曲线运动专题重点讲义资料

1、曲线运动专题 一、曲线运动的条件和性质 质点做曲线运动的 条件：从力的角度看，物体所受合外力与速度方向不在一条直 线上；从运动的角度看：物体加速度的方向与速度方向不在一条直线上。 曲线运动的特点 1、受力特点 物体所受合外力与速度方向不在一条直线上，且指向轨道内侧. 2、运动学特点 曲线运动一定是变速运动，因为其速度方向一定在变化.曲线运动可以是加速度 恒定的匀变速运动，也可以是加速度变化的非匀变速运动. 3、曲线运动的轨迹特点 向受力的一侧偏，且与初速度方向相切.曲线运动的轨迹不会出现急折，只能平 滑变化.轨迹总在力与速度的夹角中. 4、曲线运动的合外力方向与速度方向的关系 做曲线运动的物体

2、，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，或合外力指向轨迹“凹” 侧，若已知物体的运动轨迹.可判断出合外力的大致方向. 若合外力为变力，则为变加速运动； 若合外力为恒力，则为匀变速运动； 若合外力为恒力且与初速度方向不在一条直线上.则物体做匀变速曲线运动； 若合外力方向与逆度方向夹角为， 则为为锐拒时，物体做曲线运动的速率将变.人； 为为钝处时，物体做曲线运动的述率将变小； 为 始终为ft拒时，则该力只改变逸度的方向而不改变速度的大小. 练习1:关于物体做曲线运动的条件，下述说法正确的是（） A. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动 B. 物体在变力作用下一定做曲线运动 C. 合力的方向与物体速度的方向既

3、不相同、也不相反时，物体一定做曲线运动 D. 做曲线运动的物体所受到的力的方向一定是变化的 练习2：物体受到几个恒定外力的作用而做匀速直线运动，如果撤掉其中一个力，保持其 他力不变，它可能做 （） 匀速直线运动匀加速直线运动匀减速直线运动曲线运动 正确的说法是 A. B.C. D. 练习3:下列关于曲线运动的说法中正确的是（ A .可以是匀速率运动B .一定是变速运动 C.可以是匀变速运动D.加速度可能恒为零 练习4：某质点做曲线运动时（） A. 在某一点的速度方向是该点曲线的切线方向 B. 在任意时间内位移的大小总是大于路程 C. 在任意时刻质点受到的合外力不可能为零 D. 速度的方向与合外

4、力的方向必不在一条直线上 【答案】1.C, 2.C, 3.ABC, 4.ACD 二、运动的合成与分解专题 一 运动的合成与分解 1、分运动与合运动 一个物体同时参与两种运动时，这两种运动是分运动，而物体相对地面的实际运动都是 合运动。实际运动的方向就是合运动的方向。 2、合运动与分运动的特征 （1）运动的独立性：一个物体同时参与两个（或多个）运动，其中的任何一个运动并 不会受其他分运动的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理。虽然各分运 动互不干扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。 （2 ）运动的等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等（不 同时的运动不能

5、合成）。 （3）运动的等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。 （4）运动的“同一性”：各分运动与合运动，是指同一物体参与的分运动和实际发生 的运动，不是几个不同物体发生的不同运动。 3、两个分运动合成的分类 （1）两个同一直线上的分运动的合成 两个分运动在同一直线上，无论方向是同向的还是反向的，无论是匀速的还是变速的， 其合运动-.直线运动。 （2 ）两个互成角度的分运动的合成 两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。当勺同向时，會 a ； 当Vp勺反向时，% =勺-巾；当Vp勺互成角度时，“由平行四边形定则求解。 两个初速度均为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动，并且

6、合运动的 初速度为零，V由平行四边形定则求解。 一个匀速直线运动和另一个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速曲线运动，合运动 的加速度即为分运动的加速度。 两个匀变速直线运动的合运动，其性质由合加速度方向与合初速度方向的关系决定。 当合加速度与合初速度共线时，合运动为匀变速直线运动；当合加速度与合初速度斜交（互 成角度）时，合运动为匀变速曲线运动。 练习1： 一物体运动规律是x = 3tVy = 2m，则下列说法中正确的是（） A.物体在x轴和y轴方向上都是初速度为零的匀加速直线运动 b. 物体的合运动是初速度为零，加速度为5m/s的匀加速直线运动 c. 物体的合运动是初速度为零，加速度为lif

