高中数学论文：以问题为载体呈现“转化与化归”思想和方法

1、以问题为载体呈现“转化与化归”思想和方法 【摘 要】 本文论述了数学问题中蕴涵的“转化与化归”的思想方法，指出了数学思想方法的呈现必须以问题为载体。【关键词】 数学 思想 方法 问题 转化 化归 函数 伟大的数学家笛卡儿曾经设计了一种万能方法，希望用它来解答各种类型的问题，它的大概模式是:第一，把任何问题化为数学问题；第二，把任何数学问题化为一个代数问题；第三，把任何代数问题归结到去解一个方程式。虽然这个想法无法变成现实，但是这种思想在数学解题过程中还是有极高的指导意义，高中数学中的“转化与化归”思想方法就是它的体现。数学的思想方法是数学的精髓，它是解决数学问题的导航灯。数学思想方法源于数学问

2、题，又反作用于数学问题的解决，可以说数学思想方法的生命力是蕴涵在一个个数学问题的解决过程中的。转化与化归思想是高中数学最重要的思想之一，它的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，数学问题的解决基本上是通过转化为已知或已解决问题实现的。从这个意义上讲，一个数学问题的解答过程就是一个从未知向已知转化的过程。所谓“转化与化归”思想是指把待解决或未解决的数学问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。转化有等价转化与不等价转化，等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。在

3、运用“转化与化归”思想的过程中， 我们对原来的问题中的条件进行了简化、分化、转化、特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的熟知的问题而得到解决。因此，我们转化的方向应该是由未知到已知，由复杂到简单，由难到易，由繁到简。数学思想的作用是指导数学问题的探索和解答，数学方法则是数学思想应用的具体体现。 “转化与化归”作为高中阶段最重要的数学思想之一，在高考中占有相当重要的地位，常见的类型有正与反、一般与特殊的转化，即正难则反。常量与变量的转化，即处理多元问题时，选取其中的常量（或参数）当“主元”，其它的变量看作常量。数与形的转化，即利用数量关系来研究集合性质，或利用直观图形提供思路，直接反映函数或方程

4、中的变量之间的关系。数学各分支之间的转化。相等与不等之间的转化。我们在研究、解决数学问题思维受阻时或寻求简单方法时一种常用的思维是将原问题从一种状况转化到另一种情境，从而使问题得以解决，在运用转化思维解答问题时要有的放矢，遵循一定的原则，常见原则有熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则等，具体的转化方法有直接转化法、数形结合法、坐标法、等价问题法、构造法、参数法、换元法、补集法等。杜甫有诗云:“好雨知时节，当春乃发生，随风潜入夜，润物细无声。”数学思想就如同春夜细雨，问题则是它所滋润的土壤。数学思想的作用是无声的，蕴涵于一个个具体的数学问题的解答过程中，要寻找它的踪迹，也必须先深入到

5、数学问题中。现在让我们在一些具体的问题中去体会“转化化归”的思想方法。（一）在函数与不等式问题中的应用。函数与不等式的内容在每年的高考中几乎占去了三分之二，函数与不等式问题的内容丰富多变，解法灵活多样，是高考考查的重点也是难点。函数的三要素中定义域和值域都与不等式紧密相连，很多函数问题与不等式问题是相互交错的，一些特定的函数问题和不等式问题直接求解相对比较困难，可运用转化的方式进行等价求解。如解分段函数的“最值”问题或求方程解的个数问题。下面我们来看两个例题:例1、任给，定义为三个数中最小的数，那么的最大值是多少？例2、求的解的个数。例1这类问题分类讨论比较麻烦，为了简化求解过程，我们可以借助

6、图形语言，在同一坐标系下作出函数的图像，结果就一目了然了。而例2这种类型的问题，在目前高中数学知识的基础上要求出方程的根几乎是不可能的，但是只需要将原问题转化为求函数与的图像的交点个数就很容易处理了。事实上，函数和它的图像有一一对应关系，函数与函数的关系可以在图像中得到最直观的体现，将需要讨论或难以处理的数量关系直接用图形来表示，易于观察、理解，所运用的是“转化与化归”思想中“数形结合法”，体现了它的“直观化原则”。而在求函数中的参数范围如“已知，且在2，+为增函数，求的取值范围”这种类型的问题中，往往含有几个变量，这些变量常常有一个变量处于主要地位，我们这个变量称之为主元，由于思维定势的影响

7、，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视为主元以为参数来讨论、处理，既繁且容易出错，若我们将视为主元，将原问题变成关于的函数问题，这样就使问题实现了从高维向低维转化，降低了解题难度，简化了解题过程，简单易行。又如“证明不等式，其中”这种问题，如果按照常规的思维用不等式的证明方法如比较法分析法等很难下手，但是转换一个角度，将它视作要证明函数的值恒大于0， 只需要利用导数考查函数的单调性，求最小值，问题就很解决了。证明一个数学命题，实际上是由假设经过推理以得出结

8、论，当直接处理不容易时，往往我们会先考虑它的等价命题或者辅助命题，去寻求解题的思路。原命题的等价命题或辅助命题的证明必须是我们所熟悉的知识和方法。这种运用等价问题法和构造函数法在解答一些直接处理很难下手的函数或不等式问题时非常有用，体现了“转化与化归”思想的熟悉化原则和简单化原则。从新课改的课程内容设计来看， 作为数学的基础性内容，函数、不等式和方程仍然是比重最大的一块，这三者的关系密不可分，三者之间问题的相互转化也是其问题设计的一个重要指导思想，“转化与化归”的思想方法有着大量的运用和体现。（二）在平面与空间几何问题中的应用。新课程标准在几何部分有较大的修改和变动，删去了三垂线定理及其逆定理

