线性代数复习要点同济五版

1、学习好资料欢迎下载 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 A可逆 r（A） = n A的列（行）向量线性无关 A的特征值全不为0 Ax = o只有零解二 Wx式o, Ax丰。 内=0=仃PR n,Ax = B总有唯一解 ata是正定矩阵 A三E A=P2Ps Pi是初等阵 存在n阶矩阵B,使得AB二E或AB二E 注：全体n维实向量构成的集合 Rn叫做n维向量空间 A不可逆 r（A） n A =0= A的列（行）向量线性相关 0是A的特征值 Ax二二有非零解,其基础解系即为A关于=0的特征向量 r(aE bA) : n 注 aE +bA (aE +bA)x = o有非零解

2、向量组等价 矩阵等价（兰）_具有 矩阵相似（厂 反身性、对称性、传递性 矩阵合同（L）, V 关于 e,e2,en: 称为Ln的标准基，L n中的自然基，单位坐标向量p教材87 ； e ,e2,e线性无关; ec,e =1 ； trE= n ； ai1 a21 * a12 II a22 II 14n 1 a2n 行列式的定义 6 = =瓦（_1）皿%忌2映可 r * jjlHjn an1 an2H 1ann 任意一个n维向量都可以用 e,2,en线性表示 学习好资料欢迎下载 i i i 行列式的计算: 行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和

3、推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 若A与B都是方阵（不必同阶），则 O （拉普拉斯展开式） = (-i)mn A B *ain O ain 关于副对角线： a2n = a2n * aniO ani O 上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积 同列的n个元素的乘积的代数和） n(n 1) = （-i）Faina2n|l|ani （即:所有取自不同行不 范德蒙德行列式: 矩阵的定义 伴随矩阵A Xi 2 Xi X2 2 X2 III III III Xn 2 Xn n -1 Xi n i X2 III n Xn aii ai2 由m n

4、个数排成的 m行n列的表a =. a2i a22 am2 AI2 A2i A22 III III Ani An2 A2n III Ann ./ V逆矩阵的求法： A a=a 注: （A：E）初等行变换（EAJ） ai i ai a2 a3 a2 III III Ill ain a2n amn 称为m n矩阵.记作：Am.ajj皿“或Am n ,Aj为A中各个元素的代数余子式 ad be J -c -b主换位 a副Hl变号 ai a3 a2 a2 a3 学习好资料欢迎下载 V方阵的幕的性质：AmAn =Am “(Am)n =(A)mn V设Am n，Bn s，A的列向量为 冷，2 ,，n , B

5、的列向量为 bi 则 AB 二Cms b21 吕(,C(2,2n)* bi2HI b22 -ci,c2I , cs= (i = 1,2，H I, s) ：=: i 为 02 山bns y Ax 的解二 A，严屮+，A。,A 7=：宀22，川鸟 =GSl山可由r,八n线性表 示即：C的列向量能由 A的列向量线性表示，B为系数矩阵 同理：C的行向量能由 B的行向量线性表示, AT为系数矩阵 即: aii a21 lan1 ai2 a22 an2 III III III ainYPi) a2n Bn丿 aii中耳2駡中川+耳2 = C a2i 附 + 比2 2 +| I i + a2n 卩2 = C

6、2 | III III III am/：i - am2 -1 - amnJ =C V用对角矩阵 上直乘一个矩阵，相当于用上的对角线上的各元素依次乘此矩阵的 行向量; 用对角矩阵 上右乘一个矩阵，相当于用上的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘 V分块矩阵的转置矩阵: 广AB、 ,zatct 9 D bt dt fA、 4 A / A、 J 、B B J A， ) / -冷 4 / A_4 - 4、 -、二 f- 4_、 A C AA CB A O A O Q B OB J C B, -BCA B 分块矩阵的逆矩阵: 分块对角阵相乘: 分块对

7、角阵的伴随矩阵: B Bii A22 .丿 * A B fl - AB AiBii A22B22 丿 A；i IA22 丿 X / / A 1 B =1 J I * B A 丿 B A n m 1 - * A B mn 矩阵方程的解法(A =0):设法化成(I) AX二B 或 (II) XA二B (I)的解法：构造(AE)初等行变换(EX) (II)的解法：将等式两边转置化为atxt二bt, 用(I)的方法求出XT，再转置得X 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关(向量个数变动) 原向量组无