7、im/s2的匀加速直线运动 D.物体的合运动是加速度为巧厂的曲线运动 练习2： A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体 度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是 度匕为（绳始终有拉力） A以勺的速 爲，k时，如图5所示。物体B的运动速 A. Vj sin clI sin 0 c. Vj sin at/cosp ( B. Vj cosa/sin 0 D. Vj cosh/ cos|3 答案：1 : AC, 2: 二 小船过河模型 小船渡河的问题，可以分解为它同时参与的两个分运动 ，一是小船相对水的运动 （设水不 流时船的运动，即在静水中的运动），一是随水流的运动（即水冲

8、船的运动，等于水流的运动）,船 的实际运动为合运动 两种情况：船速大于水速；船速小于水速。 两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。 【例1】一条宽度为L的河，水流速度为 V水，已知船在静水中速度为 V船，那么: （1）怎样渡河时间最短? （2）若V船V水，怎样渡河位移最小? （3 ）若V船：:V水，怎样渡河位移最小，船漂下的距离最短? 解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是 小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如右图所示，船头与河岸垂直渡河, 渡河时间最短：tmi 此时，实际速度（合速度） 2v水2 实际位移（合位移）s = sin c (2

9、) 如右图所示，渡河的最小位移即河的宽度。为使渡河 位移等于L,必须使船的合速度 v合的方向与河岸垂直，即使沿 河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与 河岸成一定的角度B ,所以有V船C 0弱二V水，即 v -arc co_So因为e为锐角，0 ： cost : 1，所以只有在 v船 V水_ v船 v水时，船头与河岸上游的夹角 v - arccos，船才有可能垂直河岸渡河，此时最短 v船 位移为河宽，即 為山=L。实际速度(合速度)v合=船$二，运动时间t = = 合v合v船 sin6 (3) 若v船 : V水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离 最短呢

10、？ 如右图所示，设船头 v船与河岸成e角。合速度v合与河 岸成a角。可以看出：a角越大，船漂下的距离 X越短，那 么，在什么条件下a角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为 半径画圆，当v合与圆相切时，a角最大，根据cOS , V水 船头与河岸的夹角应为- arccos，此时渡河的最短位 v水 移: L Lv水 s = COST 渡河时间： 、Si”， 船沿河漂下的最短距离为：Xmin = (v水 - V船 COS) V船Sin日 练习1: 一艘小艇从河岸A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行 驶，经过10min到达正对岸下游120m的C处，如图所示，如果小艇 保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成a

11、角方向行驶，则经过 12.5min恰好到达正对岸的B处，求：河的宽度。 练习2:船在静水中的航速为Vi,水流的速度为V2。为使船行驶到河 正对岸的码头，贝S Vi相对V2的方向应为() 解析1:设河宽为d,河水流速为v7水，船速为v船，船两次运动速 度合成如图所示。 依题意有：v船1 “船前“2 BC = v 水 t1 由可得V水 =12m/min 由得 sin a =0.8，故 cosa=0.6 , 河宽 ti 12 10m =200m 0.6 解析2: C 三 关联速度问题 典型的抽绳”问题: 所谓抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同, 常常是已知一个物 体的速度和有

12、关角度，求另一个速度。要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题: (1)分解谁的问题 哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动。 (2 )如何分解的问题 由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作 投影”将合速度分解 成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算。 其实这也可以理解成根据实际效果将合运动正交分解”的思路。 向成0角时，物体前进的瞬时速度是多大? 1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通 过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上 运动，人以大小不变的速度 v运动。当绳子与水平方 解析：应用合运动与分运动的关

13、系 绳子牵引物体的运动中， 物体实际在水平面上运动， 这个运动就是合运动， 所以物体在水平 面上运动的速度 v物是合速度，将v物按如图所示进行分解 其中：v=v物cos 0,使绳子收缩 v =v物sin 0,使绳子绕定滑轮上的A点转动 所以v物= COST 练习1如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B, 高台上有一定滑轮 D, 一根轻绳一端固定在 C点，再绕过B、 D。BC段水平，当以速度 vo拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过 B的两段绳子 夹角为a时A的运动速度v 解：应用合运动与分运动的关系 物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体 速度相同，设为v物。 根据

