圆周运动典型例题与答案详解

1、匀速圆周运动”的典型例题 【例 1】如图所示的传动装置中， A、B 两轮同轴转动 A 、B、C 三轮的半径大 小的关系是 RA=RC=2R B当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线 速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？ 【例 2 】一圆盘可绕一通过圆盘中心 O 且垂直于盘面的竖直轴转动在圆盘上 放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么 A木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心 B 木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心 C因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的 运动方向相同 D 因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以

2、木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木 块的运动方向相反 E因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力 【例 3 】在一个水平转台上放有 A、B 、C 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数 相同A 的质量为 2m，B、C 各为 mA、B 离转轴均为 r，C 为 2r则 A若 A、B 、C三物体随转台一起转动未发生滑动， A、C 的向心加速度比 B 大 B若 A、B、C 三物体随转台一起转动未发生滑动， B 所受的静摩擦力最小 C 当转台转速增加时， C 最先发生滑动 D 当转台转速继续增加时， A 比 B 先滑动 【例 4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉 A、B ，相距 L0=0.1m 长 L=

3、1m 的柔软细线一端拴在 A 上，另一端拴住一个质量为 500g 的小球小球的初始位 置在 AB 连线上 A 的一侧把细线拉直，给小球以 2m s 的垂直细线方向的水 平速度，使它做圆周运动由于钉子 B 的存在，使细线逐步缠在 A、B 上 若细线能承受的最大张力 Tm=7N ，则从开始运动到细线断裂历时多长？ 【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性通过对运动规律的研究，用递推法 则写出解答结果的通式(一般表达式)有很重要的意义对本题，还应该熟练掌 握数列求和方法 如果题中的细线始终不会断裂， 有兴趣的同学还可计算一下， 从小球开始运动到 细线完全绕在 A、 B 两钉子上，共需多少时间？ 【例5

4、】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为 L的细线悬挂一质量为 m 的小球， 圆锥顶角为 2 ，当圆锥和球一起以角速度 匀速转动时，球压紧锥面此时绳 的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？ 【说明】 本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标 原点，建立 xoy 直角坐标，然后沿 x 轴和 y 轴两个方向，列出牛顿第二定律的 方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可 【例 6 】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子， 演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下， 如下 图所示，这是为什么？

5、 【例 7】如下图所示，自行车和人的总质量为 M ，在一水平地面运动若自行车 以速度 v 转过半径为 R 的弯道（ 1 ）求自行车的倾角应多大？（ 2 ）自行车所 受的地面的摩擦力多大？ 【例 8】用长 L1 =4m 和长为 L2=3m 的两根细线，拴一质量 m=2kg 的小球 A， L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的 O1，O2处，已知 O1O2=5m 如下图（g 10m s-2 ） （ 1 ）当竖直杆以的角速度 匀速转动时， O2A 线刚好伸直且不受拉力求此时 角速度 1 （ 2 ）当 O1 A 线所受力为 100N 时，求此时的角速度 2 说明】 向心力是一种效果力，在本题中 O2A

6、 受力与否决定于物体 A 做圆周运 动时角速度的临界值在这种题目中找好临界值是关键 例 9 一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有 一台发出细光束的激光器装在小转台 M 上，到轨道的距离 MN 为 d=10m ，如 图所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为 T=60s ， 光束转动方向如图箭头所示。当光束与 MN 的夹角为 45 时，光束正好射到小 车上，如果再经过 t=2.5s 光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果 保留二位数字） 例 10 图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R 的薄壁圆筒（图为其横截面），转轴

7、的转速是每分钟 n 转，一颗子弹沿圆筒的 水平直径由 A 点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从 B 点穿出，假设子弹穿壁 时速度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出 A、B 两点间的孤长为 L， 写出子弹速度的表达式 说明 解题过程中，物理过程示意图， 是常用的方法， 它可以使抽象的物理过程具体形 象化，便于从图中找出各物理量之间关系， 以帮助建立物理方程， 最后求出答案 典型例题答案 【例 1】【分析】 皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮 带移动的距离相等， 也就是说， 用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相 等根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可

8、得解 【解】由于皮带不打滑， 因此，B 、C 两轮边缘线速度大小相等， 设 vB=vC=v由 v= R 得两轮角速度大小的关系 BC =RC RB=2 1 因 A、B 两轮同轴转动，角速度相等，即 A=B，所以 A、B、C 三轮角速度之 比 ABC =2 2 1 因 A 轮边缘的线速度 vA=ARA=2BRB=2v B， 所以 A、B 、 C 三轮边缘线速度之比 vAvB vC=211 根据向心加速度公式 a= 2R，所以 A、B、C 三轮边缘向心加速度之比 =842=4 21 例 2】【分析】 由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径 指向圆心的向心加速度，因此， 它必然会受到

