计数问题与数列

1、计数问题与数列 丹阳市教育局教研室王先进 计数问题：即满足一定条件的某种对象有多少个的问题。 两个基本原理：分类计数原理（加法原理） 分步计数原理（乘法原理） 基本思想方法：分类讨论与归纳推理 常用方法：分类枚举，分步相乘，递推与归纳、猜想，利用整数的性质与不等式逼夹等 （列方程，不等式，用集合的基数公式等不在本讲范围） 备用知识：等差数列的通项公式，前n项和公式，n个元素任取2个的计数方法。 例题与习题： 一.用两个基本原理 确定好标准，分类枚举 分类枚举，严密周到，不漏不重 先分类，再寻找规律 先分类，再分步，综合考虑 1右图中有个正三角形。 2如图，不含阴影部分的距形个数是（） A) 1

2、4 B )24 C ) 32 D ) 44 3已知三角形的三边 a,b, c都是整数，且a空b :： c，若b = 7，则这样的三角形有（） A） 21 个 B）28 个 C） 49 个D） 14 个 4平面上给定等腰三角形 ABC，其中AB=AC，在平面上存在点 M，使得 ABMD ACM都是等腰三 角形，则这样的点 M有几个（） A） 3个 B）4个C） 6个D ）无数多个 5将一个表面涂有颜色的正方体锯成27个大小相同的小正方体，其中恰有一个面涂有颜色的小正方 体的个数记为卩1 ；恰有两个面涂有颜色的小正方体的个数记为卩2 ；恰有三个面涂有颜色的小正方 体的个数记为P3则一定有关系式（）

3、 A） P1 P2 - P3 =2B）P1 P3 - P2 =2 C） P3 P2 一 P1 =2 D ） P1 P3 =2P2 6已知三角形的三边长分别是 6、10、x，如果这个三角形既不是直角三角形，也不是等腰三角形, 且它的周长为偶数，则适合条件的三角形有()个。 A)5 B)4C)3D)2 7在正方形ABCD所在的平面上，直线 只取2个值，其中的一个值是另一个值的 A) 4B) 8C) I的距离 I满足下列条件：正方形 ABCD的四个顶点到直线 3倍。则这样的直线条数是() 12D)16 8从1到100的自然数中，每次取出 2个不同的数相加, 若它们的和小于100，则共有多少种不同的取

4、法？ 若它们的和等于100，则共有多少种不同的取法？ 若它们的和大于100，则共有多少种不同的取法？ 9要在如图的田字形的四块区域内种植四种不同 的植物，四种植物不一定全种，但相邻的区域 不能种植相同的植物，则共有 种不同的种法。 10非等腰三角形 ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点(不含顶点)。在三角形ABC所在的平 面上存在点F,使三角形DEF与三角形ABC相似，则点F有() A)3个B) 6个C) 9个 D)非上述答案 11 一付去掉正、负王的扑克牌有 52张，其中有黑、红、梅、方四种花色，每种花色又有13张牌, 其中的A在排序时既可以作数码 1,也可以作数码14。现从一付牌中取出

5、 3张，那么这三张牌恰 好是同一数码的有 种可能；这三张牌恰好是同一种花色，且数码刚好是三个连续自然 数的有种可能。 12过等腰三角形 ABC的顶点引直线与对边的延长线交于D点，若图中的三个三角形都是等腰三角 形，且等腰三角形 ABC的底边长为定值，则这样的三角形ABC有个。 13有若干个乒乓球代表队，不同的代表队的队员之间都进行了一场比赛，同一个代表队的队员之间都 不比赛，赛场统计员统计结果：这次比赛共有10名队员，共进行了 27场比赛。问：共有几个代 表队？每个代表队各有几名队员？ 14仪表板上有四个开关，如果相邻的两个不能同时是关的，那么所有不同的状态有() A)4 种 B)6 种 C)