14、合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水 平面上运动，这个运动就是合运动。 也就是说 物体”的方向(更直接点是滑轮的方向)是合速度方向，与物体连接的BD绳 上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v物cosa 因此绳子上总的速度为 v物+v物cos =v0，得到 v物=- 1 + cos 练习2：如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若 a和B时，B车的速度是多少? 车以速度V0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为 解析：右边的绳子的速度等于A车沿着绳子方向的分速 度，设绳子速度为 V。 将A车的速度分解为沿着绳子的方向和垂直于绳子的方 向，则

15、V=VaCOS0 同理，将B车的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子的方向，则v=Vbcos: cosP 由于定滑轮上绳子的速度都是相同的，得到Vb =Va cosa 例题2:如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦当杆滑到如图位置时, B球水平速度为VB,加速度为aB,杆与竖直夹角为a,求此时A球速度和加速度大小 解析： 分别对小球A和B的速度进行分解，设杆上的速度为V 则对A球速度分解，分解为沿着杆方向和垂直于杆方向的两个速度。 v=vacos:- 对B球进行速度分解，得到 v=vBsin 联立得到 VA=vBtan 加速度也是同样的思路，得到aA=aBta n、 三、平抛运动专

16、题 1. 平抛运动的规律 平抛运动可以看成是水平方向的匀速直线和竖直方向的自由落体运动的合运动. 以抛出点为原点，取水平方向为 x轴，正方向与初速度 v。的方向相同，竖直方向为 y 关系为： (1)速度公式 水平分速度:, 竖直分速度:. t时刻平抛物体的速度大小和方向 tan 丁 = 轴，正方向向下，物体在任一时刻t位置坐标P (x,y),位移s、速度vt (如下图所示)的 tan : (2) 位移公式(位置坐标) 水平分位移: 竖直分位移： t时间内合位移的大小和方向：s= 由于tan=2tan)vt的反向延长线与x轴的交点为水平位移的中点. 几个重要问题 (1)平抛物体运动的轨迹：抛物线

17、。平抛运动的轨迹方程为： -可见，平抛 物体运动的轨迹是一条抛物线。 (2)个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交 点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 (3) 因平抛运动在竖直方向是匀变速直线运动，所以适合于研究匀变速运动的公式，如 Vt = V s=aT2, 了等同样也适用于研究平抛运动竖直方向的运动特点，这一点在研究平抛物 体运动的实验中用得较多。 Vo 例题1.如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右 C OL C 皿而1 L :坡面 匚，若不计 空气 抛出两个小球A和B,两侧斜坡的倾角分别为 37和53， 阻力，则

18、A和B两小球的运动时间之比为多少？ 解析：37和53都是物体落在斜面上后， 位移与水平方向的夹角，则运用分解位移的方法可以得到 -gt tan : xVot gt 2vo 所以有tan 37二gtl 2vo 同理tan53、史2 2vo 例题2某一平抛的部分轨迹如图 则 t, : t2 =9:16 4 所示，已知 x, = x2 二 a,y, = b , y2 二 c，求 v0。 1 Xi 1 X2 1 L十一1 + - -F- H yi 1： A111 十-才一 -1 1B| y2 r 111 111 丄_ _L_ 11Cl 图4 解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水平方向是匀

19、速直线运动，可设 A到B、B到C的时间为T,贝U 又竖直方向是自由落体运动，则 y =y2 -yi =gT2 代入已知量，联立可得 g c b 2.斜面上的平抛运动 (1).物体从空中某点水平抛出落在斜面上 例1.将一个小球以速度Vo水平抛出，要使小球能够垂直打到一个斜面上，斜面与 水平方向的夹角为0,那么，下列说法中正确的是 A. 若保持水平速度 B. 若保持水平速度 C. 若保持斜面倾角 D .若保持斜面倾角 ( vo不变，斜面与水平方向的夹角 V0不变，斜面与水平方向的夹角 ) 0越大，小球的飞行时间越 0越大，小球的飞行时间越短 解析将小球垂直打到斜面上的速度 知，V和竖直方向的夹角也