9、一个沿半径指向中心、 产生向心加 速度的力向心力 以木块为研究对象进行受力分析： 在竖直方向受到重力和盘面的支持力， 它处于 力平衡状态在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力）， 木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动 所以，这个摩 擦力的方向必沿半径指向中心 【答】B 【说明】 常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反， 木块随圆盘一起匀速转动时， 时时有沿切线方向飞出的趋势， 因此静摩擦力的方 向应与木块的这种运动趋势方向相反， 似乎应该选 D 这是一种极普遍的错误认 识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系 通常说做圆运动的物体有沿

10、线 速度方向飞出的趋势， 是指以地球为参照系而言的 而静摩擦力的方向总是跟相 对运动趋势的方向相反， 应该是指相互接触的两个相关物体来说的， 即是对盘面 参照系也就是说， 对站在盘上跟盘一起转动的观察者， 木块时刻有沿半径向外 滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心 【例 3】【分析】 A、 B 、 C 三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于 转台的角速度，设为 根据向心加速度的公式 a n=2r ，已知 rA=r BrC，所以 三物体向心加速度的大小关系为 aA=a BrA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体 C 最先发生滑动转速继 续增加时，物体 A、B 将同

11、时发生滑动 C正确，D 错 【答】 B 、 C 【例 4 】【分析】 小球转动时，由于细线逐步绕在 A、B 两钉上，小球的转动半 径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变 解】 小球交替地绕 A、B 作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减 小，线中张力 T 不断增大，每转半圈的时间 t 不断减小 令 Tn =T m =7N ，得 n=8 ，所以经历的时间为 【例 5】【分析】 小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持 力两者的合力提供向心力， 在竖直方向则合外力为零。 由此根据牛顿第二定律列 方程，即可求得解答。 阿斯 解】 对小球进行受力分析如图 (b)所示，根据牛

12、顿第二定律，向心方向上有 Tsin -N cos =m 2 r y 方向上应有 Nsin +T cos -G=0 r = L sin 由、式可得 T = mgcos +m 2 Lsin 当小球刚好离开锥面时 N=0 （临界条件） 则有 Tsin =m 2r Tcos -G=0 【例 6 】【分析】 水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。 当水杯在最低点时， 水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供， 当水杯在最高 点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。 只要做圆周运动的 速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。 【解】 以杯中之水为研究对象，

13、进行受力分析，根据牛顿第二定律 【例 7】【分析】 骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜从图中可知，当骑 车人拐弯而使身体偏离竖直方向 角时，从而使静摩擦力 f与地面支持力 N 的 合力 Q 通过共同的质心 O ，合力 Q 与重力的合力 F 是维持自行车作匀速圆周运 动所需要的向心力 【解】 （1）由图可知，向心力 F=Mgtg ，由牛顿第二定律有： （2）由图可知，向心力 F可看做合力 Q在水平方向的分力，而 Q 又是水平方 向的静摩擦力 f 和支持力 N 的合力，所以静摩擦力 f 在数值上就等于向心力 F， 即 f = Mgtg 【例 8】【分析】 小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉

14、力提供，当小球 的运动速度不同时，所受拉力就不同。 【解】 （1）当 O2A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。 则 F1cos =mg F1sin =mR 12 由几何知识知 R=2.4m =37 代入式1=1.77 （rad/s ） （2）当 O1A 受力为 100N 时，由（ 1）式 F1cos =100 0.8=80 （N） mg 由此知 O2A 受拉力 F2 。则对 A 受力分析得 F1cos-F2sin -mg=0 F1sin+F2cos= mR22 由式（ 4）（5）得 时间内转过 【例 9】分析 激光器扫描一周的时间 T=60s ，那么光束在 t=2.5s 的角度 激光束在竖直平

15、面内的匀速转动， 但在水平方向上光点的扫描速度是变化的， 这 个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。 当小车正向 N 点接近时，在 t 内光束与 MN 的夹角由 45 变为 30 随着 减小，v 扫在减小若 45 时，光照在小车上，此时 v 扫v 车时，此后光点 将照到车前但 v 扫v 车不变，当 v 车 v 扫时，它们的距离在缩小。 解在 t 内，光束转过角度 如图，有两种可能 （1）光束照射小车时，小车正在接近 N点， t内光束与 MN的夹角从 45 变为 30 ，小车走过 L1，速度应为 由图可知 L1=d(tg45 - tg30 ) 由、两式并代入数值，得 v1 =1.7m/s 2）光束照到小车时，小车正在远离 N点， t内光束与 MN 的夹角从 45 为 60 ，小车走过 L2 速度为 由图可知 L2=d（tg60 - tg45 ） 由、两代并代入数值，得 v2 =2.9m/s 说明光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速 度。很多人把它理解为切向速度的分速度，即 则扫描速度不变化， 就谈不上与小车的“追赶”了， 将不可能发生经过一段时间， 再照射小车的问题。这一点速度的合成与分解应理解正确。 另外光束与 MN 的夹角为 45 时，光束正好射到小车上有两种情况（见分析） 要考虑