.9878 0.99040.9946 0.9963 0.9977 0.99870.10450.29230.46950.62930.76600.87460.95100.9927Columns 89 through 910.9995 0.9999 1.0000yj =Columns 1 through 110.0000 0.

11、0174 0.0349 0.0523 0.0697 0.08710.1218 0.1391 0.1564 0.1736Columns 12 through 220.1908 0.2079 0.2249 0.2419 0.2588 0.27560.3090 0.3256 0.3420 0.3584Columns 23 through 330.3746 0.3907 0.4067 0.4226 0.4384 0.45400.4848 0.5000 0.5150 0.52990.10450.29240.4695Columns 34 through 440.5446 0.5592 0.5736 0.5

12、878 0.6018 0.61570.6428 0.6561 0.6691 0.68200.6293Columns 45 through 550.6946 0.7071 0.7193 0.7313 0.7431 0.75470.7771 0.7880 0.7986 0.80900.7660Columns 56 through 660.8191 0.8290 0.8386 0.8480 0.8571 0.8660 0.8829 0.8910 0.8988 0.9063Columns 67 through 770.9135 0.9205 0.9272 0.9336 0.9397 0.94550.9

13、563 0.9612 0.9659 0.97030.87460.9510Columns 78 through 880.9743 0.9781 0.9816 0.9848 0.9877 0.99020.9945 0.9962 0.9975 0.99860.9925Columns 89 through 910.9994 0.9998 1.0000通过比较，两种方法得到的结果近似相等。B.正切值算法：x=0:pi/12:5*pi/12;y=0 0.2679 0.5774 1.0000 1.7320 3.7320; xi=0:pi/180:5*pi/12;% 三次样条差值 yi=interp1(x,y

14、,xi,spline) %五次多项式拟合A=polyfit(x,y,5);yj=polyval(A,xi)运行结果：yi =Columns 1 through 110 0.0184 0.0365 0.05450.1255 0.1431 0.1607 0.17840.07240.09020.1079Columns 12 through 220.1961 0.2138 0.2317 0.24970.3236 0.3427 0.3620 0.38170.26790.28630.3048Columns 23 through 330.4017 0.4221 0.4429 0.46410.5537 0.5

15、774 0.6017 0.62660.48580.50790.5305Columns 34 through 440.6520 0.6780 0.7046 0.73170.8456 0.8754 0.9058 0.93670.75930.78760.8163Columns 45 through 550.9681 1.0000 1.0325 1.06581.2145 1.2572 1.3028 1.35161.10031.13641.1743Columns 56 through 661.4041 1.4604 1.5211 1.58631.65651.73201.81311.9002 1.9936

16、 2.0937 2.2008Columns 67 through 762.3152 2.4374 2.5675 2.7060 2.8532 3.0095 3.17523.3506 3.5361 3.7320yj =Columns 1 through 11-0.0000 0.0235 0.0454 0.06580.1375 0.1540 0.1701 0.18620.08500.10320.1206Columns 12 through 220.2022 0.2183 0.2345 0.25110.3208 0.3394 0.3585 0.37810.26790.28510.3028Columns

17、 23 through 330.3982 0.4188 0.4400 0.46160.5533 0.5774 0.6020 0.62700.48380.50650.5297Columns 34 through 440.6524 0.6783 0.7047 0.73150.8440 0.8736 0.9039 0.93510.75880.78670.8150Columns 45 through 550.9670 1.0000 1.0341 1.06931.2259 1.2699 1.3162 1.36521.10601.14421.1841Columns 56 through 661.4171

18、1.4723 1.5310 1.59351.8910 1.9793 2.0742 2.17621.66041.73201.8087Columns 67 through 762.2860 2.4040 2.5310 2.66773.3253 3.5214 3.73202.81472.97273.1427通过比较知，角度较小时五次多项式算得的值较大，角度增大则两种方法得到的 结果近似相等。(2)按表6.5用3次多项式方法插值计算1100之间整数的平方根。 表6.5 1100内特殊值的平方根表N14916253649648110012345678910x=1 4 9 16 25 36 49 64 81 100; y=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10; xi=1:100;f=i nterp1(x,y,xi,cubic)结果:Colum ns 1 through 111.00001.37291.71252.00002.24052.45512.64942.82923.00003.16363.3186Colum ns 12 through 223.46613.60693.74223.87294.35994.47304.58324.69074.00004.12374.2435Colum ns 23 through 334.7958