20、为0,由平抛运动的规律得 B不变，水平速度 vo越大，小球的飞行时间越长 B不变，水平速度 vo越大，小球的飞行时间越短 V沿水平和竖直分解，如图 1所示，由几何知识 tan v - Vx Vy Vo gt Vo g tan v 由上式不难看出，若保持Vo不变，0越大，小球的飞行时间 越短；若保持 0不变，Vo越大，小球的飞行时间越长.所以，本题答案应选 解得：t二 BC. (2)物体从斜面上某点水平抛出又落回斜面上 例2如图4所示，从倾角为0的斜面上A点， 阻力，它落到斜面上 B点时所用的时间为() a 2vo sin日 ”2votg 日vosin 日 A.B.C. gg2g 解析设小球从抛

21、出至落到斜面上所用时间为t, 4所示，由平抛运动的规律 直位移分别为 x, y,如图 以水平速度Vo抛出一个小球, 不计空气 y #gt 由几何关系知 tan -= x 由式得t二细9上 g 所以，本题答案应选 B. 3.平抛运动的临界问题 Votgr D. 2g 其水平位移和竖 得 A 正对网前竖直向上跳起把球垂直于网水平击出。(g= 10m/s2) (1) 设击球点的高度为2.5m，问球被水平击出时的速度在什么范围内 才能使球既不触网也不出界。 (2) 若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多 大，球不是触网就是出界，试求出此高度。 【思路点抜】水半击出的排球具运动情祀虽然

22、受空气阻力朗影呃，E 是当这类题目出现在中学物理中时仍然可以简化次只受重力作用，因此在这里可以认为其运动为平 抛运动。第 (1)间中击球点位置确定之后，恰不触刚是速度的一tto界值，逐战杲则是击球 速度的另一个临界值.第(2)间中确定的则是临畀轨迹，当击球点、网的上辺缘和边界点三者位于 临界轨迹上时，如果击球速度变小则一定融网，否则遠度变大则一定出畀. 【解析.】 如图所示，拄球恰不触网时其运动轨迹沏，駛逐出處时其轨迹为II.根据平 抛物体飽运动规律匕啪和去二+霞】可得，当擁球恰不触网时有; 1 2 - = 2 2/tt = 0h- =3 2 由可得：Vj = 9 5/w/s . 当1期彭皿愿

23、时有：巧二引+?牌二1占船乃二叫勾 甩=2勺為=gi2a 由可得：v2 = Ylmls 所以既不触网也不出畀的速度范围是；9 5m/s 规律则有匕兀i二知內二诃： 如图所示为排球恰不触网按懸嬷的临界轨迹.设击球点的高度丸爪根据平抛运动的 h 2?i,= gZ J2 2 X2 = 3m +9wa = 12s, x2 -U 解式可得所求高S/t=2.13mB 【点评】解袂本题的关键有三点：其一是确定运动性质一一平抛运动=其二是确定临畀状态一 一怕不触碣或恰丕出栗其三是确定临畀轨迹一迹示意图. 【练习】如图所示，将一个小球从楼梯顶部以2m/s的水平速度抛出，已知所有台阶高均为 h=0.2m，宽均为s

24、=0.25m。问:小球从楼梯顶部被抛出后最先撞到哪一级台阶上? 【解析】这个问题实际上是判断小球撞到每个台阶点的临界速度。 然后判断2m/s在哪个临界速度范围内，从而来确定在哪一个台阶。 1.假设撞到3台阶边界：X二Vt (1) 1 2 y=；gt2 _-(2) 2 X=0.25m,y=0.2m 代入得 v0 = 1.25m/s v=2m/s . 1.25m/s 2假设撞到2台阶边界：X=0.5m,y=0.4m代入得v0 =1.78m/s 3.假设撞到 1 台阶边界：X=0.75m,y=0.6m 代入得 V。二 2.1m/s v =2m/s ： 2.14m/s 所以撞到1台阶上 四、圆周运动专

25、题 1. 匀速圆周运动 （1）定义：物体做圆周运动，在任意相等的时间内里通过的弧长均相等的运动。 （2）特点：速度大不变，方向时刻在变化，故不是匀变速曲线运动。 （3） 描述匀速圆周运动的物理量： 线速度：描述质点沿圆弧运动的快慢，V=S/t=2 n R/T=R w 角速度：描述质点绕圆心转动的快慢，w=0 /t=2 n /T 周期：质点绕圆周运动一圈所用时间国际单位s, T越小，运动越快.T=1/f 2 2 向心加速度：只改变速度的大小，而不改变速度的方向。 公式：a=v /R=R w =R 4 2 2 n /T =V- w 2. 做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，产生向心加速度的原因一定