9、等，而且平行关系和垂直关系的判定和性质定理的证明都只给出一个。新课程下的立体几何课程定位于培养和发展学生把握图形的能力、空间想象与几何直觉的能力、逻辑思维能力，并突出直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等探索研究几何的过程。这让习惯了借助三垂线定理及其逆定理处理空间角和距离问题的数学老师很不适应，在这种情形下，利用向量的工具性将空间图形的位置关系问题转化成代数计算问题将是最好的方法。利用向量可以证明空间图形的平行与垂直关系，可以求空间角和距离，而且所运用的公式简单易懂，容易掌握。下面的这个例题是比较常见也是常考的一个类型。例3、已知在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac=90，d、e、f

10、分别是棱ab、bc、cp的中点，ab=2，ac=1，pa=2。求直线pa与平面def所成的角的大小；求点p到平面def的距离。这个问题的解答只需要建立空间直角坐标系，利用“法向量”再借助相应的公式就解决了。高中数学“法向量”的引入和运用对高中立体几何的解题起到了一种革命性的作用，抛弃了传统方法中繁复的添加辅助线的过程，将几何问题直接代数化。事实上，早在17世纪，著名的数学家莱布尼兹就提出了利用计算来证明几何命题的观点，并进行了研究；随着计算机技术的发展与运用，到了1950年，波兰的数学家塔斯基则提出了“一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定”的观点；再到1959年，我国的数学家王浩喊出了

11、“走向数学的机械化”的口号；1970年后，我国著名的数学家吴文俊在这一方面更是做出了突出贡献，他将任何几何命题的条件视为假设方程，将结论视为终结方程(多项式)，满足定理假设的几何图像，将相当于假设方程组的一个解答或零点，只要证明假设方程的零点也使终结多项式为0就可以证明相应的数学命题。按照他设计的模式，在计算机上只用了9分钟就证明了几百个几何命题。时代和科技的发展带来了方法的变革，而引领和指导着这种变革的却是最基本的一个数学思想转化与化归。在高中数学的几何问题中运用转化的思想，利用坐标法、直接转化法可以将求直线与平面所成的角转化为求直线与该平面的一个法向量所成的角，将求点到平面的距离转化为求斜

12、线段在平面的法向量方向射影的绝对值，方法简单易操作，符合“转化与化归”思想的简单化、熟悉化原则。向量作为几何问题代数化的一个有力工具，在课程改革中逐渐体现出它的优越性。事实上，在求空间中直线与直线、平面与平面所成的角，直线与平面、平面与平面的距离，在证明或判定空间的平行关系和垂直关系时都可以用向量的方法加以解决，既可以降低难度，有利于学生掌握，又符合时代发展的要求。（三）在数列问题中的应用。数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对数列的知识考查比较全面，其中数列与其它知识的整合是重点考查的内容，尤其是对递推数列的考察往往难度较大。解数列问题往往是以等差和等比数列为基础，通过转化

13、将一个不具备等差或等比数列特征的数列转化为等差、等比数列问题求解。如下例:例4、已知数列满足：，且，求数列的通项公式。数列问题研究的是一列数之间的代数关系，这种关系大多是隐性的，这种隐性的关系往往难以直接找到，需要对问题予以转化才能求解。解答例4中的问题，需要先构造一个与相关的等比数列，先求出该等比数列的通项公式，才能求出数列的通项公式。一些常见的求递推数列通项公式的方法如叠加法、累乘法、待定系数法特征根法等都是运用转化的思想将一个不具备等差或等比数列性质的数列通项问题转化为求等差或等比数列的通项问题加以解决。（四）在概率与数理统计问题中的应用。概率与数理统计是新课改的一个亮点，也是一个重点，

14、虽然2007浙江的高考没有考查应用题，但是作为一个和生活实际紧密相连的内容，它还是一个考查的重点内容。概率与数理统计问题解题思维灵活，切入点多，对思维的条理性、严密性、深刻性等都有较高的要求，解题过程中比较容易犯“重复”或“遗漏”错误。概率与数理统计的有些问题正面考虑很困难，可以运用补集法加以解决。所谓补集法是指如果正面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合a，而把包含该问题的整体问题的结果看作全集u，通过解决全集u及补集获得原问题的解决。我们来看一个简单的例题:例5、在某次测试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别为，求至少有一个人及格的概率。本题解题比较简单，只需要用1减去三个人都

15、不及格的概率即可。“补集法”解题蕴含着“对立统一”的思想，在解许多直接考虑非常复杂的排列、组合或概率问题中非常有用。（五）在曲线与方程问题中的应用。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是每年高考的必考内容，圆锥曲线除了对基本性质的考查，每年都会有一道综合应用题，常以定值问题、最值问题、范围问题等面貌呈现，属于知识的交汇点，常常需要运用参数法或者换元法对原问题加以转化。我们来看下面的例题:例6、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点p（0，）到这个椭圆上的点最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点到点p的距离等于的点的坐标。本题在求椭圆上的点到点p的距离时，直接使用变量，很难寻到

16、出路，但是若利用椭圆的参数方程进行三角换元，就可以转化成一个三角函数值的范围问题。这种解法颇有些 “山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的味道。换元法作为化归转化方法中的核心方法，在运用过程中又衍生出整体换元法、平均数换元法、比值换元法、三角代换法、不等量换元法、根式换元法、倒数换元法、相反数换元法、坐标换元法等具体的方法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的应用。数学思想的生命力是植根于数学问题的，离开了问题去寻找数学思想无异是缘木求鱼。花儿离开了水分将不再鲜