6、8 种 D)12 种 二利用归纳、猜想与推理 从最简单的情形入手，先做二、三步(归纳)，发现规律，得出猜想，或者得出递推关系，最后利 用猜想或递推关系解题。 15跳格游戏：如图，人从格外只能进入第1格，在格中， 每次可向前跳1格或2格，那么，人从格外跳到第 6 格可以有种方法 16从A处到B处只能从左到右或从上到下， 一人从A处到B处有种不同的走法。 17如图，从A到B （往东，北或东北三种方向）有 条不同路径（阴影部分不能进入）（p240） 18如图，0是某公园大门，园内有 9个景点AiA； , A9 0 景点间的道路如图所示，游客只能按图上所示箭头方向从一 个景点到达另一个景点。 游客进入

7、公园大门后，可按上述行进要求游览其中部分或 全部景点。一旦返回大门 0处，旅游即告结束（每个景点只能 去一次）那么，不同的游览线路有 条。 19自然数列按右图规律排列，则数字 2006到2008的排列模式是（） 20已知an 1 n ,(n =1,2,3,), 若a1 =1，则 a1 a2 a2a320 0312 0 0 牙 21把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来三分之一的小等边三角形，称为一次 “生长”，在得到的多边形上类似 “生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数为 面积是原来的倍。 22平面上n条直线两两相交，且没有三线公点，这些直线可以将平面分成 个区域。 23

8、两个不同的圆和三条不同的直线相交，则最多的交点数是（ A) 12B) 15 C)17 20 丄 1 JJ 23 11_1 4，5，6 10 1 那么一蕊是上面这个数表的行，从左往右数第 个数。 24 将 1 , - 1,丄，-丄,1,按规律排成下表: 2 34 5 第1行 第2行 第3行 第4行 25有以下两个数列： (1):1 , 3, 5, 7, 92001 (2): 1, 4, 7, 10,2002 则同时出现在这两个数列中的数的个数是 。 26 一列数71,72,77 2002，其中末位数是3的有个。 27 若 a3二 5, as二 8,并且对所有正整数n，有an an 1 an2 =

9、 7，则a202 二 1 28有这样一列数，它们都在0与1之间，且有以下规律：若一个数小于一，则其后面一个数是它 2 1 13 的2倍；若一个数不小于 一，则其后面一个数比它的 2倍小1。若第一个数是 一，那么第2002个 2 28 数是 29从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的平方差的数从小到大排成一列，则这列数的第2002 个数是 三.利用整数的性质和不等式逼夹 从方程的观点看，要求几个未知量需列几个方程，但有些计数问题可列的方程远远少于未知量的个数。 这时，我们需要充分挖掘题目的隐含条件，列出相关的不等式作为辅助式，并利用不等式的有关性质 进行放缩，对某些量进行逼近，然后用整数的性质

10、“夹”出这些量。 30当a取遍0到5的所有整数时，3b = a(3a - 8)的整数b的个数是 31国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分.今有8名选手进行单循环比赛，(每 2人赛一局),赛完后发现各选手的得分钧不相同 ，当按得分由大到小排好名次后 ，第四名选手得4.5分, 第二名选手的得分等于最后四名选手得分的总和问:前三名的选手的各得多少分 ？说明理由 32已知由小到大的10个正整数aa2,a3的和是2000，那么的最大值是_ ，这时a10的值应是。 33 2001年某月某日午夜，某校师生收看在莫斯科即将产生的2008年夏季奥林匹克运动会主办城市的电 视现场直播，结果北京获得主办权。欣喜之余，他们发现：在场的师生人数恰是该天的号数，男生数就 是该月数，且师、生、月、日数皆为质数，师生中男生最多，教师最少。经计算，学生数、教师数、日 数的和与教师数的差恰是 2008年奥运会的届数，又知该届数不大于30。试问： 北京获得2008奥运会主办权是几月几日？ 2008年奥运会是第几年？ 34 一个书架有5层，从上到下依此称为第1层、第2层、第5层。今把15册图书分放到书架的各层 上，有些层可以不放。证明：无论怎样放法，书架每层上的图书册数，以及相邻两层上图书册数之和， 这些数中至少有两个是相等的少有两个是相等的