8、关，接长向量组无关；接长向量组相关，原向量组相关(向量维数变动) 两个向量线性相关二对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关P教材114 向量组:-2, ： n中任一向量:-i (1 2,，n线性无关r(A) = n. 若：1/2,n线性无关，而1,2,n线性相关，则可由1,2,n线性表示，且表示法唯一 矩阵的行向量组的秩二列向量组的秩二矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 行阶梯形矩阵|可画出一条阶梯线，线的下方全为0 ；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后 面的第一个元素非零当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵

9、? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对A施行一次初等变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 左乘A ； 对A施行一次初等 砂变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 直乘A. A的秩为r 记作r(A) = r 矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r+1阶子式均为零，则称矩阵 向量组的秩 向量组G 1，2卄，的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为 B 记作：A带B 向量组等价I码耳，和01

10、，02，氏可以相互线性表示记作：仔几叫洽 二A在矩阵乘法中有左消去律! AB=。二B = O AB = ACn B=C 若 r(Bn s)二 n = r(AB)二 r(B) B在矩阵乘法中有右消去律 r(A 一 B) r(A) r(B) max 1r(A),r(B)?2, 3线性无关, 二 1 3 =：3 (5 T 1 (31)：”(-3, -2) 3, (-1, -1)1 ( -2, -2) 单位化：二1 - 单位化：1 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方 1、 程，确定其自由变量. 例如：X1 +X2 X3 =0 取卩1 =

11、 1 ，卩2 = 1 、 正定二次型X1,X2，川,Xn不全为零，f（X1, X2，川，Xn） = 0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵 V f（x）=xTAx为正定二次型二（之一成立）： - x -? ， X Ax 0 ； A的特征值全大于0; f的正惯性指数为n ； A的所有顺序主子式全大于 0 ； A与E合同，即存在可逆矩阵 C使得CTAC = E ； 存在可逆矩阵P，使得A = PT P ； 存在正交矩阵C，使得CtAC=CAC=S *（人大于0） * n丿 V合同变换不改变二次型的正定性 . V A为正定矩阵aii 0 ； A 0. V A为正定矩阵二AT,A；AM也是正定矩阵 V

12、A与B合同，若A为正定矩阵=B为正定矩阵 V代B为正定矩阵= A B为正定矩阵，但 AB, BA不一定为正定矩阵 行列式中出现的公式和要熟记的结论 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： 、Aij和aij的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij =（-1） ijAijA = （-1）ijMij 4. 设n行列式D : n （n 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D =（-1） D ； n

13、（n 将D顺时针或逆时针旋转 90，所得行列式为 D2，则D2 =（-1） D ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 = D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为 学习好资料 D4，贝y D4 = D ; 欢迎下载 5. 、 副对角行列式：畐U对角元素的乘积 上、下三角行列式(、I I i ) 匚和丄：副对角元素的乘积 n (n 丄) (-1)计; :主对角元素的乘积; n( n V) (-iL; 行列式的重要公式： 主对角行列式：主对角元素的乘积; 拉普拉斯展开式: 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值； n 6.对于n阶行列式A,恒有：、E - A ：、(-1

14、)k Skn，其中氏为k阶主子式; k 4 7. 证明A =0的方法： 、A A ; 、反证法； 、构造齐次方程组 Ax =0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A) n ; 、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： A -0 (是非奇异矩阵)； :二r(A) =n (是满秩矩阵) 二A的行(列)向量组线性无关； =齐次方程组Ax二0有非零解； = b Rn , Ax =b总有唯一解； =A与E等价； 二A可表示成若干个初等矩阵的乘积； u A的特征值全不为0; 二AtA是正定矩阵； 二A的行(列)向量组是 Rn的一组基； =A是Rn中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵

15、A : AA = A* A = A E无条件恒成立； 3. (A节-(A*)丄(A)T=(At )(A*)T=(At)* TTT* (AB)二B A(AB)=B A(AB)二B A 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B可逆： 学习好资料欢迎下载 n、 、 、 、 、 ，则: A 二 AA2II|As| ； 1 A_ O B丄 ;（主对角分块） ；（副对角分块） ；（拉普拉斯） A丄 -B丄CA丄 ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

16、f |Er 0； V0 0 .烏 等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A、B，若r（A） = r（B） ：= AL B ； 2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1 ； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0; 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） r 若（A, E）（E , X），则A可逆，且 X =A丄； c 、对矩阵（A, B）做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A丄B，即：（A, B） -（E, AB）； r 、求解线形方程组：对于 n个未知数n个