26、是物体受到了指向 的合力，这个合力叫做向心力.向心力产生向心加速度，不断改变物体的速度 ,维持物体的圆周运动，因此向心力是一种 力，它可以是我们学过的某种 性质力，也可以是几种性质力的 或某一性质力的 .圆心 方向 效果 合 力分力 2 v o .向心力大小的计算公式为：Fn=，其方向指向 . mr mw r 圆心 5.若做圆周运动的物体所受的合外力不沿半径方向，可以根据F产生的的效果将其分解为 两个相互垂直的分力：跟圆周相切的 和指向圆心方向的 , Ft产生 ，改变物体速度的 ;斤 产生，改变物体速度的 .仅有向心加速度的运动是 ,同时具有切向加速度和向心加速度 的圆周运动就是 .分力Ft分

27、力Fn沿圆周切线方向的加速度大小 指向圆心的加速度 方向匀速圆周运动变速圆周运动 例题1:如图1所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示 质点P的图线是双曲线，表示质点 A .质点P的线速度大小不变 B .质点P的角速度大小不变 C.质点Q的角速度随半径变化 D .质点Q的线速度大小不变 由图象知，质点 P的向心加速度随半径 r的变化曲线是双曲线，因此可以判定质点P的向 2 心加速度ap与半径r的积是一个常数k,即apr = k, ap=；,与向心加速度的计算公式 ap=十 对照可得v2= k,即质点P的线速度v = k,大小不变，A选项正确；同理，知道质点 Q的 向心

28、加速度aQ= kr与a= w2r对照可知w2= k(p=、Jk(常数)，质点Q的角速度保持不变.因 此选项B、C、D皆不正确. 例题2:如图3所示，Oi为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为ri, O2为从动轮的轴心， 轮半径为3,鸟为固定在从动轮上的小轮的半径.已知Q= 2，a= 1.5A B、C分别是3 个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)() A. 1 : 2 : 3B . 2 : 4 : 3 C. 8 : 4 : 3D. 3 : 6 : 2 因皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，根据向心加速度公式: 可得aA aB =2 ri = 2 ：1. B点、C点

29、是固定在一起的轮上的两点，所以它们的角速度相同, 根据向心加速度公式：an= r圧，可得 aB ac= r 2 :3= 2 1.5. 所以 aA :aB ac= 8 ：4 3，故选 C. 例题3:如图4 3-9所示，长为L的悬线固定在 0点，在0点正下方L处有一钉子C,把 悬线另一端的小球 m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，到悬点正下方时悬线碰到钉 子，则小球的 A. 线速度突然增大一 B. 角速度突然增大 C. 向心加速度突然增大- D. 悬线拉力突然增大 2 解析 悬线碰到钉子的瞬间，小球的线速度大小不变，由v =3r知，3变大；由a=十知, 2 宀mv a增大；由Ft mg=-知，

30、Ft增大，故选 B、C D 2. 圆周运动实例及临界问题 (一)、火车转弯问题 Fn提供向心力。 外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合外力 标准速度：v =grtan 0 (1 )当v= Vo时，内外轨均不受侧向挤压的力 (3)当vv Vo时，内轨受到侧向挤压的力 (2)当v v0时，外轨受到侧向挤压的力 (二八拱形桥 若汽车在拱桥上以速度 v前进，桥面的圆弧半径为 R (1)求汽车过桥的最高点时对桥面的压力？ Fn a.选汽车为研究对象 b. 对汽车进行受力分析：受到重力和桥对车的支持力 c. 上述两个力的合力提供向心力、且向心力方向向下 d.建立关系式： mV2 mV2 卜向=G-

31、Fn = -；F n =G - r r 速度越快，压力越小。当Fn=O时，向心力最大=G。 (2)求汽车过桥的最低点时对桥面的压力? F向二 Fn_G = mV2 - mV2 -G + r ； Fn = r 速度越快，压力越大。 说明：上述过程中汽车做的不是匀速圆周运动，我们仍使用了匀速圆周运动的公式，原因 是向心力和向心加速度的公式对于变速圆周运动同样适用。 (三)、航天器中的失重现象 (1 )、航天器中的宇航员的向心力由引力和支持力的合力提供，方向竖直向下 (2)、宇航员具有竖直向下的加速度，对座椅的压力小于重力，处于失重状态。 注意：准确地理解失重和超重的概念，并不是重力消失，而是与它接

32、触物体的拉力或压力 不等于重力的现象。 四、竖直平面内的圆周运动 (1)绳模型 Ti 2 最高点：T1 + mg = mV- r 0 A T2 2 最低点：T2 - mg = r 说明：绳子只要存在拉力，则小球一定能通过最高点。当只存在重力作为向心力 *Ti 2 _ 的时候向心力最小，令mg二m，解得临界速度v = . gr 。因而当v gr r G Ti 时才能通过最高点。 (2)杆模型 脱离桥面的临界速度 v = . gr 2 mvi / mg - T；二,(v v临 (3)不能通过最高点的条件v gr时，杆对球的作用力表现为拉力，拉力的大小为T= m-mg r 【应用1J（2008汕头市

33、一中期中考试模拟）轻杆的一端固定一个质量 为m的小球，以另一端o为圆心，使小球在竖直平面内做半径为r的 圆周运动，则小球通过最高点时，杆对小球的作用力（） A.可能等于零B .可能等于mg C. 一定与小球受到的重力方向相反 D. 定随小球过最高点时速度的增大而增大 导示：|由于轻杆可以对小球提供支持力，小球通过最高点的最小速度 v=O,此时支持力FN=mg当0v (5) 在X轴方向，选用向心力公式 2V2 兀 22 向心 F向心二 m，2R = mm()2 R = m(2二f )2 R R T 二m(2二n)2R列方程求解，必要时再在y轴方向按F合y = 0列方程求解 注意：列方程时要注意力

34、、 速度、运动半径的对应关系；有些问题还需配合其他辅助手 段，需要具体问题具体分析。 2. 离心运动：做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需 的向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 3. 向心运动和离心运动产生的原因(如图所示，向心力用Fn表示)。 (1)当巴二mv2 / R时，物体沿半径R作匀速圆周运动; 当Fnmv2/R时，物体将作向心运动，半径R减小; 当Fn : mv2 / R时，物体将作离心运动，半径R增大; (4)当Fn= 0时，即向心力消失时，半径R趋于无限大，物体将沿切线方向飞出。 所以，向心运动和离心运动产生的原因是向心力多余和不足。 4. 离心

35、运动的应用和防止： (1) 洗衣机的脱水筒是利用离心运动把湿衣服甩干的。把湿衣服放在脱水筒里，筒转 得慢时，水滴跟物体的附着力F足以提供所需向心力 F;当筒转得比较快时，附着力 F不足 以提供所需向心力 F，于是水滴做离心运动，穿过网孔，飞到筒外面。 (2) 在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供 的，如果转弯时速度过大， 所需向心力F大于最大静摩擦力， 汽车将做离心运动而造成交通 事故。 例1.如图所示，用细管弯成半径为r的圆弧形轨道，并放置在竖直平面内，现有一小球 压力；若小球速度 时，会对细管下部产生压力。 在细管内运动，当小球通过轨道最高点时，若小球速度

36、 时，会对细管上部产生 分析和解答： 2 当mg二mJ，即v = gr时，球对管上、下部分均无作用力, 此时N = 0。 当V . . gr时，有离心运动趋势，对管上部产生压力; 当v ： . gr时，有向心运动趋势，对管下部产生压力; 当v = 0时，恰好过最高点，对管下部产生压力为mg。 例2. 一根水平轻质硬杆以恒定的角速度 3绕竖直00转动，两个质量均为 m的小球能够 沿杆无摩擦运动，两球之间用劲度系数为 k的弹簧连接，弹簧原长为 lo,靠近转轴的球与轴 之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。 分析和解答：当两球绕轴00做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用I

37、、 L表示A、B两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程： N3 2 对A球有：m I 二 k(l -1。)-k(L -1。) 对B球有：m (l L)二 k(L -10) 由、联解得 (1 2 l ,3mo2mco2 2 1 ( ) kk J 3m -(m )2 例3.如图所示是离心试验器的原理图。可以用离心试验器来研究过荷对人体的影响，测 试人的抗荷能力，离心实验器转动时， 被测者做匀速圆周运动， 现观察到图中的直线 AB (即 垂直于座位的直线)与水平杆成30角，求被测者对座位的压力是他所受重力的多少倍？ 分析和解答：被试验者做匀速圆周运动所需要的向心力由他所受重力和座位对他的支持 力的