17、方程Ax =b，如果（A,b（ E, x），则A可逆，且x = A丄b ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、人=$，左乘矩阵A ,入乘A的各行元素；右乘，人乘A的各列元素； f 1 丫 f 1 、对调两行或两列，符号E（i, j），且E（i, j） = E（i, j），例如： 1 1 = 1 ； 1丿 I1丿 学习好资料欢迎下载 1 1 1 5. 6. 7. 8. 、倍乘某行或某列，符号 、倍加某行或某列，符号 矩阵秩的基本性质: 、 、 、 、 、 n、 E(i(k)，且 E(i(k)- = E(i E(i

18、j(k),且 E(ij(k)宀E (ij(-k)，如: 1、 丄( k b ，例如: 1 k 1k、 r f 1 = 0 _r(Am n) _min(m,n) r(At ) =r(A)； 若 A|_B，则 r (A)二 r (B)； 若P、Q可逆，则r(A) =r(PA) =r(AQ) =r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) max( r (A), r (B) r (A, B ) r (A) - r (B);(探) r (A B ) r (A) r (B);(探) r (AB)乞 m in( r (A), r (B);(探) 如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB二0, 9:(探) B

19、的列向量全部是齐次方程组AX =0解(转置运算后的结论)； r (A) r (B) nC；j ； 关于 、 、 A矩阵秩的描述： r(A) =n , A中有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为 r(A) n , A中有n阶子式全部为0; 0;(两句话) 欢迎下载 学习好资料 、r（A） _n , A中有n阶子式不为0; 9. 线性方程组：Ax二b，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax二b为n元方程; 10. 线性方程组 Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程

20、组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程: an人-a12X2amXn =b 、 a21 x a 22 X2 山 a 2 nXn =b2 . ； am1X1 am2X2 山 VnmXn =bh 1. 、 12 a22 X2 b2 1 人禺 1 0 J 川a1n I I a2n 二Ax=b （向量方程，A为mxn矩阵，m个方程, 、(a a? |) an ) X1、 X 2 =0 （全部按列分块，其中 b、 鸟） am 1 、 山amn am 2 a1x1 a 2 X 2PnXn 二：（线性表出） 有解的充要条件：r（A）二r（A, ） n

21、 （ n为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 m个n维列向量所组成的向量组A : ：-1-2|, : m构成n m矩阵A二（冷，2,川，:m）； n个未知数） m个n维行向量所组成的向量组B :靑，舟,川，盅构成mxn矩阵B=. 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应; 2. 、向量组的线性相关、无关二Ax二0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出Ax=b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示=AX=B是否有解；（矩阵方程） 01 例 14) 3. 矩阵Am n与Bl n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解；（ 4. r （A

22、tA） =r（ A） ； （ P101 例 15） 5. n维向量线性相关的几何意义： 、 :-线性相关 =:=0 ； 、 :，线性相关 u，-坐标成比例或共线（平仃）； 、 :，线性相关 =:,-，共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若?1, ?2，: $线性相关，则 冷，2，川， s，:S1必线性相关； 若：1，2，1|， s线性无关，则 冷，2川I，s 4必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 学习好资料欢迎下载 若r维向量组A的每个向量上添上 n r个分量，构成n维向量组B : 若A线性无关，则B也线性无关；反之若

23、 B线性相关，则 A也线性相关；(向量组的维数加加减减) 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 向量组A (个数为r )能由向量组B (个数为s )线性表示，且 A线性无关，则r乞s(二版P74定理7)； 向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)岂r(B) ； ( P86定理3) 向量组A能由向量组B线性表示 =AX二B有解； r (A)二r (A, B)( P$5 定理 2) 向量组A能由向量组B等价二r(A)工r(B)工r(A, B)( 充分性：反证法) 注：当r二s时，K为方阵，可当作定理使用； 、对矩阵Amn，存在Qn m，AQ=Em=r (A)=m、Q的列向量线性无关；(P87 ) 、对矩阵Amn，存在Rm , PA=En=r( A)F、P的行向量线性无关； ：1, ：2- s线性相关 存在一组不全为0的数ck2H,ks，使得人冷k2： 2 Hl ks： s= 0成立；(定义) 二(口 ,8 ,|),